2020-2021学年山东省青岛市崂山区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年山东省青岛市崂山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（3分）在同一时刻，身高1.70米的小强在阳光下的影长为0.85米，一棵大树的高为5.8米，则树的影长为　　

A．10.6米 B．2.9米 C．11.6米 D．5.8米

2．（3分）点在反比例函数的图象上，则的值为　　

A． B． C．4 D．

3．（3分）平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式是　　

A． B． C． D．

4．（3分）如图，在中，，且，则的值为　　

A． B． C． D．

5．（3分）如图是由4个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体　　

A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图改变 

C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图不变，左视图不变

6．（3分）如图，河堤横断面的坡比是，．则坡面的长度是　　

A． B． C． D．

7．（3分）如图，，是上的三个点，若，则等于　　

A． B． C． D．

8．（3分）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：

①；

②；

③关于的方程有两个不相等实数根；

④．

其中正确的个数有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9．（3分）二次函数的图象与轴有两个不同交点，则的取值范围为　　．

10．（3分）一个不透明的盒子中装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验500次，其中有301次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有　　个．

11．（3分）　　．

12．（3分）的直径，为上不同于，一点，在中，则长为　　．

13．（3分）在中，，，，则　　．

14．（3分）如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是　　．

三、作图题（本大题满分4分）

15．（4分）如图，有一块三角形的铁皮．

求作：以为一个内角的菱形，使顶点在边上．

要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．

四、解答题（本大题共9小题，共74分）.

16．（8分）解方程：

（1）．

（2）．

17．（6分）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，，，求两个函数的表达式．

18．（6分）设关于的一元二次方程，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从2，3，4三个数中任取的一个数，求该方程有两个不相等的实数根的概率．

19．（6分）已知二次函数的图象经过，，三点．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）列表描点画出这个二次函数的图象．

20．（8分）如图，某风景区内有一古塔，在塔的一侧有一建筑物，当光线与水平面的夹角是时，塔在建筑物的墙上留下了高为4米的影子；而当光线与地面的夹是时，塔尖在地面上的影子与建筑物的距离为10米，，在一条直线上），求塔的高度（结果保留到0.1米）．，

21．（8分）如图，在中，点，分别是边，的中点，过点作，交的延长线于点，连接，．

（1）求证：；

（2）若，试判断四边形的形状，并加以证明．

22．（10分）某公司生产了一种产品，每件的成本是100元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是200元时，每天的销售量是100件，而销售单价每降低5元，每天就可多售出10件，但要求销售单价不得低于成本．

（1）当销售单价为150元时，每天的销售利润是多少？

（2）求出每天的销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；

（3）如果该企业每天的总成本不超过14000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本每件的成本每天的销售量）

23．（10分）问题当时，求二次函数的最大值．

探究我们先从简单情形入手，再逐次递进，最后得出结论．

探究一：当时，时，对应图象在对称轴左侧，且，随的增大而增大，所以二次函数最大值在时取得，最大值为．

由此可见当在对称轴左侧时，即，此时，二次函数最大值在取得，最大值　　．

探究二：当时，，包含称轴，此时在对称轴取得最大值．

由此可见当包含对称轴时，即，此时，最大值在对称轴取得，最大值为　　．

探究三：当时，时，对应图象在对称轴右侧，且，随的增大而减小，所以二次函数最大值在时取得，最大值为．

由此可见当在对称轴右侧时，即时，最大值在取得，最大值　　．

应用当时，求二次函数的最小值．

24．（12分）如图，在平行四边形中，，，，．动点在线段上从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度匀速运动；动点在线段上从点出发沿的方向以每秒1个单位长的速度匀速运动．过作交于，若，两点同时出发，设运动时间为秒．

（1）当为何值时，四边形是平行四边形？

（2）是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由；

（3）设的面积为，求出与的函数关系式；

（4）是否存在某一时刻，使得的面积最大？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年山东省青岛市崂山区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（3分）在同一时刻，身高1.70米的小强在阳光下的影长为0.85米，一棵大树的高为5.8米，则树的影长为　　

