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第21讲 相似三角形的判定-讲义2021-2022学年人教版九年级数学下册学案
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第二十七章相似
第21讲 相似三角形的判定
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1.相似多边形。
2.平行线分线段成比例定理。
3.相似三角形的判定方法.
【板块一】平行线分线段成比例定理
方法技巧
1.在利用平行线分线段成比例定理时，注意对应线段的位置。
2.由平行线＋中点得线段中点，利用中位线解题.
题型一运用平行线分线段成比例定理探究线段关系
【例1】如图，已知直线AB∥CD∥EF，AF与BE交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，求的值.
【解析】由AB∥CD∥EF，得，又AD＝AG＋GD＝2＋1＝3，DF＝5，∴.
【例2】如图，P是□ABCD的边BC的延长线上任意一点，AP分别交BD和CD于点M和N.求证：
AM2＝MN·MP.
【解析】∵AB∥DN，∴△AMB∽△NMD，∴，又∵AD∥BP，∴△BMP∽△DMA，
∴,∴，∴AM2＝MN×MP.
题型二平行线等分线段定理证线段中点
【例3】如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，DF⊥BD，且DF＝BE，FB与AC
交于点M.求证：DE＝2CM.
【解析】延长DF，BC交于点H，易证∠CDF＝45°＝∠DCA，∴DH∥AC，又AD∥CH，∴四边形ACHD为平行四边形.∴AD＝CH＝DC＝BC，DH＝AC＝BD.∵AC∥DH，BC＝AD＝CH，∴BM＝MF，又 BC＝CH.∴FH＝2CM.又 DH
＝BD，BE＝BF，∴DH－DF＝BD－BE，即DE＝FH.∴DE＝2CM.
1.如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于A，B，C三点，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，已知DE:DF
＝3：8，AC＝24.
（1）求BC的长；
（2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长.
解：（1）BC＝15；
（2）连接CD交EB于点H，易得EH＝FC＝；HB＝AD＝；∴BE＝EH＋HB＝10.
2.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F.
（1）求证：DE＝CF；
（2）若BF＝1，AE＝2，EF＝4，求AB的长.
解：（1）过点O作ON⊥CD，垂足为点N，易证AE∥ON∥BF，∴＝1.∴EN＝NF.
∵ON⊥CD，∴DN＝NC.∴DN－EN＝NC－NF，∴DE＝CF；
（2）延长AE交OO于点M，连接BM.易证四边形EMBF为矩形.∴EM＝BF＝1，BM＝EF＝4，
∴AB＝ ＝5.
3.如图，在正方形ABCD中，点E在DA的延长线上，AE＝AB，点F在CD上，M为AF的中点，过点M作MN⊥MC交BE于点N.求证：MN＝MC.
解：过点M作MP⊥BC，垂足为点P，易证AB∥MP∥DC，＝1.∴BP＝PC.∵MP⊥BC，∴MB＝MC.设∠NMB＝2x，易证∠BMP＝∠PMC＝45°－x，∠MBP＝45°＋x，∠ABM＝45°－x，∠MBE＝90°－x，∴∠MNB＝
180°－∠NMB－∠MBE＝90°－x.∴∠MBE＝∠MNB.∴MN＝MB＝MC.
【板块二】作平行线构造X型相似
方法技巧
1.作平行线是构造三角形相似的基本方法，利用平行线对比例式进行转化。
2.通常引入参数求比值或计算线段的长。
题型一延长平行线段构X型相似
【例1】如图，□ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠ABC＝60°，AE⊥BC，垂足为点E，F为CD的中点，DE与BF相交于点P.
（1）求的值；
（2）求BP的长.
【解析】（1）延长BF，AD交于点M，易得BE＝AB＝1，BC＝AD＝3，EC＝2，由AD∥BC得＝1，.∴DM＝BC＝3，＝；
（2）过点M作MN⊥BC交BC的延长线于点N.易证四边形AENM为矩形，∴MN＝AE＝，EN＝AM＝6，BM＝
＝2.∵AD∥BC，＝，∴，BP＝BM＝.
题型二作平行线构X型相似，证线段关系
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，点E，F在AD 上，AE＝EF＝BE，∠BED＝∠BAC.
（1）求证：AE＝FC；
（2）求证：BD＝2CD.
【解析】（1）∵AE＝EF＝BE.∴BE＝AF，∵∠BED＝∠BAC，∴∠ABE＝∠CAF，
∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AE＝FC；
（2）过点C作CM∥BE交AD的是长线于点M.∵△ABE≌△CAF.∴∠BEA＝∠AFC，∵∠BEA＋∠BED－180°，
∠AFC＋∠DFC＝180°，∴∠BED＝∠DFC.∵BE∥CM.∴∠M＝∠BED＝∠DFC.∴FC＝CM.∵AE＝FC，AE＝BE，∴BE＝2CM.∵BE∥CM.∴△BED∽△CMD.∴＝2.∴BD＝2DC.
题型三作平行线构X型相似，求比值
【例3】如图，∠CAB＝90°，AC＝AB，D是AC的中点，AF⊥BC分别交BD，BC于点E，F.AG⊥DB交BC于点G.求的值.
【解析】过点B价BH∥AC交AF的延长线于点H.易证△ACG≌△BAE.∴AG＝BE.易证CF＝BF.∵BH∥AC，∴＝1.∴BH＝AC，又D为AC的中点.∴BH＝AC＝2AD.∵BH∥AC，∴＝2.∴EB＝2DE.又AG＝BE.
∴AG＝2DE，∴.
【另解】导角可知，△ADE∽△BAG，∴.·
◆题型四 利用角平分线＋平行线构X型相似
【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∠ABC的平分线交AC于点D，CE⊥BC交BD的延长线于点E，求的值.
【解析】过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，交CE的延长线于点G，过点A作AM⊥BC，垂足为点M．易得BM＝MC＝3，AM＝4，AF＝AB＝5．AG＝MC＝3，
GF＝5－3＝2. ＝＝， 设FE＝2x， 则EB＝6x， BF＝8x． ＝＝．
∴BD＝BF＝x， ∴DE＝FD－FE＝x－2x＝x， ∴＝
针对练习2
1．如图，在□ABCD中，M为AB的中点，DM，DB与AC分别相交于点P，Q.
（1）求的值；
（2）若DB⊥BC，BC＝，PQ＝1．求PM的长.
解：（1）∵AB∥CD．∴＝＝＝， ∴＝，设AP＝2x，则
AC＝6x， AQ＝QC＝3x, PQ＝x， ∴＝2
（2）∵PQ＝1，则AP＝2，QC＝AQ＝3，QB＝√＝2．DB＝2QB＝4．
AB＝DC＝＝，∵∠ADB＝∠DBC＝90°，M为AB的中点，∴DM＝ AB＝，∴PM＝DM＝
2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，点F在AC上，FC＝2AF，BF交AD于点E．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝AD，求的值.
解：（1）过点A作AM∥BC交BF的延长线于点M，则＝＝＝，
∴BC＝2AM， BF＝2MF， ∵D是BC的中点， ∴AM＝BD＝DC．
∵AM∥BD，∴＝＝1，故AE＝ED；
（2）∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB． ∵AM∥BD，∴∠ABD＋∠BAM＝180°，
又∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠BAM＝∠ADC，又AB＝AD，AM＝DC，
∴△BAM≌△ADC（SAS），∴AC＝BM。 ∵＝ ，∴＝， ∴＝
3.如图，AD为△ABC的角平分线，点E在AB边上，CE交AD于点F，CF＝CD，若
AF＝3FD，EF＝3，求CD的长
解：过点C作CH∥AB交AD的延长线于点H，易证△CDH≌△CFA，∴DH＝AF．
设FD＝x， ∵AF＝3FD， ∴AF＝DH＝3x， FH＝4x， ∵CH∥AB，∴＝＝
∵ EF＝3， ∴CF＝4，∵CD＝CF，∴CD＝4．
【板块三】 作平行线构造A型相似
方法技巧:
1．求部分线段与整体线段的比的问题，往往构A型相似求解
2．过线段端点或分点作平行线构双A（X）图或AX型图
3．三条平行线构成X型、A型图中隐藏关系式：＋＝．
4．等腰三角形中作腰的平行线构造新的等腰三角形
◆题型一 直接或间接作平行线构造A型图求比值.
【例1】如图，在△ABC中，点E为线段BC的中点，点D在线段AC上，BD交AE于点F．若BF＝3FD，求的值.
【解析】取CD的中点M，连接EM， ∵E为BC的中点， ∴EM∥BD，EM＝BD．
又BF＝3FD， ∴FD＝BD． ∴FD＝EM，又FD∥EM， ∴＝＝．
◆题型二 直接或间接作平行线构造A型图转化比
【例2】如图，在△ACB中，点D为边AC的中点，点E为BD上任意一点，延长CE交AB于点M，延长AE交BC于点N，连接MN．求证：MN∥AC.
【解析】延长ED到点F，使FD＝DE，连接FA，FC．∵点D为AC的中点，
∴AD＝DC．∴四边形AFCE为平行四边形， ∴AF∥ME，FC∥NE．∴＝＝.
