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第16讲 与圆有关的位置关系-讲义2021-2022学年九年级数学人教版上册学案
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第16讲 与圆有关的位置关系
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1.若的半径为r，OP＝d，则点P在外d＞r；点P在上d＝r；点P在内d＜r.
2.若的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则d与相离d＞r；l与相切d＝r；l与相交d＜r；
3.切线的性质与判定，切线长定理及三角形的外心，内心的概念和性质.
【板块一】切线的判定
方法技巧
当待证切线与圆有明确的公共点时，连半径，证垂直；当待证切线与圆无明确的公共点时，做垂直，证半径（有点连半径，证垂直；无点作垂线，证全等）
题型一 连半径，证垂直
【例1】如图，AD，BD是的弦，且∠ADB＝90°，点C是BD的延长线上的一点，且满足AD2＝CD·DB，连接CA，求证：AC是的切线。
【例2】如图，抛物线y＝与x轴交于点A，B（A左B右），与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点.
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）求证：直线CP是△ABC的外接圆的切线.
题型二 作垂直，证半径
【例3】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且AD＋BC＝CD，求证：以CD为直径的圆与AB相切.
针对练习1
1.如图，△ABC是的内接三角形，点E是经过点C的直线1上的一点，且∠ECB＝∠BAC，求证：直线1是的切线.
2.如图，AB是的直径，点C是上的一点，过点C的直线与切线DB相交于点D，过点D作DE⊥DB交直线AC于点E.若AB＝2DE，求证：DC与相切.
3.如图，在平行四边形ABCD中，经过A，B，C三点，且，求证：DC与相切.
4.如图，AD是△ABC的高，且AD＝BC，点E，F分别为AB，AC的中点，以EF为直径作，试判断BC与的位置关系，并说明理由。
5.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与边AB交于点P，△ABC的内切圆与边BC相切于点M，作MD∥AC交于点D，连接PD.求证：PD与相切.
【板块二】切线的性质
方法技巧
已知切线，连接过切点的半径，构造垂真关系，进行角度的转化或在直角三角形中运用勾股定理求线段的长（遇切线，连半径）.
题型一 遇切线，连半径，求角度
【例1】如图，AB是的直径，点P是AB的延长线上的一点，PC与相切于点C，∠APC的平分线交AC于点D.
（1）求∠ADP的度数；
（2）连接BC交PD于点E，若CD，CE的长是方程x2－mx＋2m＝0的两个根，求DE的长.
【例2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点O为BC的延长线上的一点，经过A，C，D三点的恰好与AB相切.
（1）求∠OCD的度数；
（2）求的值
题型二 遇切线，连半径，运用勾股定理求线段的长
【例3】如图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是边AB上的一点，且AE＝AB，经过点E的分别与边BC，CD相切于点M，N，与AB相交于另一点F，若，求矩形的面积.
【例4】如图，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，点Q是以C（0，－1）为圆心，1为半径的上的一动点，过点Q的切线交直线AB于点P，求线段PQ的长的最小值
针对练习2
1.如图，AB为的直径，点D为的中点，点E为BA的延长线上的一点，EC与相切于点C，连接CD，若∠E＝32°，则∠ECD＝_________
2.如图，点C是的直径BA的延长线上的一点，CD与相切于点D，点E是优弧上的一点（不与A，D，B重合），若∠C＝40°，则∠DEB＝____________
3.如图，圆内接四边形ABCD的边AB是外接圆的直径，过点C的切线垂直于直线AD于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD＝__________.
4.如图，在△ABC中，BC＝2AC＝2a，当∠ABC最大时，则的值.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在边AC上，以OA为半径的交AB于点D，过点D作的切线交BC于点E，若OA：OC：AB＝1：2：5，求的值.
6.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM的长为半径作P，当P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长.
7.如图，以的弦AB为边向外作正方形ABCD，过点D作DE与相切于点E，若AB＝2，DE＝3，求的半径.
【板块三】切线长定理——双切图
方法技巧
从一点出发的两条切线，构造切线长定理的基本图形是解决一类问题的关键.
【例1】【教材变式】（课本P101－6改）如图CA，CD是的两条切线，切点分别为A，D，AB是的直径，AB＝AC，过点A作AF⊥CD于点F，交于点E.
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝2，求AE的长.
【例2】【2018原创题】如图，AB为的直径，PB，PC分别与相切于点B，C，PC与BA的延长线交于点D，过点P作PE⊥PB，交AC的延长线于点E.
