第23讲 相似与圆-讲义2021-2022学年人教版九年级数学下册学案
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1.垂径定理及其推论.
2.圆周角定理及其推论.
3.切线的判定及其性质.
4.切线长定理.
5.三角形相似的判定及其性质.
【板块一】 求线段比值
方法技巧
1.构造A型或X型相似求比值.
2.用等线段代换求比值.
3.利用两比值相乘求比值.
题型一 直接计算法求比值
【例1】如图,已知BC⊥AC,圆心O在AC上,点M与点C分别是AC与⊙O的交点,点D是MB与⊙O的交点,点P是AD延长线与BC的交点,且=.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)若AD=12,AM=MC,求的值.
【解析】(1)略;
(2)连接CD,由(1)可知:PC=PD,∵AM=MC,∴AM=2MO=2R,在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA2,∴R2+122=9R2,∴R=3,∴OD=3,MC=6.∵==,∴DP=6,易得BP=CP=DP=6,∵MC是⊙O的直径,∴∠BDC=∠CDM=90°,在Rt△BCM中,∵BC=2DP=12,MC=6,∴BM=6,可证△BCM∽△CDM,∴=,得MD=2,∴==.
题型二 构造A型或X型相似求比值.
【例2】如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D.
(1)求证:AO⊥BC;
(2)若BC=6,AB=3,求的值.
【解析】(1)延长AO交BC于点E,连接OB.∵OB=OC,AB=AC,∴点A、O均在BC的垂直平分线上,∴BE=EC,AO⊥BC;
(2)延长CO交⊙O于点F.AE==9.设AO=x,则OE=9-x,32+(9-x)2=x2,x=5.∴FC=2x=10.∵BC=6.∠FBC=90°,∴BF=8.可证AE∥FB.∴==.
题型三 先等量代换后用三角形相似求比值
【例3】如图,AB为⊙O的直径,半径OD⊥AB,C为上-点,CD交AB于点F.若F为AO的中点,求的值.
【解析】过点D作CD的垂线交CB的延长线于点E.易证∠C=∠DOB=45°.
∵CD⊥DE,∴∠E=∠C=45°,∴CD=DE.设OF=AF=1,则AO=OD=OB=2,BD=2,BF=3.连接AD,易证∠BDE=∠ADC=∠ABC,△CBF∽△EDB,∴==,∵DE=CD,∴=.
题型四 运用乘积求比值(·=)
【例4】如图,AB是⊙O的直径,点C,E在⊙O上,过点C作AB的垂线分别交AB,AE于点H,D.若=,AE=4BE,求的值.
【解析】易证△ACB∽△AHC,==,易证△AEB∽△AHD,==4,∴·=×4=6,故=6.
针对练习1
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,⊙O是Rt△ABC的外接圆,过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点E,BD⊥CE于点D,连接DO交BC于点M.
(1)求证:BC平分∠DBA;
(2)若=,求的值.
解:(1)略;
(2)连接OC,则OC∥BD,∴△EBD∽△EOC,△DBM∽△OCM,∴=,=,∴=,∵=,设EA=2k,AO=3k,∴EB=8k,EO=5k,∴==.
2. 如图,△ABC内接于. AH⊥BC于点H,连接OC,过点A作的切线,交CB的延长线于点E.
(1)求证:∠BAH=∠ACO;
(2)若AC=24,AH=18,OC=13,求的值.
解:(1)连接AO并延长交于点D.连接CD.易证∠BAH=∠DAC=∠ACO;
(2)连接BD. ∵AD为直径. ∴∠ACD=90.易证△ABH∽△ADC.
∴ ∴ .
可证. 又∠E=∠E
∴ ∴ .
3. 如图,以Rt△ABC斜边AB上一点O为圆心,OB为半径的圆切AC于点D,与AB交于另一点E,BC交于点F,连接OD,BD.
(1)求证:∠AOD=2∠CBD;
(2)若,求的值.
解:(1)略;
(2) 连接EF交OD于点H,设CF=.则CE=17. EF=4,
可得EH=HF=2,DH=CF=,设OH=,则OD=OE=+,
,,∴ , ∴.
4. 如图,在△ABC中,AB=AC=BC,以AB为直径作,交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连接DE交线段OA于点F.
(1)求证:DH为的切线;
(2)若A为EH的中点,求的值.
解:(1)略;
(2)设EA=AH=2,则EH=HC=4,AC=6. OD=AC=3,OD//AC得
. . 易证△FOD∽△FDB,
∴.∴.故.
【板块二】求线段长
方法技巧
1.用方程思想求线段长.
2.用全等(或相似)找线段之间的关系.
3.用特殊边角关系找线段之间的关系.
题型一 用全等找线段关系,列方程求解
【例1】如图,∠ABD=90°,AB是的直径,交AD于点C.CE∥AB交于点E,AE=2AC.AB=.求CD的长.