又∠MBN＝∠ABC， ∴△MBN∽△ABC． ∴∠BMN＝∠BAC．∴MN∥AC．
◆题型三 直接或间接作平行线构造双A型解题
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，M是CD的中点，EF⊥AB，垂足为点F．若EF＝4，CE＝3.2，求AE的长.
【解析】廷长FE，BC交于点H，易证CD∥HF， ∴＝＝，∵CM＝MD．
∴HE＝EF＝4，易证△AEF∽△HEC， 得＝， ＝， ∴AE＝5．
◆题型四 ＋＝型问题.
【例4】如图，AB∥CD，BD与AC交于点G，过点G作AB的平行线分别交BC，AD于点H，E．
（1）求证：＋＝；
（2）过点H作HF⊥AD，垂足为点F，若FG＝2，AB＝3，求CD的长.
【解析】（1）∵AB∥CD．EH∥AB， ∴AB∥CD∥EH．∴△CGH∽△CAB，△BCH∽△BDC， ∴＝，＝．
∴＋＝＋＝＝＝1
∴＋＝；
（2）∵AB∥CD∥EH， ∴＝＝＝， ∴EG＝GH， ∵HF⊥AD，
∴EG＝GH＝FG＝2，＋＝＝；＋＝ ，∴CD＝6
针对练习 3
1．如图，点D是△ABC的边CB的延长线上一点，点F在AC上，DF交AB于点E，若BD＝BE，CD＝4AE，AC＝5，求AF的长．
解：过点C作CH∥AB，交DF的延长线于点H，易证∠H＝∠DEB＝∠D．
∴HC＝DC＝4AE． ∵AE∥HC，∴△AEF∽△CHF， ∴＝＝4．
∴AF＝AC＝1．
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AF∥CD交BC于点F，E是AB上一点，AE＝AD，EC交AF于点M．求证：CM・BF＝AB・ME．
解：过点E作EH∥BC交AF于点H，则△EHM∽△CFM， ∴＝，＝，
∴＝， 易证AE＝AD＝CF， ∴＝＝，又＝，
∴＝，∴CM・BF＝AB・ME．
3．如图，在△ABC中，点P是AB上一点，AP＝4，BP＝6，点M是PC的中点，
∠ACP＝∠PBM．
（1）求AC的长；
（2）过点A作AD∥PC交BC的延长线于点D，BM的延长线交AD于点N．若ND＝，∠CAD＝30°，求CD的长.
解：（1）取AP的中点E，连接EM，易证△EMP∽△EBM．可得ME2＝EP・EB＝16，
∴EM=4， AC=2ME=8；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F．易得CF＝AC＝，∵AF＝． ∵PC∥AD．
∴ ＝＝， ∵PM＝CM， ∴AN＝ND＝．
∴AD＝，FD＝，CD＝＝．
【板块四】边边边法证明三角形相似
方法技巧
网格中或非网格中可计算出三边或算出三对对应边的比值，常用三边对应成比例证三角形相似
◆题型一 网格中的相似三角形
【例1】已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6，如图，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格．设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，请在网格中画一个与△ABC相似且对应边的比最大的格点三角形，并加以证明．
【解析】网格中最长边为大正方形的对角线，其长为，÷＝，作为相似比，×＝，×6＝，画A1C1＝，A1B1＝＝，
B1C1＝＝，∵＝＝＝， ∴△A1B1C1∽△ABC，A1C1
为图中最长边，故△A1B1C1就是所求的一个三角形.
◆题型二 非网格相似三角形
【例2】已知正方形ABCD，点E，F分别在边AD，CD上，且AE＝ED，CF＝3DF．
（1）求证：△ABE∽△EBF；
（2）连接AC与BE，BF分别相交于点M，N，求证：＝.
【解析】（1）正方形 ABCD的边长为4，易证＝＝＝，∴△ABE∽△EBF；
（2）过点N作NG∥AB交BE的延长线于点G，∠G＝∠ABE．∵△ABE∽△EBF，
∴∠ABE＝∠EBF，∠G＝∠EBF．∴BN＝NG．∵NG∥AB，∴△NGM∽△ABM．
∴＝，∵AB＝BC，BN＝NC， ∴＝。
法二：本题也可以过点A作AT∥BN交BE廷长线于点T来证明
针对练习4
1．如图，是由81个边长为1的小正方形组成的9×9的正方形网格．设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形
（1）请你计算出△ABC各边的长；
（2）请在网格中画一个与△ABC相似且与△ABC三边对应垂直的对应边比值最大的格点三角形，并加以证明（A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）．
解：（1）AC＝，BC＝，AB＝3：
2）与AB边垂直的最长边长为9，图中A1B1＝9，A1C1＝＝，
B1C1＝＝，＝＝， ∴△A1B1C1∽△ABC，
设A1C1与AC文于点O，
∵A1C＝A1A，∠CA1C1＝∠B1A1C1＝45°， ∴A1C1⊥AC， 延长CB文C1B1于点H，
∵△A1B1C1∽△ABC，∴∠ACB＝∠A1C1B1， ∴∠CHC1＝∠COC1＝90°，即CB⊥B1C1．故△A1B1C1即为所求
2如图，在四边形ABCD中、点E在BD上，且＝＝，BC＝4，∠BAE＝30°，求CD的最小值.
解：∵＝＝， ∴△ABC∽△AED．∴∠AED＝∠ABC．
∴∠BAE＋∠ABD＝∠ABD＋∠DBC， ∴∠BAE＝∠DBC＝30°，
当CD⊥BD时，CD最小，CD的最小值为BC=2
【板块五】 边角边法证三角形相似
方法技巧
1．旋转型、子母型图常运用两边对应成比例，其夹角相等证相似，
2．求形如a＋b的最值，常通过构“边角边”相似去求解
◆题型一 旋转型相似
【例1】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，点P，Q分别在边BC，AC上，CP＝3x，CQ＝4x（0＜x＜3），把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点C，Q的对应点分别为点D，E．
（1）如图1，若点D落在线段PQ上，且AD平分∠CAB，求x的值；
（2）如图2，当点E落在边AB上且QE∥CB时，求CD的长.
【解析】（1）易得AC＝12，PQ＝5x，QD＝QP－DP＝2x，AQ＝12－4x．
易证△ACB∽△QCP，∴∠QPC＝∠ABC， ∴AB∥QP，
∴∠QDA＝∠BAD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠QDA，
∴AQ＝QD， 12－4x＝2x, x=2
（2）过点P作PT⊥QE，垂足为点T．易证四边形CPTQ为矩形，
∴QT＝CP＝3x，易证QE＝2QT＝6x，由QE∥ CB 得＝，
＝，解得x＝1， QE＝6，易证△PQE∽△PCD，∴＝＝，
∴CD＝QE＝.
◆题型二 将a2＝bc型问题转化为“子母型”相似问题．
【例2】如图，在△PEF中，PE＝PF，O为EF的中点，G为PF上一点，∠PEG＝27°，N为OG的中点，PN⊥EG，垂足为点M，若∠MON＝18°，NG2＝NM・NP．求∠F的度数.
【解析】连接PO。 ∵NG2＝NM・NP，,N为OG中点，∴ON2＝NM・NP，＝，
又∠MNO＝∠ONP，∴△MON∽△OPN， ∴∠OPN＝∠MON＝18°，
∵PE＝PF，O为EF中点，∠POE＝90°，∵PN⊥EG，∴∠PME＝90°，
∴∠PME＝∠POE＝90°，∴∠GEO＝∠OPN＝18°．∵∠PEG＝27°，
∴∠PEF＝∠PEG＋∠GEO＝45． ∵PE＝PF． ∴∠F＝∠PEF＝45°。
1.如图，P是正方形ABCD边BC上一点，点M在边CD上，BM与AP交于点Q，BP2＝PQ· PA.
(1)求证：CM＝BP；
(2)若P为BC中点，求∠PQC的度数.
解：(1)易证△PBQ∽△PAB，∴∠MBP＝∠BAP.易证△ABP≌△BCM.∴CM＝BP；
(2)连接AC，BP2＝PQ·PA，BP＝PC，∴PC2＝PQ·PA，易证△PCQ∽△PAC，
∴∠PQC＝∠ACB＝45°
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AF交BD于点H，EC＝DH.
(1)求证:∠EAF＝45°;
(2)求证:AH＝EH
解：(1)连接AC，易证＝＝2，∠ACB＝∠ADB＝45°，∴△ACE∽△ADH.
∴∠DAH＝∠CAE.，∴∠DAH＋∠HAC＝∠CAE＋∠HAC，∴∠EAF＝∠CAD＝45°
(2)∵△ACE∽△ADH，∴＝，即＝，又∠EAF＝∠CAD＝45°，
∴△ACD∽△AEH，∴∠AHE＝∠ADC＝90°，∴△AEH为等腰直角三角形，∴AH＝EH
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，点E在边BC上，以AE为边作正方形AEMN，EN交AB于点F.