（1）求证：AB＝2PE；
（2）若AD＝1，CD＝3，求AE的长.
【例3】如图，在矩形ABCD中，以BC为直径在矩形内作半圆O，过点A作AE与相切于点E，连接CE，BE，若，求的值.
【例4】如图，PA，PB分别与相切于A，B两点，弦BC∥PA，连接AC，若2AC＝BC，的半径是5，求PA的长.
针对练习3
1.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝α，点Q是⊙O上异于A，B的一点，则∠AQB＝ （用含α的式子表示）
2.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点B，C分别作⊙O的切线相交于点P，连接AC，OP.若2OP＝9AC，求的值
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O经过A，C两点，交边AB于点D，分别过C，D两点作⊙O的切线相交于点E
（1）求证:∠CED＝2∠B；
（2）DE交BC于点F，当DE∥AC时，若3EC＝5EF，DF＝4，求⊙O的半径长.
4.如图，菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，⊙O与边AB，AD都相切，AO＝10，求⊙O的半径长
【板块四】切线长定理多切图
反复运用切线长定理及其基本图形是解决“多切图”问题的基本策略；母子直角三角形是基础，勾股定理及面积法是常见的数学方法，方程思想是核心.
【例1】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点，B，点C，M在⊙O上，∠AMB＝60°，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点E，F，且△PEF的外心在PE上，⊙O的半径为
（1）求△PEF的周长
（2）求AE的长
【例2】（1）如图1，O与四边形ABCD的各边都相切已知四边形的面积为S，AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，⊙O的半径为r
①求r的值（用相关的字母表示）；
②若a＝13，c＝7，r＝4，则S＝80（直接写出结果）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝13，AB＝21，CD＝11，⊙与⊙分别为
△ABD与△BCD的内切圆，其半径分别为，，求的值.
【例3】已知:在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，O分别与边AB，BC，CD，AD相切，切点分别为G，F，E，H.
（1）如图1，若∠ABC＝60°，求证:BF＝CF；
（2）如图2，GE，BC的延长线交于点P，若CD＝4，BF＝3，求GP的长
针对练习4
1.如图⊙O是△ABC的内切圆，⊙O的一条切线DE与AB,AC分别相交于点D,E.若BC＝6，⊙O的半径为2，，则△ADE的周长是（B）
A.15 B.9 C.7.5 D.7
2.如图，⊙O与四边形ABCD的各边都相切，点M，N分别是AD，BC的中点，四边形的周长为a，则下列说法正确的是（D）
A.MN＜a B.MN＝a C .MN＞a
D.以上都不正确
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O分别与三边相切于点D，E，F，若AD＝10，BC＝5，则OB的长为
4.如图，以正方形ABCD的BC边为直径作半圆，过点D作直线DE与⊙O相切于点F，交AB边于点E.若正方形的边长为1，求△ADE的面积
5.如图，在等边△ABC中，AB＝6，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.点M在⊙O上，且BM⊥DM，求BM的长.
【板块五】三角形的内心
方法技巧
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三个内角的平分线的交点，它到三角形三边的距离相等.如图，点I是△ABC的内心，ID⊥BC于点D，IE⊥AC于点E，IF⊥AB于点F，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则:
（1）∠BIC＝90°＋∠BAC，∠AIC＝90°＋∠ABC，∠AIB＝90°＋∠ACB；
（2）ID＝IE＝IF，点I是△DEF的外心，△DEF为锐角三角形；
（3）AE＝AF＝（b＋c－a）， BD＝BF＝（a＋c－b）；CD＝CE＝（a＋b－c）.
【例1】如图，点O是△ABC的内心，OD⊥BC于点D，Oe⊥AC于点E，OF⊥AB于点F
（1）若AB＝9，BC＝14，AC＝13，则AF＝4，CD＝9；
（2）若AB＝9，AC＝13，则DC－BD＝4；
（3）若∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则OD＝2；
（4）若∠A＝90°，求证:.
【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点M.
（1）如图1，连接IB，IC，求证:MB＝MI＝MC；
（2）如图2，若AI⊥OI，求证:AB＋AC＝2BC.