A．10.6米 B．2.9米 C．11.6米 D．5.8米

【解答】解：设树的影为米，

，

，

解得：，

即这棵树的高度为2.9米，

故选：．

2．（3分）点在反比例函数的图象上，则的值为　　

A． B． C．4 D．

【解答】解：将点代入反比例函数中得：

，

故选：．

3．（3分）平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式是　　

A． B． C． D．

【解答】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式是：．

故选：．

4．（3分）如图，在中，，且，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

．

故选：．

5．（3分）如图是由4个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体　　

A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图改变 

C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图不变，左视图不变

【解答】解：将正方体①移走后，主视图不变，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；

俯视图变化，正方体①移走前的俯视图为底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形；将正方体①移走后的俯视图为一行两个小正方形；

左视图改变，正方体①移走前的左视图为底层左边是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；将正方体①移走后的左视图为一列两个小正方形．

所以俯视图改变，左视图改变．

故选：．

6．（3分）如图，河堤横断面的坡比是，．则坡面的长度是　　

A． B． C． D．

【解答】解：坡比是，，

，

解得，，

由勾股定理得，，

故选：．

7．（3分）如图，，是上的三个点，若，则等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，在优弧上取点，连接，，

，

，

．

故选：．

8．（3分）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：

①；

②；

③关于的方程有两个不相等实数根；

④．

其中正确的个数有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：抛物线对称轴为直线，函数的最大值为3，

顶点为，

，

，故①正确；

抛物线开口向下，且与轴的一个交点在点和点之间，

当时，，故②正确；

抛物线开口向下，顶点为，

抛物线与直线没有交点，

关于的方程没有实数根，故③错误；

抛物线的对称轴为直线，

，故④正确；

故选：．

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9．（3分）二次函数的图象与轴有两个不同交点，则的取值范围为　　．

【解答】解：若二次函数的图象与轴有两个不同的交点，

，

解得：．

故答案是：．

10．（3分）一个不透明的盒子中装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验500次，其中有301次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有　9　个．

【解答】解：设盒子中的白球大约有个，

根据题意，得：，

解得，

经检验：是分式方程的解，

所以盒子中白球的个数约为9个，

故答案为：9．

11．（3分）　　．

【解答】解：原式

．

故答案为：．

12．（3分）的直径，为上不同于，一点，在中，则长为　5　．

【解答】解：是直径，

，

，，

．

的长为．

故答案是：5．

13．（3分）在中，，，，则　　．

【解答】解：在中，，，，

不妨设，则，由勾股定理得，

，

即，

解得（取正值），

所以，

故答案为：．

14．（3分）如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是　　．

【解答】解：如图，连接，交于，

四边形是正方形，，

，，，

，

，

，

四边形的周长是，

故答案为：．

三、作图题（本大题满分4分）

15．（4分）如图，有一块三角形的铁皮．

求作：以为一个内角的菱形，使顶点在边上．

要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．

【解答】解：如图，四边形即为所求作．

四、解答题（本大题共9小题，共74分）.

16．（8分）解方程：

（1）．

（2）．

【解答】解：（1），

，

则或，

解得，；

（2）整理成一般式为，

，，，

△，

，

，．

17．（6分）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，，，求两个函数的表达式．

【解答】解：把点代入得：，

反比例函数为，

把点，代入解析式中，得，

，，

把、的坐标代入得：，

解得：，

直线解析式为：．

18．（6分）设关于的一元二次方程，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从2，3，4三个数中任取的一个数，求该方程有两个不相等的实数根的概率．

【解答】解：画树状图如图：

共有9个等可能的结果，方程有两个不相等的实数根，即的结果有5个，

方程有两个不相等的实数根的概率为．

19．（6分）已知二次函数的图象经过，，三点．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）列表描点画出这个二次函数的图象．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，

，，分别代入得，

解得：．

．

（2）列表：

描点，

连线，如图．

20．（8分）如图，某风景区内有一古塔，在塔的一侧有一建筑物，当光线与水平面的夹角是时，塔在建筑物的墙上留下了高为4米的影子；而当光线与地面的夹是时，塔尖在地面上的影子与建筑物的距离为10米，，在一条直线上），求塔的高度（结果保留到0.1米）．，