(1)求证:BM⊥AB;
(2)若CE＝2BE，求的值
解：(1)易证：△ACE∽△ABM，∴∠ABM＝∠ACE＝90°，∴BM⊥AB
(2)过点M作GM∥BC交AB于点G，则∠MGB＝∠ABC＝45°，则BG＝BM，设BE＝1，
则CE＝2BE＝2，∵△ACE∽△ABM，∴＝＝，∴BM＝CE＝.∴GB＝BM＝，GM＝＝4，∵BE∥MG，∴＝＝，∴＝，又AE＝EM，∴＝，＝5.
【板块六】角角判定法证三角形相似
方法技巧
1．共角的两个三角形优先考虑用角角判定法证三角形相似
2．用反A型相似证明ab＝cd型等式
3．善于发现或构造一线三等角型相似
4．共角且一对角互补的两个不相似三角形，构造等腰三角形转化为相似三角形
题型一 用角角判定法证明三角形相似
【例1】如图，D是△ABC边BC的中点，点M在AB上，∠ACM＝∠B.
(1)求证:AC2＝AM·AB;
(2)点O在AD边上，且AO＝2OD，过点O作EF∥MC，分别交AB，AC于点E，F，若AE＝6，EM＝1，求AF·AC的值.
【解析】(1)易证△ACM∽△ABC，∴＝，AC2＝AM·AB；
(2)取BM的中点N，连接DN，易证DN∥CM∥EF，∴＝＝2，∴AE＝2EN，EN＝3，MN＝3－1＝2，∵N为BM中点，∴BM＝2MN＝4，∴AB＝AE＋EM＋BM＝1，易证△AFE∽△ABC，得∴＝，AF·AC＝AE·AB＝6×11＝66.
题型二 构造等角，运用角角法证相似求边长
【例2】如图，点D在AB上，AB＝3BD＝12，点E在BC的延长线上，DE＝2AC，∠ACB＋∠BDE＝180°，∠B＝60°，求AC的长.
【解析】在BC上取一点F，使AF＝AC，过点F作FH⊥AB，垂足为点H，∵AF＝AC，∴∠ACB＝∠AFC，易证∠BDE＝∠AFB，又∠B＝∠B，∴△ABF∽△EBD，∴＝＝＝2，∴BF＝BD＝2，∵∠B＝60°,FH⊥AB，∴∠BFH＝30°,∴BH＝BF＝l， HF＝，∴AH＝AB－BH＝11，∴AF＝＝＝，又AC＝AF,∴AC＝
题型三 一线三等角问题
【例3】如图，在△ABP中，AP＝AB，O为AB上一点，OA＝2，OB＝1，AQ∥BP，且∠QOP＝∠B，求AQ·BP的值.
【解析】法一：构造和△QOA相似的三角形，过点O作OE∥AP交PB于点E，易证∠OEP＝∠QAO＝180°－∠B，∠QOA＝∠OPB，∴△QOA∽△OPE，∴＝，AQ·PE＝OA·CE，易证OE＝OB＝1，PE＝BP，∴AQ·BP＝1×2＝2，∴AQ·BP＝3.
法二：构造和△PBO相似的三角形，延长BA到点F，使得QF＝QA，则∠F＝∠QAF＝∠B，易证∠QOF＝∠OPB，设AQ＝x，PB＝y易证:△QFA∽△APB，∴＝，AQ·PB＝AP·AF，xy＝3AF，AF＝，易证△QFO∽△OBP，∴＝，QF·BP＝OB·FO，xy＝1×(＋2)，xy＝3，故AQ·BP＝3
1.如图，AB＝AC，∠BAC＝90°,D为边AB上任意一点，AE∥BC，∠CDE＝45°,求证：＝
解：过点D作DF⊥AB于点D，交CB于点F，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝
∠ACB＝45°,DF∥AC，AE∥BC,∵∠CFD＋∠ACB＝180°,∠DAE＋∠ABC＝180°,
∴∠CFD＝∠DAE＝135°，∵∠CDA＝∠ABC＋∠BCD＝45°＋∠BCD，∠CDA＝∠CDE＋
∠EDA＝45°＋∠EDA，∴∠BCD＝∠EDA，∴△CFD∽△DAE，∴＝，∵DF∥AC，
∴＝＝，∴＝＝
另解：过点D作DG∥BC交AC于点G亦可.
2如图，△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝24，D，E分别是BC，AB上的点，∠ADE＝∠B，当△BDE为直角三角形时，求BD的长.
解：易证∠ADC＝∠BED，①若∠BED＝90°，如图1，则∠ADC＝∠BED＝90°,∵AB＝AC，∴BD＝DC＝BC＝12；
②若∠BDE＝90°，如图2，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，∵AB＝AC，∴BF＝FC＝12，易证△ABF∽△EBD，∴＝＝，设BE＝5x，则BD＝4x，DC＝24－4x，易证△ADC∽△DEB，∴＝，BE·AC＝BD·DC，15×5x＝4x(24－4x)，解得x＝，BD＝4x＝，故BD＝12或
3．如图，点E，F分别在线段AC，BC上，∠FEC＝∠B，∠ACB＝60°，CH平分∠ACB交EF于点H.
(1)求证: ＝
(2)若EC＝，HC＝5，求的值
解：(1)过点E，F作HC的垂线，垂足分别为点M，N，则EM∥FN，∴＝＝＝，
(2)FC＝2x，∵∠ACB＝60°,CH平分∠ACB，∴ME＝EC＝,FN＝FC＝x，NC＝,MC＝ME＝6.∴MH＝6－5＝1，HN＝5－，由△NEH∽△NFH得，＝，＝，x＝－6x，x＝，∴＝＝
4.如图，正方形ABCD中，BC＝4，对角线AC，BD交于点O，P是OB的中点，N在线段CD上(不与C，D两点重合)，PM⊥PN交BC于点M，求BM＋DN的值.
解：取BC的中点E，连接PE，易证PE＝PB＝PO＝OD＝PD，易证△PME∽△PND，∴＝＝∴ME＝DN，∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝2，∴BM＋DN＝ BM＋ME＝ BE＝2
【板块七】作垂线构造三角形相似
方法技巧
作垂线构造直角三角形相似转化比或用比例式列方程求边.
题型一 利用对顶角相等，作垂线构造直角三角形相似
【例1】如图，BD为△ABC的高，点E在AB边上，∠BEC＝60°，BE＝2CD，CE与BD相交于点F，求的值
【解析】过点B作BH⊥CE，垂足为点H，则BH＝BE＝CD，△BHF∽△CDF.
∴＝＝＝
题型二 利用同角或等角的补角相等作垂线构造直角三角形相似
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，点O是AC边中点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E，若＝n，求的值.
【证明】过点O作AD，DC的垂线，垂足分别为点H，K，△FHO∽△EKO，
△AOH≌△OCK，△OKC∽△BAC，＝＝＝＝n.
题型三 利用角平分线作垂线构造直角三角形相似
【例3】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，求BD的长.
【解析】过点B，C作AD的垂线，垂足分别为点E，F；易证BE＝AB＝3，CF＝AC＝2，AE＝，AF＝，∴EF＝，易证△BED∽△GFD，∴＝＝，∴DE＝EF＝，
∴BD＝＝
题型四 面积问题作高构造直角三角形相似
【例4】如图，在△ABC中，∠C＝45°，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，AB＝BD＝2AE，连接EF交AD于点G，∠AGF＝45°，若AD＝4，FG＝，求△AFG的面积.
【解析】过点A作AM⊥FG，过点B作BN⊥AD，垂足分别为点M，N.
∵∠AGF＝45°，∴∠MAG＝45°,∵∠C＝45，易证∠MAG＋∠DAC＝∠C＋∠DAC，即∠ADB＝∠MAE，∵BA＝BD，BN⊥AD，∴AN＝ND＝2，易证△BDN≌△EAM，∴＝＝2，AM＝1
S△AFG＝FG·AM＝.
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，AC＝2BC＝4CE，CD⊥BE交BE于点F，交AB于点D，求的值
解：过点A作AC的垂线交CD的延长线于点H，∵AC＝2BC＝4CE，设CE＝x，∴BC＝2x，AC＝4x，易证△BCE∽△CAH，＝＝,∴AH＝AC＝2x，易证BC∥AH,∴＝＝1
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，D为AC的中点，过点A作AE∥BC，连接BE，∠EBD＝∠CBD，BD＝5，求BE的长.
解：过点B作BO⊥AC于点O，易得AC＝2BD＝2DC＝10，∠EBD＝∠DBC＝∠C,∠ODB＝2∠DBC＝∠DBC＋∠EBD＝∠EBC＝∠E，∴Rt△AEB∽Rt△ODB,
∴＝，可得AB＝6，BD＝5，BO＝24，∴BE＝
3.如图B，C，E三点在一条直线上，△ABC与△DCE均为等边三角形，DB与AC，AE分别相交于点H，F，连接FC.