【例3】如图，在扇形OAD中，∠AOD＝90°，OA＝6，点P为上的一动点（不与点A，D重合），PQ⊥OD于点Q，点I为△OPQ的内心，过O，I，D三点的圆的半径为r.问:r的值是否发生变化？若不变，求r的值；若变化，请说明理由
针对练习5
1.已知点是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，若∠B0C＝110°，则∠BIC＝_________
2.在扇形OAB中，∠AOB＝30°，AC⊥OB于点C，点I为△AOC的内心，以I，O，B为顶点的三角形的外接圆的直径为，则AC的长为
3.如图，AB是⊙O的直径，点P为半圆上的一点（不与A，B重合），点I是△ABP的内心，PI的延长线交⊙O于点M
（1）求的值；
（2）过点I作IN⊥PB于点N，求的值
4.如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），经过O，A两点的⊙分别交x轴的正半轴，y轴的负半轴于点B，C，点I是△OBC的内心，IG⊥BC于点G，求BG－CG的值.
5.已知AB是⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，点E为△ABD的内心，AB＝10
（1）如图1，连接AE，BE，若OE⊥BE，求AE的长；
（2）如图2，点C为的中点，过点C作CM⊥AE于点M，若AD＝8，求CM的长
【板块六】 隐形的圆─“道是无圆却有圆”
常见的隐圆有两类：（1）到定点的距离等于定长的点在同一个圆上（圆的定义）；（2）若定长线段的张角是定角（定弦定角），则定角的顶点在定弦所对的一条弧上运动．利用“辅助圆”的丰富性质转换角，求线段的长或最值是隐圆类冋题的基本模式．
题型一 利用圆的定义构隐圆
【例1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝5，且AD∥BC，对角线BD＝8，求CD的长．
【例2】如图，在ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，点E为平面内的一动点，点P为CE的中点，若AE＝1，求BP的最大值．
题型二 利用定弦定角构隐圆
【例3】如图，在正方形ABCD中，AC，BD是对角线，点P为对角线BD上的一点，作PE⊥AP交BC于点E．若∠CAE＝15°，求的值．
【例4】如图，△ABC为等边三角形，面积为9，点P为△ABC内的一动点，且满足∠PAB＝∠PCA，求线段BP的最小值．
针对习6
1．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦（CD与AB不平行），点M是CD的中点，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且∠EMF＝60°，求的值．
2．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是上的一点，且∠AOC＝120°，点P是上的一动点，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，CD⊥OB于点D，求证：EF＝CD．
3．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，且∠AEB＝90°，点F为DE的中点，连接CF，求CF的最大值．
4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝1，BC＝2，点P为射线DA上的一动点，过B，D，P三点的圆交PC于点Q，求DQ的最小值．
5．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，BF⊥AE于点F，连接CF．
（1）求证：CF＝AB；
（2）连接DB，DF，求证：∠BDF＝∠BCF．
【板块七】 隐圆隐切线求最值
在与最值有关的动态几何向题中，常利用“隐圆”或 “辅助圆”，借助切线的性质转化为与切线相关的间题解决．
【例1】如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上的一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，求AF的最大值．
变式训练：（1）求DG的最小值；（2）当AF最大时，求AE的长
【例2】如图，点C是⊙O上的一点，⊙O的半径为2，点D，E分别是弦CA，CB上的一动点，且OD＝OE＝，求AB的最大值．
【例3）】如图，在矩形ABCD中，AB＝，点P是边BC上的一动点（不与B，C重合），PQ⊥AP交边CD于点Q，若CQ的最大值为，求矩形ABCD的周长．
【例4）如图，A（0，8），B（0，2），点E是x轴的正半轴上的一动点，连接AE，BE，当∠AEB最大时，求点E的坐标．
针对习7
1．如图，点P为⊙O内的一定点，点A为⊙O上的一动点，射线AP，AO分别与⊙O交于B，C两点，若⊙O的半径为3，OP＝，则弦BC的最大值为 ．
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内的一点，且AC＝2，设∠BOC＝m，则m的取值范围是 ．
3．如图，点A，B，P三点在一条直线上，AB＝4，PB＝2，∠ACB＝90°，当∠APC最大时，求PC的长
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点P是边AB上的一点，PQ⊥CP交边BC于点Q，求BQ的最大值．
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是边AB上的一点，点E，F分别是边BC，AC上的动点，且∠DEF＝45°．
（1）若DF＝2，求△DEF的外接圆的半径；
（2）当DF的值最小时，求AF的长．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12，点P是边AD上的动点，当∠BPC最大时，求PC的长．
第16讲 与圆有关的位置关系
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1.若的半径为r，OP＝d，则点P在外d＞r；点P在上d＝r；点P在内d＜r.