【解析】连接BE,BC.易证△BCA≌△AEB,
∴AE=BC=2AC.设AC=,则BC=2,AB=,=1
易证△ABC∽△ADB.∴=AC·AD.得AD=5.
∴CD=AD-AC=5-1=4.
题型二 用相似找线段关系,列方程求解
【例2】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O是AC上一点,以OC为半径作与AB相切于点D,交AC于点E,OB交CD于点F.
(1)求证:OB·DE=;
(2)若,AB=10,求半径.
【解析】(1)易证=OF·OB,DE=2OF,OC=CE.
∴DE·0B,.∴OB·DE=;
(2)设OF=,则OB=5,,
∴OC=..由DE∥OB可得.
∴,.,,.
题型三 利用特殊边角关系找联系
【例3】如图,点O,E分别为△ABC的外心和内心,AB=AC,AE的延长线交于点D,交BC于点F.
(1)求证:BD=DE;
(2)若∠BAC=30°,BD=,求OE的长.
【解析】(1)连接BE,易证∠DBE=∠DEB,∴BD=DE;
(2) 连接BO.易证AF⊥BC,BF=FC.∴点O在AD上.
设BF=.∠BOF=2∠BAF=∠BAC=30°.∴OB=2BF=2,OF=,DF=.
易证△BDF∽△ADB.∴,
解得,∴OE=OD-DE=OB-BD=2-
针对练习2
1.如图,AB是的直径,点C在上,CD是的切线,AD⊥CD,垂足为D,E是AB延长线上点.CE交于点F,连接OC,AC.
(1)求证:AC平分∠DAO;
(2)连接BF,若∠DAO=105°,∠E=30°,AC=4+,求BF的长.
解:(1)略;
(2)过点O作OG⊥CE,垂足为G.易证∠C0A=75°,∠OCG=45°.
设CG=,则GF=CG=OG=.
OE=2.GE=.EF=,AE=(2+).易证△EFB∽△EAC.
∴,,∴.
2.如图,△ABC内接于,AB是的直径,I是△ABC内一点,AI的延长线交BC于点D,交于点E,连接BE,BI,BE=EI,BI平分∠ABC,若OI⊥AE于点I,BA=,求CD的长.
解:易证∠BAE=∠CBE=∠CAE.OI⊥AE,
∴AI-EI=BE.设BE=,则AE=2,,
,,,.易证△BED∽△AEB.
∴.可得ED=,.易证△ABE∽△ADC,
,得CD= .
3. 如图,A,B,C三点在上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE//AB交弦BC于点E,在BC的延长线上取一点F,使得EF=DE.
(1)求证:DF是的切线;
(2)连接AF交DE于点M,若AD=4,DE=5,求DM的长.
解:(1)略;
(3) 连接CD,易证△ABD≌△CBD. ∴CD=AD=4,AB=BC.
∵DE=5, ∴CE=3. EF=DE=5.
∵∠CBD=∠BDE,∴BE=DE=5.
∴BF=BE+EF=10,BC=BE+EC=8.
∴AB=BC=8. ∵DE/AB. ∴△ABF∽△MEF.
∴. ∴ME=4. ∴DM=DE-EM=1.
【板块三】求线段之积
方法技巧
1.直接法:分别求出两条线段长.
2.整体法:利用三角形相似求两条线段之积.
题型一 利用母子相似求同一直线上两条线段之积
【例1】如图,在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,是△ABC的外接圆,AD是的直径.
(1)求证:PA是的切线;
(2)过点C作CF⊥AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,∠P=45°,CP=AP,若AG·AB=15,求CP的长。
【解析】(1)略;
(2)易证△ACG∽△ABC,得=AG·AB=15,
过点C作CM⊥AP,垂足为点M,设CP=,则AP=,
易证CM=MP=,则AM=,AC=,
∴5=15,=3,x=.故CP==.
题型二 利用射影定理求同一直线上两条线段之积
【例2】在中,,AD⊥AB交BC延长线于点D,连接AO,AB=8.
(1)求BC·BD的值;
(2)若OA=5,求CD的长.
【解析】(1)延长AO交BC于点E,易证AE⊥BC,
BE=EC=BC.易证△ABE∽△DBA,∴=BE·BD=64.
∴BC·BD=64. BC·BD=128.
(2)过.点O作OF⊥AB于点F,则AF=BF=4,OF=3,
易证△AOF∽△ABE,得BE=.BC=2BE=.由(1)知BD=. CD=BD-BC=.
题型三 利用相似求不在同一条直线上两条线段之积
【例3】如图,AB,CD都是的直径,DB的延长线与过点C的切线交于点P,CE⊥AB,垂足为点E.AD=2,求CE·CP的值.