(1)求证：△AHB∽△FHC；
(2)若BF＝2FE，求的值
解：(1)易证△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠DBC，∴∠AFB＝∠ACB＝60°，
∴△AFH∽△BCH，又∠FHC＝∠AHB，∴△AHB∽△FHC；
(2)过点B作BM⊥FC，过点E作EN⊥FC，垂足分别为点M，N，
易证＝＝＝＝2，∴＝2
4.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2BC＝2CD，E为CD上一点，BF⊥AE交AD于点F，求的值.
解：设BC＝CD＝1，则AB＝AD＝2，延长BC，AD交于点H，过点B作BM⊥AD于点M，则△CDH∽△ABH，∴＝＝，设CH＝x，则AH＝2x，DH＝2x－2，1＋(2x－2)＝x，x＝或x＝1(舍)，∴CH＝，BH＝，易证△CDH∽△BMH，∴＝＝，∴BM＝，易证△BFM∽△AED，∴＝＝
【板块八】用相似法证明线段相等
方法技巧
1.证明a=b的方法技巧之一：若，则a=b.
2.证明a=b的方法技巧之二：若，c=d，则a=b.
题型一 双A双X并排型
【例1】如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，DC交BE于点O，直线AO分别交DE，BC于点M，N.求证：BN=NC.
【解析】∵DE∥BC，△ADM∽△ABN，∴.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
△DEO∽△CBO，△DMO∽△CNO，∴ , , ,
∴，∴BN=NC
题型二普通型相似
【例2】如图，D为Rt△ACB斜边AB的中点，点M在AC上，点N在BC的延长线上，∠MDN=90°.
（1）求证：∠CAB=∠MND.
（2）如图2，分别过点M，N作直线AB的垂线，垂足分别为点G，H.求证：AG=DH.
【解析】（1）取MN的中点O，连接CO，OD，CD.易证OC=OD=OM=ON.∴M，N，C，D四点共圆.∴∠MND=∠MCD.又∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AD=DB.可得∠CAB=∠ACD.∴∠CAB=∠MND；
（2）易证△MND∽△MAG，△MGD∽△DHN.∴，∴AG=DH.
针对练习8
1.如图，在等边△ABC中，点E在CA的延长线上，点D在BC的延长线上，AE=CD，延长DA交BE于点F.
（1）求证：∠EAF=∠ABE；
（2）过点E作EG∥FC交AD于点G.求证：EF=AG.
解：（1）证△CAD≌△ABE得∠CAD=∠ABE，又∠CAD=∠EAF，∴∠EAF=∠ABE；
（2）易证△AEF∽△BEA得，易证△EAC∽△CAF 得.
又AB=AC,∴，∴EF=AG.
2.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，分别过点B，C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线分别交于点D，E，连接DC，BE，DC与AB相交于点M，BE与AC相交于点N.若DE与BC不平行，求证：AM=NC.
解：延长DB，EC交于点P.易证四边形ABPC为菱形.
∴AB=BP=PC=AC.由AB∥CE得，.
由AC∥DB得，，∴，∴，∴AM=NC
【板块九】等比代换
方法技巧
1.直接通过三角形相似转化比.
2.用相等线段代换转化比.
题型一 等比代换证平行
【例1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是射线CB上一点，F是CD上一点，且∠EAF=120°.
（1）求证：；
（2）求证：BF∥DE.
【解析】（1）连接AC，易证∠BAD=∠EAF=120°.可得∠EAB=∠FAD.
∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠ADC=∠ACD=60°.可得∠EAC=∠AFC.
易证△EAC∽△AFC.得,∵AB=AC，∴
（2）∵△EAC∽△AFC，∴,易证AC=CD=CB.∴,∵∠BCF=∠ECD，∴△BCF∽△ECD.∴∠CBF=∠CED.∴BF∥ED.
【例2】如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于点G，交AE于点F，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.
（1）求证：AH=BH；
（2）若∠BAC=60°，求的值.
【解析】（1）易证BG=MG.又BE=EC，∴GE∥AC，∴，∴AH=BH
（2）延长EH到点P，使GH=PH.连接AP，BP.易证四边形APBG为矩形，
∠ABP=∠BAG=30°.∴，∴.
针对练习9
1.如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE，交DF于点N，连接AD交EF于点M.求证：MN∥AC.
解：易证四边形EFDB为平行四边形.∴EF=BD.∵EF∥BC，DF∥AB.
∴即.∵BD=EF，∴，
又∠MEN=∠FEC.∴△MEN∽△FEC.∴∠EMN=∠EFC.∴MN∥AC.
2.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，N为BE上一点，作FN⊥CN交AB于点F.
（1）求证：△ANF∽△BNC；
（2）探究DE与BF的数量关系，说明理由.
解：（1）略；
（2）DE=BF，理由如下：∵△ANF∽△BNC.∴,易证：△AEN∽△BAN，
∴，∴∵AB=BC.∴AF=AE.∵AD=AB，∴AD-AE=AB-AF，即DE=BF.
【板块十】相似与最值
方法技巧
1.构造旋转相似法确定轨迹，再求最值.
2.用函数思想求最值.先用相似转化所求线段，后求最值.
3.先用常用模型定何时取最值，然后用相似计算.
题型一 构造旋转相似，用垂线段最短求最值
【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），P为y轴上一动点，PQ⊥AP，且AP=2PQ（P，A，Q三点为逆时针顺序），求OQ的最小值.
【解析】取点B（0，2），连接AB，BQ，BQ交x轴于点M，易证△APQ∽△AOB，△ABQ∽△AOP，
得∠ABQ=∠AOP=90°，所以点Q在过点B垂直于AB的直线上运动，易得，当OQ⊥BM时，OQ最小..
题型二 用相似法转化所求线段
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB的中点，E，F分别是直线AC，BC上的动点，∠EDF=90°.求线段EF的最小值.
【解析】∠FDE=∠FCE=90°，F，D，C，E四点在以FE为直径的圆O上，
∴∠FED=∠BCD=∠ABC，∠FDE=∠ACB=90°，∴△FDE∽△ACB，EF:AB=FD:AC.，当FD最小时EF最小，当DF⊥BC时，，此时.
题型三 用其它模型定轨迹，用相似计算
【例3】如图，已知点A（2，4），P（1，0），B为y轴上的一动点，过点A作AC⊥AB交x轴于点C.点M为BC的中点.求PM的最小值.
【解析】∵∠BAC=∠BOC=90°，M为BC中点，∴AM=OM.∴点M在AO的垂直平分线上.
设OA的垂直平分线分别交y轴，x轴于点D，E，当PM⊥DE时，PM最小.
过点A作AF⊥y轴于点F.设OD=AD=t，则FD=4-t，FD2+AF2=AD2，
（4-t）2+22=t2，t=，OD=.易证△ODE∽△FAO.∴，
AF·OE=OD·OF，OE=5.
易得0A=.△PME∽△AFO.∴,PM=，
故PM的最小值为.
题型四 a+xb型最值问题（阿氏圆）
【例4】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作⊙B与AC相切，点P为⊙B上一动点，求PA+PC的最小值.
【解析】在BC上截取BE=1，连接EP，BP.易得⊙B半径为，故BP=.，
∴∠EBP=∠PBC，∴△EBP∽△PBC.∴,EP=PC，PA+PC=PA+EP≥AE=当A，P，E三点共线即EA与⊙B交于点P时取等号.故PA+PC的最小值为.
针对练习10
1.如图，P为边长为2的正方形ABCD中BC上一动点，PE⊥PD，PE=2PD，连接EA，AP.求△PAE面积的最小值.
解：过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F.设PC=x，则BP=2-x.
易证△EFP∽△PCD.∴，∴EF=2PC=2x，FP=2CD=4，
FB=4-（2-x）=2+x.S△PAE=S梯形EFBA十S△ABP-S△EFP=（2x+2）（2+x）+（2-x）-4x
=x2-2x+4=（x-1）2+3，当x=1时S△PAE最小=3.
2.如图，A（0，），点C为x轴上一动点，过点C作AC的垂线CB，满足CB=AC（A，C，B为逆时针顺序）.求OB的最小值.
解：法一：旋转相似法，取D（3，0），在x轴上方作∠ADE=90°，
DE=AD（A，D，E为逆时针顺序）.易证△ACB∽△ADE，△AOC∽△ADB，
∴∠ADB=∠AOC=90°，故点B在过点D（3，0），垂直于AD的直线上运动，
当OB⊥DE时OB最小，OB最小值为.
法二：函数思想，设C（x，0），过点B作BF⊥x轴于点F，
易证△AOC∽△CFB.
CF=AO=3，BF=OC，∴OF=x+3，BF=，OB==
=，当x=时， 0B最小值为.
3.如图，点A，B在⊙O上，且OA=OB=12，OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD=10.
动点P在⊙O上，求PC+PD的最小值
解：在OA的延长线上截取OE=2OP=24，易证△OPC∽△OEP得PE=2PC.
连接ED，PC+PD=（2PC+PD）=（PE+PD）.PE+PD≥DE=26.
当ED交圆于点P时取等号.故PC+PD的最小值为13.