2.若的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则d与相离d＞r；l与相切d＝r；l与相交d＜r；
3.切线的性质与判定，切线长定理及三角形的外心，内心的概念和性质.
【板块一】切线的判定
方法技巧
当待证切线与圆有明确的公共点时，连半径，证垂直；当待证切线与圆无明确的公共点时，做垂直，证半径（有点连半径，证垂直；无点作垂线，证全等）
题型一 连半径，证垂直
【例1】如图，AD，BD是的弦，且∠ADB＝90°，点C是BD的延长线上的一点，且满足AD2＝CD·DB，连接CA，求证：AC是的切线。
【例2】如图，抛物线y＝与x轴交于点A，B（A左B右），与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点.
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）求证：直线CP是△ABC的外接圆的切线.
题型二 作垂直，证半径
【例3】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且AD＋BC＝CD，求证：以CD为直径的圆与AB相切.
针对练习1
1.如图，△ABC是的内接三角形，点E是经过点C的直线1上的一点，且∠ECB＝∠BAC，求证：直线1是的切线.
2.如图，AB是的直径，点C是上的一点，过点C的直线与切线DB相交于点D，过点D作DE⊥DB交直线AC于点E.若AB＝2DE，求证：DC与相切.
3.如图，在平行四边形ABCD中，经过A，B，C三点，且，求证：DC与相切.
4.如图，AD是△ABC的高，且AD＝BC，点E，F分别为AB，AC的中点，以EF为直径作，试判断BC与的位置关系，并说明理由。
5.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与边AB交于点P，△ABC的内切圆与边BC相切于点M，作MD∥AC交于点D，连接PD.求证：PD与相切.
【板块二】切线的性质
方法技巧
已知切线，连接过切点的半径，构造垂真关系，进行角度的转化或在直角三角形中运用勾股定理求线段的长（遇切线，连半径）.
题型一 遇切线，连半径，求角度
【例1】如图，AB是的直径，点P是AB的延长线上的一点，PC与相切于点C，∠APC的平分线交AC于点D.
（1）求∠ADP的度数；
（2）连接BC交PD于点E，若CD，CE的长是方程x2－mx＋2m＝0的两个根，求DE的长.
【例2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点O为BC的延长线上的一点，经过A，C，D三点的恰好与AB相切.
（1）求∠OCD的度数；
（2）求的值
题型二 遇切线，连半径，运用勾股定理求线段的长
【例3】如图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是边AB上的一点，且AE＝AB，经过点E的分别与边BC，CD相切于点M，N，与AB相交于另一点F，若，求矩形的面积.
【例4】如图，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点A，B，点Q是以C（0，－1）为圆心，1为半径的上的一动点，过点Q的切线交直线AB于点P，求线段PQ的长的最小值
针对练习2
1.如图，AB为的直径，点D为的中点，点E为BA的延长线上的一点，EC与相切于点C，连接CD，若∠E＝32°，则∠ECD＝_________
2.如图，点C是的直径BA的延长线上的一点，CD与相切于点D，点E是优弧上的一点（不与A，D，B重合），若∠C＝40°，则∠DEB＝____________
3.如图，圆内接四边形ABCD的边AB是外接圆的直径，过点C的切线垂直于直线AD于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD＝__________.
4.如图，在△ABC中，BC＝2AC＝2a，当∠ABC最大时，则的值.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在边AC上，以OA为半径的交AB于点D，过点D作的切线交BC于点E，若OA：OC：AB＝1：2：5，求的值.
6.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM的长为半径作P，当P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长.
7.如图，以的弦AB为边向外作正方形ABCD，过点D作DE与相切于点E，若AB＝2，DE＝3，求的半径.
【板块三】切线长定理——双切图
方法技巧
从一点出发的两条切线，构造切线长定理的基本图形是解决一类问题的关键.
【例1】【教材变式】（课本P101－6改）如图CA，CD是的两条切线，切点分别为A，D，AB是的直径，AB＝AC，过点A作AF⊥CD于点F，交于点E.
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AB＝2，求AE的长.
【例2】【2018原创题】如图，AB为的直径，PB，PC分别与相切于点B，C，PC与BA的延长线交于点D，过点P作PE⊥PB，交AC的延长线于点E.
（1）求证：AB＝2PE；
（2）若AD＝1，CD＝3，求AE的长.