【解答】解：过点作于，

则四边形为矩形，

（米，

设米，则米，

在中，，

（米，

米，

在中，，即，

解得，，

经检验，是原方程的解，

答：塔的高度约为23.1米．

21．（8分）如图，在中，点，分别是边，的中点，过点作，交的延长线于点，连接，．

（1）求证：；

（2）若，试判断四边形的形状，并加以证明．

【解答】（1）证明：点，分别是边，的中点，

，

；

（2）解：四边形是菱形，理由如下：

，

，

在和中，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

四边形是菱形．

22．（10分）某公司生产了一种产品，每件的成本是100元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是200元时，每天的销售量是100件，而销售单价每降低5元，每天就可多售出10件，但要求销售单价不得低于成本．

（1）当销售单价为150元时，每天的销售利润是多少？

（2）求出每天的销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；

（3）如果该企业每天的总成本不超过14000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本每件的成本每天的销售量）

【解答】解：（1）当销售单价为150元时，销售量为：（件，

每天的销售利润为：（元，

当销售单价为150元时，每天的销售利润10000元；

（2）设销售单价为元，则每天的销售量为：

（件，

根据题意得：，

每天的销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；

（3）由（2）知，

，

该企业每天的总成本不超过14000元，

，

解得：，

，

当时，随的增大而减小，

当时，取最大值，最大值为（元，

销售单价为180元时，每天的销售利润最大，最大利润为11200元．

23．（10分）问题当时，求二次函数的最大值．

探究我们先从简单情形入手，再逐次递进，最后得出结论．

探究一：当时，时，对应图象在对称轴左侧，且，随的增大而增大，所以二次函数最大值在时取得，最大值为．

由此可见当在对称轴左侧时，即，此时，二次函数最大值在取得，最大值　　．

探究二：当时，，包含称轴，此时在对称轴取得最大值．

由此可见当包含对称轴时，即，此时，最大值在对称轴取得，最大值为　　．

探究三：当时，时，对应图象在对称轴右侧，且，随的增大而减小，所以二次函数最大值在时取得，最大值为．

由此可见当在对称轴右侧时，即时，最大值在取得，最大值　　．

应用当时，求二次函数的最小值．

【解答】解：探究

探究一：把代入得：，

故答案为：；

探究二：把代入得：；

故答案为：4；

探究三：把代入得：；

故答案为：；

应用

抛物线对称轴为，

①当，即时，且，对应图象在对称轴左侧，随的增大而减小，

当时，二次函数取得最小值，最小值为；

②当，即时，且，

当时，二次函数取得最小值，最小值为；

③当时，对应图象在对称轴右侧，且，随的增大而增大，

当时，二次函数取得最小值，最小值为；

综上所述，当时，二次函数的最小值为；

当时，二次函数最小值为；

当时，二次函数最小值为．

24．（12分）如图，在平行四边形中，，，，．动点在线段上从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度匀速运动；动点在线段上从点出发沿的方向以每秒1个单位长的速度匀速运动．过作交于，若，两点同时出发，设运动时间为秒．

（1）当为何值时，四边形是平行四边形？

（2）是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由；

（3）设的面积为，求出与的函数关系式；

（4）是否存在某一时刻，使得的面积最大？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）当时，四边形是平行四边形，如图，

，

在中，，，

，

，

在中，，，

，

，

当时，即，

解得．

（2）当时，使得点在线段的垂直平分线上．

证明：设线段的垂直平分线交、分别于点．．如图，

，

四边形是平行四边形，，

四边形，四边形均为平行四边形，

，，

为线段的垂直平分线，

，

，

，

在中，，，

，

，

解得．

（3）过点作，交延长线于点，如图，

，

在中，，，

，解得，

在中，，，

，解得，

，

．

（4）存在，当时，三角形面积最大．

证明：由（3）得，．

，

当时，满足．三角形面积有最大值，

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日期：2021/12/6 11:08:08；用户：星星卷大葱；邮箱：jse035@xyh.com；学号：39024125