第二十七章相似
第21讲 相似三角形的判定
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1.相似多边形。
2.平行线分线段成比例定理。
3.相似三角形的判定方法.
【板块一】平行线分线段成比例定理
方法技巧
1.在利用平行线分线段成比例定理时，注意对应线段的位置。
2.由平行线＋中点得线段中点，利用中位线解题.
题型一运用平行线分线段成比例定理探究线段关系
【例1】如图，已知直线AB∥CD∥EF，AF与BE交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，求的值.
【解析】由AB∥CD∥EF，得，又AD＝AG＋GD＝2＋1＝3，DF＝5，∴.
【例2】如图，P是□ABCD的边BC的延长线上任意一点，AP分别交BD和CD于点M和N.求证：
AM2＝MN·MP.
【解析】∵AB∥DN，∴△AMB∽△NMD，∴，又∵AD∥BP，∴△BMP∽△DMA，
∴,∴，∴AM2＝MN×MP.
题型二平行线等分线段定理证线段中点
【例3】如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，DF⊥BD，且DF＝BE，FB与AC
交于点M.求证：DE＝2CM.
【解析】延长DF，BC交于点H，易证∠CDF＝45°＝∠DCA，∴DH∥AC，又AD∥CH，∴四边形ACHD为平行四边形.∴AD＝CH＝DC＝BC，DH＝AC＝BD.∵AC∥DH，BC＝AD＝CH，∴BM＝MF，又 BC＝CH.∴FH＝2CM.又 DH
＝BD，BE＝BF，∴DH－DF＝BD－BE，即DE＝FH.∴DE＝2CM.
1.如图，直线l1，l2，l3分别交直线l4于A，B，C三点，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，已知DE:DF
＝3：8，AC＝24.
（1）求BC的长；
（2）当AD＝4，CF＝20时，求BE的长.
解：（1）BC＝15；
（2）连接CD交EB于点H，易得EH＝FC＝；HB＝AD＝；∴BE＝EH＋HB＝10.
2.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F.
（1）求证：DE＝CF；
（2）若BF＝1，AE＝2，EF＝4，求AB的长.
解：（1）过点O作ON⊥CD，垂足为点N，易证AE∥ON∥BF，∴＝1.∴EN＝NF.
∵ON⊥CD，∴DN＝NC.∴DN－EN＝NC－NF，∴DE＝CF；
（2）延长AE交OO于点M，连接BM.易证四边形EMBF为矩形.∴EM＝BF＝1，BM＝EF＝4，
∴AB＝ ＝5.
3.如图，在正方形ABCD中，点E在DA的延长线上，AE＝AB，点F在CD上，M为AF的中点，过点M作MN⊥MC交BE于点N.求证：MN＝MC.
解：过点M作MP⊥BC，垂足为点P，易证AB∥MP∥DC，＝1.∴BP＝PC.∵MP⊥BC，∴MB＝MC.设∠NMB＝2x，易证∠BMP＝∠PMC＝45°－x，∠MBP＝45°＋x，∠ABM＝45°－x，∠MBE＝90°－x，∴∠MNB＝
180°－∠NMB－∠MBE＝90°－x.∴∠MBE＝∠MNB.∴MN＝MB＝MC.
【板块二】作平行线构造X型相似
方法技巧
1.作平行线是构造三角形相似的基本方法，利用平行线对比例式进行转化。
2.通常引入参数求比值或计算线段的长。
题型一延长平行线段构X型相似
【例1】如图，□ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠ABC＝60°，AE⊥BC，垂足为点E，F为CD的中点，DE与BF相交于点P.
（1）求的值；
（2）求BP的长.
【解析】（1）延长BF，AD交于点M，易得BE＝AB＝1，BC＝AD＝3，EC＝2，由AD∥BC得＝1，.∴DM＝BC＝3，＝；
（2）过点M作MN⊥BC交BC的延长线于点N.易证四边形AENM为矩形，∴MN＝AE＝，EN＝AM＝6，BM＝
＝2.∵AD∥BC，＝，∴，BP＝BM＝.
题型二作平行线构X型相似，证线段关系
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，点E，F在AD 上，AE＝EF＝BE，∠BED＝∠BAC.
（1）求证：AE＝FC；
（2）求证：BD＝2CD.
【解析】（1）∵AE＝EF＝BE.∴BE＝AF，∵∠BED＝∠BAC，∴∠ABE＝∠CAF，
∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AE＝FC；
（2）过点C作CM∥BE交AD的是长线于点M.∵△ABE≌△CAF.∴∠BEA＝∠AFC，∵∠BEA＋∠BED－180°，
∠AFC＋∠DFC＝180°，∴∠BED＝∠DFC.∵BE∥CM.∴∠M＝∠BED＝∠DFC.∴FC＝CM.∵AE＝FC，AE＝BE，∴BE＝2CM.∵BE∥CM.∴△BED∽△CMD.∴＝2.∴BD＝2DC.
题型三作平行线构X型相似，求比值
【例3】如图，∠CAB＝90°，AC＝AB，D是AC的中点，AF⊥BC分别交BD，BC于点E，F.AG⊥DB交BC于点G.求的值.
【解析】过点B价BH∥AC交AF的延长线于点H.易证△ACG≌△BAE.∴AG＝BE.易证CF＝BF.∵BH∥AC，∴＝1.∴BH＝AC，又D为AC的中点.∴BH＝AC＝2AD.∵BH∥AC，∴＝2.∴EB＝2DE.又AG＝BE.
∴AG＝2DE，∴.
【另解】导角可知，△ADE∽△BAG，∴.·
◆题型四 利用角平分线＋平行线构X型相似
【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∠ABC的平分线交AC于点D，CE⊥BC交BD的延长线于点E，求的值.
【解析】过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，交CE的延长线于点G，过点A作AM⊥BC，垂足为点M．易得BM＝MC＝3，AM＝4，AF＝AB＝5．AG＝MC＝3，
GF＝5－3＝2. ＝＝， 设FE＝2x， 则EB＝6x， BF＝8x． ＝＝．
∴BD＝BF＝x， ∴DE＝FD－FE＝x－2x＝x， ∴＝
针对练习2
1．如图，在□ABCD中，M为AB的中点，DM，DB与AC分别相交于点P，Q.
（1）求的值；
（2）若DB⊥BC，BC＝，PQ＝1．求PM的长.
解：（1）∵AB∥CD．∴＝＝＝， ∴＝，设AP＝2x，则
AC＝6x， AQ＝QC＝3x, PQ＝x， ∴＝2
（2）∵PQ＝1，则AP＝2，QC＝AQ＝3，QB＝√＝2．DB＝2QB＝4．
AB＝DC＝＝，∵∠ADB＝∠DBC＝90°，M为AB的中点，∴DM＝ AB＝，∴PM＝DM＝
2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，点F在AC上，FC＝2AF，BF交AD于点E．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝AD，求的值.
解：（1）过点A作AM∥BC交BF的延长线于点M，则＝＝＝，
∴BC＝2AM， BF＝2MF， ∵D是BC的中点， ∴AM＝BD＝DC．
∵AM∥BD，∴＝＝1，故AE＝ED；
（2）∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB． ∵AM∥BD，∴∠ABD＋∠BAM＝180°，
又∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠BAM＝∠ADC，又AB＝AD，AM＝DC，
∴△BAM≌△ADC（SAS），∴AC＝BM。 ∵＝ ，∴＝， ∴＝
3.如图，AD为△ABC的角平分线，点E在AB边上，CE交AD于点F，CF＝CD，若
AF＝3FD，EF＝3，求CD的长
解：过点C作CH∥AB交AD的延长线于点H，易证△CDH≌△CFA，∴DH＝AF．
设FD＝x， ∵AF＝3FD， ∴AF＝DH＝3x， FH＝4x， ∵CH∥AB，∴＝＝
∵ EF＝3， ∴CF＝4，∵CD＝CF，∴CD＝4．
【板块三】 作平行线构造A型相似
方法技巧:
1．求部分线段与整体线段的比的问题，往往构A型相似求解
2．过线段端点或分点作平行线构双A（X）图或AX型图
3．三条平行线构成X型、A型图中隐藏关系式：＋＝．
4．等腰三角形中作腰的平行线构造新的等腰三角形
◆题型一 直接或间接作平行线构造A型图求比值.
【例1】如图，在△ABC中，点E为线段BC的中点，点D在线段AC上，BD交AE于点F．若BF＝3FD，求的值.
【解析】取CD的中点M，连接EM， ∵E为BC的中点， ∴EM∥BD，EM＝BD．
又BF＝3FD， ∴FD＝BD． ∴FD＝EM，又FD∥EM， ∴＝＝．
◆题型二 直接或间接作平行线构造A型图转化比
【例2】如图，在△ACB中，点D为边AC的中点，点E为BD上任意一点，延长CE交AB于点M，延长AE交BC于点N，连接MN．求证：MN∥AC.
【解析】延长ED到点F，使FD＝DE，连接FA，FC．∵点D为AC的中点，
∴AD＝DC．∴四边形AFCE为平行四边形， ∴AF∥ME，FC∥NE．∴＝＝.