【例3】如图，在矩形ABCD中，以BC为直径在矩形内作半圆O，过点A作AE与相切于点E，连接CE，BE，若，求的值.
【例4】如图，PA，PB分别与相切于A，B两点，弦BC∥PA，连接AC，若2AC＝BC，的半径是5，求PA的长.
针对练习3
1.如图，PA、PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝α，点Q是⊙O上异于A，B的一点，则∠AQB＝ （用含α的式子表示）
2.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点B，C分别作⊙O的切线相交于点P，连接AC，OP.若2OP＝9AC，求的值
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O经过A，C两点，交边AB于点D，分别过C，D两点作⊙O的切线相交于点E
（1）求证:∠CED＝2∠B；
（2）DE交BC于点F，当DE∥AC时，若3EC＝5EF，DF＝4，求⊙O的半径长.
4.如图，菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，⊙O与边AB，AD都相切，AO＝10，求⊙O的半径长
【板块四】切线长定理多切图
反复运用切线长定理及其基本图形是解决“多切图”问题的基本策略；母子直角三角形是基础，勾股定理及面积法是常见的数学方法，方程思想是核心.
【例1】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点，B，点C，M在⊙O上，∠AMB＝60°，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点E，F，且△PEF的外心在PE上，⊙O的半径为
（1）求△PEF的周长
（2）求AE的长
【例2】（1）如图1，O与四边形ABCD的各边都相切已知四边形的面积为S，AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，⊙O的半径为r
①求r的值（用相关的字母表示）；
②若a＝13，c＝7，r＝4，则S＝80（直接写出结果）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝13，AB＝21，CD＝11，⊙与⊙分别为
△ABD与△BCD的内切圆，其半径分别为，，求的值.
【例3】已知:在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，O分别与边AB，BC，CD，AD相切，切点分别为G，F，E，H.
（1）如图1，若∠ABC＝60°，求证:BF＝CF；
（2）如图2，GE，BC的延长线交于点P，若CD＝4，BF＝3，求GP的长
针对练习4
1.如图⊙O是△ABC的内切圆，⊙O的一条切线DE与AB,AC分别相交于点D,E.若BC＝6，⊙O的半径为2，，则△ADE的周长是（B）
A.15 B.9 C.7.5 D.7
2.如图，⊙O与四边形ABCD的各边都相切，点M，N分别是AD，BC的中点，四边形的周长为a，则下列说法正确的是（D）
A.MN＜a B.MN＝a C .MN＞a
D.以上都不正确
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O分别与三边相切于点D，E，F，若AD＝10，BC＝5，则OB的长为
4.如图，以正方形ABCD的BC边为直径作半圆，过点D作直线DE与⊙O相切于点F，交AB边于点E.若正方形的边长为1，求△ADE的面积
5.如图，在等边△ABC中，AB＝6，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.点M在⊙O上，且BM⊥DM，求BM的长.
【板块五】三角形的内心
方法技巧
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形三个内角的平分线的交点，它到三角形三边的距离相等.如图，点I是△ABC的内心，ID⊥BC于点D，IE⊥AC于点E，IF⊥AB于点F，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则:
（1）∠BIC＝90°＋∠BAC，∠AIC＝90°＋∠ABC，∠AIB＝90°＋∠ACB；
（2）ID＝IE＝IF，点I是△DEF的外心，△DEF为锐角三角形；
（3）AE＝AF＝（b＋c－a）， BD＝BF＝（a＋c－b）；CD＝CE＝（a＋b－c）.
【例1】如图，点O是△ABC的内心，OD⊥BC于点D，Oe⊥AC于点E，OF⊥AB于点F
（1）若AB＝9，BC＝14，AC＝13，则AF＝4，CD＝9；
（2）若AB＝9，AC＝13，则DC－BD＝4；
（3）若∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则OD＝2；
（4）若∠A＝90°，求证:.
【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点M.
（1）如图1，连接IB，IC，求证:MB＝MI＝MC；
（2）如图2，若AI⊥OI，求证:AB＋AC＝2BC.