又∠MBN＝∠ABC， ∴△MBN∽△ABC． ∴∠BMN＝∠BAC．∴MN∥AC．
◆题型三 直接或间接作平行线构造双A型解题
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，M是CD的中点，EF⊥AB，垂足为点F．若EF＝4，CE＝3.2，求AE的长.
【解析】廷长FE，BC交于点H，易证CD∥HF， ∴＝＝，∵CM＝MD．
∴HE＝EF＝4，易证△AEF∽△HEC， 得＝， ＝， ∴AE＝5．
◆题型四 ＋＝型问题.
【例4】如图，AB∥CD，BD与AC交于点G，过点G作AB的平行线分别交BC，AD于点H，E．
（1）求证：＋＝；
（2）过点H作HF⊥AD，垂足为点F，若FG＝2，AB＝3，求CD的长.
【解析】（1）∵AB∥CD．EH∥AB， ∴AB∥CD∥EH．∴△CGH∽△CAB，△BCH∽△BDC， ∴＝，＝．
∴＋＝＋＝＝＝1
∴＋＝；
（2）∵AB∥CD∥EH， ∴＝＝＝， ∴EG＝GH， ∵HF⊥AD，
∴EG＝GH＝FG＝2，＋＝＝；＋＝ ，∴CD＝6
针对练习 3
1．如图，点D是△ABC的边CB的延长线上一点，点F在AC上，DF交AB于点E，若BD＝BE，CD＝4AE，AC＝5，求AF的长．
解：过点C作CH∥AB，交DF的延长线于点H，易证∠H＝∠DEB＝∠D．
∴HC＝DC＝4AE． ∵AE∥HC，∴△AEF∽△CHF， ∴＝＝4．
∴AF＝AC＝1．
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AF∥CD交BC于点F，E是AB上一点，AE＝AD，EC交AF于点M．求证：CM・BF＝AB・ME．
解：过点E作EH∥BC交AF于点H，则△EHM∽△CFM， ∴＝，＝，
∴＝， 易证AE＝AD＝CF， ∴＝＝，又＝，
∴＝，∴CM・BF＝AB・ME．
3．如图，在△ABC中，点P是AB上一点，AP＝4，BP＝6，点M是PC的中点，
∠ACP＝∠PBM．
（1）求AC的长；
（2）过点A作AD∥PC交BC的延长线于点D，BM的延长线交AD于点N．若ND＝，∠CAD＝30°，求CD的长.
解：（1）取AP的中点E，连接EM，易证△EMP∽△EBM．可得ME2＝EP・EB＝16，
∴EM=4， AC=2ME=8；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F．易得CF＝AC＝，∵AF＝． ∵PC∥AD．
∴ ＝＝， ∵PM＝CM， ∴AN＝ND＝．
∴AD＝，FD＝，CD＝＝．
【板块四】边边边法证明三角形相似
方法技巧
网格中或非网格中可计算出三边或算出三对对应边的比值，常用三边对应成比例证三角形相似
◆题型一 网格中的相似三角形
【例1】已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6，如图，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格．设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，请在网格中画一个与△ABC相似且对应边的比最大的格点三角形，并加以证明．
【解析】网格中最长边为大正方形的对角线，其长为，÷＝，作为相似比，×＝，×6＝，画A1C1＝，A1B1＝＝，
B1C1＝＝，∵＝＝＝， ∴△A1B1C1∽△ABC，A1C1
为图中最长边，故△A1B1C1就是所求的一个三角形.
◆题型二 非网格相似三角形
【例2】已知正方形ABCD，点E，F分别在边AD，CD上，且AE＝ED，CF＝3DF．
（1）求证：△ABE∽△EBF；
（2）连接AC与BE，BF分别相交于点M，N，求证：＝.
【解析】（1）正方形 ABCD的边长为4，易证＝＝＝，∴△ABE∽△EBF；
（2）过点N作NG∥AB交BE的延长线于点G，∠G＝∠ABE．∵△ABE∽△EBF，
∴∠ABE＝∠EBF，∠G＝∠EBF．∴BN＝NG．∵NG∥AB，∴△NGM∽△ABM．
∴＝，∵AB＝BC，BN＝NC， ∴＝。
法二：本题也可以过点A作AT∥BN交BE廷长线于点T来证明
针对练习4
1．如图，是由81个边长为1的小正方形组成的9×9的正方形网格．设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形
（1）请你计算出△ABC各边的长；
（2）请在网格中画一个与△ABC相似且与△ABC三边对应垂直的对应边比值最大的格点三角形，并加以证明（A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）．
解：（1）AC＝，BC＝，AB＝3：
2）与AB边垂直的最长边长为9，图中A1B1＝9，A1C1＝＝，
B1C1＝＝，＝＝， ∴△A1B1C1∽△ABC，
设A1C1与AC文于点O，
∵A1C＝A1A，∠CA1C1＝∠B1A1C1＝45°， ∴A1C1⊥AC， 延长CB文C1B1于点H，
∵△A1B1C1∽△ABC，∴∠ACB＝∠A1C1B1， ∴∠CHC1＝∠COC1＝90°，即CB⊥B1C1．故△A1B1C1即为所求
2如图，在四边形ABCD中、点E在BD上，且＝＝，BC＝4，∠BAE＝30°，求CD的最小值.
解：∵＝＝， ∴△ABC∽△AED．∴∠AED＝∠ABC．
∴∠BAE＋∠ABD＝∠ABD＋∠DBC， ∴∠BAE＝∠DBC＝30°，
当CD⊥BD时，CD最小，CD的最小值为BC=2
【板块五】 边角边法证三角形相似
方法技巧
1．旋转型、子母型图常运用两边对应成比例，其夹角相等证相似，
2．求形如a＋b的最值，常通过构“边角边”相似去求解
◆题型一 旋转型相似
【例1】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，点P，Q分别在边BC，AC上，CP＝3x，CQ＝4x（0＜x＜3），把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点C，Q的对应点分别为点D，E．
（1）如图1，若点D落在线段PQ上，且AD平分∠CAB，求x的值；
（2）如图2，当点E落在边AB上且QE∥CB时，求CD的长.
【解析】（1）易得AC＝12，PQ＝5x，QD＝QP－DP＝2x，AQ＝12－4x．
易证△ACB∽△QCP，∴∠QPC＝∠ABC， ∴AB∥QP，
∴∠QDA＝∠BAD， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠QDA，
∴AQ＝QD， 12－4x＝2x, x=2
（2）过点P作PT⊥QE，垂足为点T．易证四边形CPTQ为矩形，
∴QT＝CP＝3x，易证QE＝2QT＝6x，由QE∥ CB 得＝，
＝，解得x＝1， QE＝6，易证△PQE∽△PCD，∴＝＝，
∴CD＝QE＝.
◆题型二 将a2＝bc型问题转化为“子母型”相似问题．
【例2】如图，在△PEF中，PE＝PF，O为EF的中点，G为PF上一点，∠PEG＝27°，N为OG的中点，PN⊥EG，垂足为点M，若∠MON＝18°，NG2＝NM・NP．求∠F的度数.
【解析】连接PO。 ∵NG2＝NM・NP，,N为OG中点，∴ON2＝NM・NP，＝，
又∠MNO＝∠ONP，∴△MON∽△OPN， ∴∠OPN＝∠MON＝18°，
∵PE＝PF，O为EF中点，∠POE＝90°，∵PN⊥EG，∴∠PME＝90°，
∴∠PME＝∠POE＝90°，∴∠GEO＝∠OPN＝18°．∵∠PEG＝27°，
∴∠PEF＝∠PEG＋∠GEO＝45． ∵PE＝PF． ∴∠F＝∠PEF＝45°。
1.如图，P是正方形ABCD边BC上一点，点M在边CD上，BM与AP交于点Q，BP2＝PQ· PA.
(1)求证：CM＝BP；
(2)若P为BC中点，求∠PQC的度数.
解：(1)易证△PBQ∽△PAB，∴∠MBP＝∠BAP.易证△ABP≌△BCM.∴CM＝BP；
(2)连接AC，BP2＝PQ·PA，BP＝PC，∴PC2＝PQ·PA，易证△PCQ∽△PAC，
∴∠PQC＝∠ACB＝45°
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AF交BD于点H，EC＝DH.
(1)求证:∠EAF＝45°;
(2)求证:AH＝EH
解：(1)连接AC，易证＝＝2，∠ACB＝∠ADB＝45°，∴△ACE∽△ADH.
∴∠DAH＝∠CAE.，∴∠DAH＋∠HAC＝∠CAE＋∠HAC，∴∠EAF＝∠CAD＝45°
(2)∵△ACE∽△ADH，∴＝，即＝，又∠EAF＝∠CAD＝45°，
∴△ACD∽△AEH，∴∠AHE＝∠ADC＝90°，∴△AEH为等腰直角三角形，∴AH＝EH
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，点E在边BC上，以AE为边作正方形AEMN，EN交AB于点F.
(1)求证:BM⊥AB;
(2)若CE＝2BE，求的值
解：(1)易证：△ACE∽△ABM，∴∠ABM＝∠ACE＝90°，∴BM⊥AB
(2)过点M作GM∥BC交AB于点G，则∠MGB＝∠ABC＝45°，则BG＝BM，设BE＝1，
则CE＝2BE＝2，∵△ACE∽△ABM，∴＝＝，∴BM＝CE＝.∴GB＝BM＝，GM＝＝4，∵BE∥MG，∴＝＝，∴＝，又AE＝EM，∴＝，＝5.
【板块六】角角判定法证三角形相似
方法技巧
1．共角的两个三角形优先考虑用角角判定法证三角形相似
2．用反A型相似证明ab＝cd型等式
3．善于发现或构造一线三等角型相似
4．共角且一对角互补的两个不相似三角形，构造等腰三角形转化为相似三角形
题型一 用角角判定法证明三角形相似
【例1】如图，D是△ABC边BC的中点，点M在AB上，∠ACM＝∠B.
(1)求证:AC2＝AM·AB;
(2)点O在AD边上，且AO＝2OD，过点O作EF∥MC，分别交AB，AC于点E，F，若AE＝6，EM＝1，求AF·AC的值.
【解析】(1)易证△ACM∽△ABC，∴＝，AC2＝AM·AB；
(2)取BM的中点N，连接DN，易证DN∥CM∥EF，∴＝＝2，∴AE＝2EN，EN＝3，MN＝3－1＝2，∵N为BM中点，∴BM＝2MN＝4，∴AB＝AE＋EM＋BM＝1，易证△AFE∽△ABC，得∴＝，AF·AC＝AE·AB＝6×11＝66.
题型二 构造等角，运用角角法证相似求边长
【例2】如图，点D在AB上，AB＝3BD＝12，点E在BC的延长线上，DE＝2AC，∠ACB＋∠BDE＝180°，∠B＝60°，求AC的长.
【解析】在BC上取一点F，使AF＝AC，过点F作FH⊥AB，垂足为点H，∵AF＝AC，∴∠ACB＝∠AFC，易证∠BDE＝∠AFB，又∠B＝∠B，∴△ABF∽△EBD，∴＝＝＝2，∴BF＝BD＝2，∵∠B＝60°,FH⊥AB，∴∠BFH＝30°,∴BH＝BF＝l， HF＝，∴AH＝AB－BH＝11，∴AF＝＝＝，又AC＝AF,∴AC＝
题型三 一线三等角问题
【例3】如图，在△ABP中，AP＝AB，O为AB上一点，OA＝2，OB＝1，AQ∥BP，且∠QOP＝∠B，求AQ·BP的值.
【解析】法一：构造和△QOA相似的三角形，过点O作OE∥AP交PB于点E，易证∠OEP＝∠QAO＝180°－∠B，∠QOA＝∠OPB，∴△QOA∽△OPE，∴＝，AQ·PE＝OA·CE，易证OE＝OB＝1，PE＝BP，∴AQ·BP＝1×2＝2，∴AQ·BP＝3.
法二：构造和△PBO相似的三角形，延长BA到点F，使得QF＝QA，则∠F＝∠QAF＝∠B，易证∠QOF＝∠OPB，设AQ＝x，PB＝y易证:△QFA∽△APB，∴＝，AQ·PB＝AP·AF，xy＝3AF，AF＝，易证△QFO∽△OBP，∴＝，QF·BP＝OB·FO，xy＝1×(＋2)，xy＝3，故AQ·BP＝3
1.如图，AB＝AC，∠BAC＝90°,D为边AB上任意一点，AE∥BC，∠CDE＝45°,求证：＝
解：过点D作DF⊥AB于点D，交CB于点F，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝
∠ACB＝45°,DF∥AC，AE∥BC,∵∠CFD＋∠ACB＝180°,∠DAE＋∠ABC＝180°,
∴∠CFD＝∠DAE＝135°，∵∠CDA＝∠ABC＋∠BCD＝45°＋∠BCD，∠CDA＝∠CDE＋
∠EDA＝45°＋∠EDA，∴∠BCD＝∠EDA，∴△CFD∽△DAE，∴＝，∵DF∥AC，
∴＝＝，∴＝＝
另解：过点D作DG∥BC交AC于点G亦可.
2如图，△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝24，D，E分别是BC，AB上的点，∠ADE＝∠B，当△BDE为直角三角形时，求BD的长.
解：易证∠ADC＝∠BED，①若∠BED＝90°，如图1，则∠ADC＝∠BED＝90°,∵AB＝AC，∴BD＝DC＝BC＝12；
②若∠BDE＝90°，如图2，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，∵AB＝AC，∴BF＝FC＝12，易证△ABF∽△EBD，∴＝＝，设BE＝5x，则BD＝4x，DC＝24－4x，易证△ADC∽△DEB，∴＝，BE·AC＝BD·DC，15×5x＝4x(24－4x)，解得x＝，BD＝4x＝，故BD＝12或
3．如图，点E，F分别在线段AC，BC上，∠FEC＝∠B，∠ACB＝60°，CH平分∠ACB交EF于点H.
(1)求证: ＝
(2)若EC＝，HC＝5，求的值
解：(1)过点E，F作HC的垂线，垂足分别为点M，N，则EM∥FN，∴＝＝＝，
(2)FC＝2x，∵∠ACB＝60°,CH平分∠ACB，∴ME＝EC＝,FN＝FC＝x，NC＝,MC＝ME＝6.∴MH＝6－5＝1，HN＝5－，由△NEH∽△NFH得，＝，＝，x＝－6x，x＝，∴＝＝
4.如图，正方形ABCD中，BC＝4，对角线AC，BD交于点O，P是OB的中点，N在线段CD上(不与C，D两点重合)，PM⊥PN交BC于点M，求BM＋DN的值.
解：取BC的中点E，连接PE，易证PE＝PB＝PO＝OD＝PD，易证△PME∽△PND，∴＝＝∴ME＝DN，∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝2，∴BM＋DN＝ BM＋ME＝ BE＝2
【板块七】作垂线构造三角形相似
方法技巧
作垂线构造直角三角形相似转化比或用比例式列方程求边.
题型一 利用对顶角相等，作垂线构造直角三角形相似
【例1】如图，BD为△ABC的高，点E在AB边上，∠BEC＝60°，BE＝2CD，CE与BD相交于点F，求的值
【解析】过点B作BH⊥CE，垂足为点H，则BH＝BE＝CD，△BHF∽△CDF.
∴＝＝＝
题型二 利用同角或等角的补角相等作垂线构造直角三角形相似
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，点O是AC边中点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E，若＝n，求的值.
【证明】过点O作AD，DC的垂线，垂足分别为点H，K，△FHO∽△EKO，
△AOH≌△OCK，△OKC∽△BAC，＝＝＝＝n.
题型三 利用角平分线作垂线构造直角三角形相似
【例3】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，求BD的长.
【解析】过点B，C作AD的垂线，垂足分别为点E，F；易证BE＝AB＝3，CF＝AC＝2，AE＝，AF＝，∴EF＝，易证△BED∽△GFD，∴＝＝，∴DE＝EF＝，
∴BD＝＝
题型四 面积问题作高构造直角三角形相似
【例4】如图，在△ABC中，∠C＝45°，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，AB＝BD＝2AE，连接EF交AD于点G，∠AGF＝45°，若AD＝4，FG＝，求△AFG的面积.
【解析】过点A作AM⊥FG，过点B作BN⊥AD，垂足分别为点M，N.
∵∠AGF＝45°，∴∠MAG＝45°,∵∠C＝45，易证∠MAG＋∠DAC＝∠C＋∠DAC，即∠ADB＝∠MAE，∵BA＝BD，BN⊥AD，∴AN＝ND＝2，易证△BDN≌△EAM，∴＝＝2，AM＝1
S△AFG＝FG·AM＝.
1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，AC＝2BC＝4CE，CD⊥BE交BE于点F，交AB于点D，求的值
解：过点A作AC的垂线交CD的延长线于点H，∵AC＝2BC＝4CE，设CE＝x，∴BC＝2x，AC＝4x，易证△BCE∽△CAH，＝＝,∴AH＝AC＝2x，易证BC∥AH,∴＝＝1
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，D为AC的中点，过点A作AE∥BC，连接BE，∠EBD＝∠CBD，BD＝5，求BE的长.
解：过点B作BO⊥AC于点O，易得AC＝2BD＝2DC＝10，∠EBD＝∠DBC＝∠C,∠ODB＝2∠DBC＝∠DBC＋∠EBD＝∠EBC＝∠E，∴Rt△AEB∽Rt△ODB,
∴＝，可得AB＝6，BD＝5，BO＝24，∴BE＝
3.如图B，C，E三点在一条直线上，△ABC与△DCE均为等边三角形，DB与AC，AE分别相交于点H，F，连接FC.