【例3】如图，在扇形OAD中，∠AOD＝90°，OA＝6，点P为上的一动点（不与点A，D重合），PQ⊥OD于点Q，点I为△OPQ的内心，过O，I，D三点的圆的半径为r.问:r的值是否发生变化？若不变，求r的值；若变化，请说明理由
针对练习5
1.已知点是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，若∠B0C＝110°，则∠BIC＝_________
2.在扇形OAB中，∠AOB＝30°，AC⊥OB于点C，点I为△AOC的内心，以I，O，B为顶点的三角形的外接圆的直径为，则AC的长为
3.如图，AB是⊙O的直径，点P为半圆上的一点（不与A，B重合），点I是△ABP的内心，PI的延长线交⊙O于点M
（1）求的值；
（2）过点I作IN⊥PB于点N，求的值
4.如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），经过O，A两点的⊙分别交x轴的正半轴，y轴的负半轴于点B，C，点I是△OBC的内心，IG⊥BC于点G，求BG－CG的值.
5.已知AB是⊙O的直径，点D为⊙O上的一点，点E为△ABD的内心，AB＝10
（1）如图1，连接AE，BE，若OE⊥BE，求AE的长；
（2）如图2，点C为的中点，过点C作CM⊥AE于点M，若AD＝8，求CM的长
【板块六】 隐形的圆─“道是无圆却有圆”
常见的隐圆有两类：（1）到定点的距离等于定长的点在同一个圆上（圆的定义）；（2）若定长线段的张角是定角（定弦定角），则定角的顶点在定弦所对的一条弧上运动．利用“辅助圆”的丰富性质转换角，求线段的长或最值是隐圆类冋题的基本模式．
题型一 利用圆的定义构隐圆
【例1】如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝5，且AD∥BC，对角线BD＝8，求CD的长．
【例2】如图，在ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，点E为平面内的一动点，点P为CE的中点，若AE＝1，求BP的最大值．
题型二 利用定弦定角构隐圆
【例3】如图，在正方形ABCD中，AC，BD是对角线，点P为对角线BD上的一点，作PE⊥AP交BC于点E．若∠CAE＝15°，求的值．
【例4】如图，△ABC为等边三角形，面积为9，点P为△ABC内的一动点，且满足∠PAB＝∠PCA，求线段BP的最小值．
针对习6
1．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦（CD与AB不平行），点M是CD的中点，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且∠EMF＝60°，求的值．
2．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是上的一点，且∠AOC＝120°，点P是上的一动点，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，CD⊥OB于点D，求证：EF＝CD．
3．如图，边长为4的正方形ABCD外有一点E，且∠AEB＝90°，点F为DE的中点，连接CF，求CF的最大值．
4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB＝1，BC＝2，点P为射线DA上的一动点，过B，D，P三点的圆交PC于点Q，求DQ的最小值．
5．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，BF⊥AE于点F，连接CF．
（1）求证：CF＝AB；
（2）连接DB，DF，求证：∠BDF＝∠BCF．
【板块七】 隐圆隐切线求最值
在与最值有关的动态几何向题中，常利用“隐圆”或 “辅助圆”，借助切线的性质转化为与切线相关的间题解决．
【例1】如图，正方形ABCD的边长为4，点E是CD边上的一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，求AF的最大值．
变式训练：（1）求DG的最小值；（2）当AF最大时，求AE的长
【例2】如图，点C是⊙O上的一点，⊙O的半径为2，点D，E分别是弦CA，CB上的一动点，且OD＝OE＝，求AB的最大值．
【例3）】如图，在矩形ABCD中，AB＝，点P是边BC上的一动点（不与B，C重合），PQ⊥AP交边CD于点Q，若CQ的最大值为，求矩形ABCD的周长．
【例4）如图，A（0，8），B（0，2），点E是x轴的正半轴上的一动点，连接AE，BE，当∠AEB最大时，求点E的坐标．
针对习7
1．如图，点P为⊙O内的一定点，点A为⊙O上的一动点，射线AP，AO分别与⊙O交于B，C两点，若⊙O的半径为3，OP＝，则弦BC的最大值为 ．
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内的一点，且AC＝2，设∠BOC＝m，则m的取值范围是 ．
3．如图，点A，B，P三点在一条直线上，AB＝4，PB＝2，∠ACB＝90°，当∠APC最大时，求PC的长
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点P是边AB上的一点，PQ⊥CP交边BC于点Q，求BQ的最大值．
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是边AB上的一点，点E，F分别是边BC，AC上的动点，且∠DEF＝45°．
（1）若DF＝2，求△DEF的外接圆的半径；
（2）当DF的值最小时，求AF的长．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12，点P是边AD上的动点，当∠BPC最大时，求PC的长．
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