(1)求证：△AHB∽△FHC；
(2)若BF＝2FE，求的值
解：(1)易证△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠DBC，∴∠AFB＝∠ACB＝60°，
∴△AFH∽△BCH，又∠FHC＝∠AHB，∴△AHB∽△FHC；
(2)过点B作BM⊥FC，过点E作EN⊥FC，垂足分别为点M，N，
易证＝＝＝＝2，∴＝2
4.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2BC＝2CD，E为CD上一点，BF⊥AE交AD于点F，求的值.
解：设BC＝CD＝1，则AB＝AD＝2，延长BC，AD交于点H，过点B作BM⊥AD于点M，则△CDH∽△ABH，∴＝＝，设CH＝x，则AH＝2x，DH＝2x－2，1＋(2x－2)＝x，x＝或x＝1(舍)，∴CH＝，BH＝，易证△CDH∽△BMH，∴＝＝，∴BM＝，易证△BFM∽△AED，∴＝＝
【板块八】用相似法证明线段相等
方法技巧
1.证明a=b的方法技巧之一：若，则a=b.
2.证明a=b的方法技巧之二：若，c=d，则a=b.
题型一 双A双X并排型
【例1】如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，DC交BE于点O，直线AO分别交DE，BC于点M，N.求证：BN=NC.
【解析】∵DE∥BC，△ADM∽△ABN，∴.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
△DEO∽△CBO，△DMO∽△CNO，∴ , , ,
∴，∴BN=NC
题型二普通型相似
【例2】如图，D为Rt△ACB斜边AB的中点，点M在AC上，点N在BC的延长线上，∠MDN=90°.
（1）求证：∠CAB=∠MND.
（2）如图2，分别过点M，N作直线AB的垂线，垂足分别为点G，H.求证：AG=DH.
【解析】（1）取MN的中点O，连接CO，OD，CD.易证OC=OD=OM=ON.∴M，N，C，D四点共圆.∴∠MND=∠MCD.又∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AD=DB.可得∠CAB=∠ACD.∴∠CAB=∠MND；
（2）易证△MND∽△MAG，△MGD∽△DHN.∴，∴AG=DH.
针对练习8
1.如图，在等边△ABC中，点E在CA的延长线上，点D在BC的延长线上，AE=CD，延长DA交BE于点F.
（1）求证：∠EAF=∠ABE；
（2）过点E作EG∥FC交AD于点G.求证：EF=AG.
解：（1）证△CAD≌△ABE得∠CAD=∠ABE，又∠CAD=∠EAF，∴∠EAF=∠ABE；
（2）易证△AEF∽△BEA得，易证△EAC∽△CAF 得.
又AB=AC,∴，∴EF=AG.
2.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，分别过点B，C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线分别交于点D，E，连接DC，BE，DC与AB相交于点M，BE与AC相交于点N.若DE与BC不平行，求证：AM=NC.
解：延长DB，EC交于点P.易证四边形ABPC为菱形.
∴AB=BP=PC=AC.由AB∥CE得，.
由AC∥DB得，，∴，∴，∴AM=NC
【板块九】等比代换
方法技巧
1.直接通过三角形相似转化比.
2.用相等线段代换转化比.
题型一 等比代换证平行
【例1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是射线CB上一点，F是CD上一点，且∠EAF=120°.
（1）求证：；
（2）求证：BF∥DE.
【解析】（1）连接AC，易证∠BAD=∠EAF=120°.可得∠EAB=∠FAD.
∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠ADC=∠ACD=60°.可得∠EAC=∠AFC.
易证△EAC∽△AFC.得,∵AB=AC，∴
（2）∵△EAC∽△AFC，∴,易证AC=CD=CB.∴,∵∠BCF=∠ECD，∴△BCF∽△ECD.∴∠CBF=∠CED.∴BF∥ED.
【例2】如图，在△ABC中，AC＞AB，AD是角平分线，AE是中线，BF⊥AD于点G，交AE于点F，交AC于点M，EG的延长线交AB于点H.
（1）求证：AH=BH；
（2）若∠BAC=60°，求的值.
【解析】（1）易证BG=MG.又BE=EC，∴GE∥AC，∴，∴AH=BH
（2）延长EH到点P，使GH=PH.连接AP，BP.易证四边形APBG为矩形，
∠ABP=∠BAG=30°.∴，∴.
针对练习9
1.如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE，交DF于点N，连接AD交EF于点M.求证：MN∥AC.
解：易证四边形EFDB为平行四边形.∴EF=BD.∵EF∥BC，DF∥AB.
∴即.∵BD=EF，∴，
又∠MEN=∠FEC.∴△MEN∽△FEC.∴∠EMN=∠EFC.∴MN∥AC.
2.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，N为BE上一点，作FN⊥CN交AB于点F.
（1）求证：△ANF∽△BNC；
（2）探究DE与BF的数量关系，说明理由.
解：（1）略；
（2）DE=BF，理由如下：∵△ANF∽△BNC.∴,易证：△AEN∽△BAN，
∴，∴∵AB=BC.∴AF=AE.∵AD=AB，∴AD-AE=AB-AF，即DE=BF.
【板块十】相似与最值
方法技巧
1.构造旋转相似法确定轨迹，再求最值.
2.用函数思想求最值.先用相似转化所求线段，后求最值.
3.先用常用模型定何时取最值，然后用相似计算.
题型一 构造旋转相似，用垂线段最短求最值
【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），P为y轴上一动点，PQ⊥AP，且AP=2PQ（P，A，Q三点为逆时针顺序），求OQ的最小值.
【解析】取点B（0，2），连接AB，BQ，BQ交x轴于点M，易证△APQ∽△AOB，△ABQ∽△AOP，
得∠ABQ=∠AOP=90°，所以点Q在过点B垂直于AB的直线上运动，易得，当OQ⊥BM时，OQ最小..
题型二 用相似法转化所求线段
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB的中点，E，F分别是直线AC，BC上的动点，∠EDF=90°.求线段EF的最小值.
【解析】∠FDE=∠FCE=90°，F，D，C，E四点在以FE为直径的圆O上，
∴∠FED=∠BCD=∠ABC，∠FDE=∠ACB=90°，∴△FDE∽△ACB，EF:AB=FD:AC.，当FD最小时EF最小，当DF⊥BC时，，此时.
题型三 用其它模型定轨迹，用相似计算
【例3】如图，已知点A（2，4），P（1，0），B为y轴上的一动点，过点A作AC⊥AB交x轴于点C.点M为BC的中点.求PM的最小值.
【解析】∵∠BAC=∠BOC=90°，M为BC中点，∴AM=OM.∴点M在AO的垂直平分线上.
设OA的垂直平分线分别交y轴，x轴于点D，E，当PM⊥DE时，PM最小.
过点A作AF⊥y轴于点F.设OD=AD=t，则FD=4-t，FD2+AF2=AD2，
（4-t）2+22=t2，t=，OD=.易证△ODE∽△FAO.∴，
AF·OE=OD·OF，OE=5.
易得0A=.△PME∽△AFO.∴,PM=，
故PM的最小值为.
题型四 a+xb型最值问题（阿氏圆）
【例4】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作⊙B与AC相切，点P为⊙B上一动点，求PA+PC的最小值.
【解析】在BC上截取BE=1，连接EP，BP.易得⊙B半径为，故BP=.，
∴∠EBP=∠PBC，∴△EBP∽△PBC.∴,EP=PC，PA+PC=PA+EP≥AE=当A，P，E三点共线即EA与⊙B交于点P时取等号.故PA+PC的最小值为.
针对练习10
1.如图，P为边长为2的正方形ABCD中BC上一动点，PE⊥PD，PE=2PD，连接EA，AP.求△PAE面积的最小值.
解：过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F.设PC=x，则BP=2-x.
易证△EFP∽△PCD.∴，∴EF=2PC=2x，FP=2CD=4，
FB=4-（2-x）=2+x.S△PAE=S梯形EFBA十S△ABP-S△EFP=（2x+2）（2+x）+（2-x）-4x
=x2-2x+4=（x-1）2+3，当x=1时S△PAE最小=3.
2.如图，A（0，），点C为x轴上一动点，过点C作AC的垂线CB，满足CB=AC（A，C，B为逆时针顺序）.求OB的最小值.
解：法一：旋转相似法，取D（3，0），在x轴上方作∠ADE=90°，
DE=AD（A，D，E为逆时针顺序）.易证△ACB∽△ADE，△AOC∽△ADB，
∴∠ADB=∠AOC=90°，故点B在过点D（3，0），垂直于AD的直线上运动，
当OB⊥DE时OB最小，OB最小值为.
法二：函数思想，设C（x，0），过点B作BF⊥x轴于点F，
易证△AOC∽△CFB.
CF=AO=3，BF=OC，∴OF=x+3，BF=，OB==
=，当x=时， 0B最小值为.
3.如图，点A，B在⊙O上，且OA=OB=12，OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD=10.
动点P在⊙O上，求PC+PD的最小值
解：在OA的延长线上截取OE=2OP=24，易证△OPC∽△OEP得PE=2PC.
连接ED，PC+PD=（2PC+PD）=（PE+PD）.PE+PD≥DE=26.
当ED交圆于点P时取等号.故PC+PD的最小值为13.
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