【解析】连接BC,AC,易证四边形ADBC为矩形,∴CB=AD=2.
易证△CEB∽△CBP,得CE·CP==4.
针对练习3
1.如图.CD为的直径,AD,AB,BC分别与相切于点D,E,C(AD
(2)若DE·OB=40,求AD·BC的值.
解:(1)略:
(2)连接QA,CE. EC交0B于点K.易证:OK=DE,
△OCK∽△OBC,∴,
易证△AOD≌△AOE,∴∠AOD=∠A0E,同法证明,
∠BOE=∠BOC,易证△ADO∽△OCB. ∴AD·BC=OD.OC==20.
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,点D在AB的延长线上,且BD=6,过点D作DE ⊥AD交AC的延长线于点E,以DE为直径的交AE于点F.
(1)求的半径;
(2)设CD交于点Q,求BQ·BE的值.
解:(1)的半径为6;
(2)易证B.Q,E三点共线,易证△BDQO∽△BED,BQ·BE==36.
3.如图,I为△ABC的内心,AB=AC,BI的延长线交△ABC的外接圆于点D,∠BDC的平分线交AC于点E.若EC=1,AE=4.求BI·ID的值.
解:连接Al,Cl.易证DI=DC. 易证△ABI∽△DCE,
得BI·CD=AB·CE=5.
∵ID=CD.
∴BI·ID=BI·CD=5.
【板块四】经典图形研究
方法技巧
1.切割图(也叫弦切图)中相似问题(切割线定理)
2.切割线加垂直的图中,作高构造矩形求解.
3.双切图中隐含射影定理的结论(知二求五).
题型一 切割图
【例1】如图,AB是⊙O的直径,AC为弦,过点C的切线与AB的延长线交于点P,弦CE=AC,连接EB并延长并CP于点H.
(1)求证:BH⊥CP;
(2)若AC=6,AB=,求PH的长.
【解析】(1)略;
(2)连接CO,CB,BC=,易证△PCB∽△PAC,,设PB=x,则PC=2PB=2x,PA=2PC=4x,AB=PA-PB=3x=,x=.BP=,PC=,PO=.BH∥OC,得,∴PH=PC=
题型二 切割图+垂直
【例2】如图,AB是⊙O的直径,AC为弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.若,求的值.
【解析】连接OD,BC,过点O作OM⊥AE,垂足为点M,设AC=6,则AB=10,AM=MC=3,易证四边形MODE为矩形,∴ME=OD=5,AE=3+5=8,OD∥AE得
题型三 双切图
【例3】如图,PA是⊙O的切线,A是切点,AC是直径,AB是弦,连接PB,PC,PC交AB于点E,且PA=PB.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)若∠APC=3∠BPC,求的值.
【解析】(1)略;
(2)连接OP交AB于点K,连接OB,BC,易证BC=2OK,设OK=a,则BC=2a,易证BC=PB=PA=2a,由△PAK∽△POA,可得,设PK=x,则有,解得(负根舍去),PK=,可得
题型四 多切线图
【例4】如图,⊙O是△ABC的内切圆,D,E,F为切点,AB=AC.
(1)求证:BD=DC;
(2)若,O的半径为1,求EF的长.
【解析】(1)AE=AF,BD=BE,CD=CF,AB=AC,则AB-AE=AC-AF,BE=CF,∴BD=DC;
(2)连接OE,AO,OD,证A,O,D三点共线.设EF交AO于点H.设AE=2x,EB=3x,则AB=5x,BD=BE=3x,易证△AEO∽ADB,∴,得AO=,AE=.又,EH=,∴
题型五 切径图(切线+过切点的直径)
【例5】如图,AB是⊙O的直径,AT是O的直径,BT交O于点C,D是O上一点,∠ATB=2∠CDO,AB=40,AT=30,求CD的长.
【解析】延长DO交BT于点F.连接AC,OC.易证∠ATB=∠CAB=∠COB,又∠ATB=2∠CDO=∠COF,∴∠COF=∠COB,∵OC=OB,∴OF⊥BT,CF=FB=BC,BT=,易证ABCTBA,得,BC=32,∴CF=BF=16,OF=.FD=12=20=32,∴DC=
针对练习4
1.如图,已知AB,CD是⊙O的直径,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P,⊙O的弦DE交AB于点F,且DF=EF.
(1)求证:;
(2)连接EB交CD于点G,过点G作GH⊥AB于点H,若PC=,PB=4,求GH的长.
解:(1)易证△OFD∽△OCP,∴,∴,∵OD=OC,∴;
(2)如图,过点C作CM⊥OP于点M,连接EC,EO,设OC=OB=r,在Rt△POC中,,,∴r=2.可得EF=CM=,
在Rt△OEF中,,∴EC=2OF=,∵EC∥OB,∴,∵GH∥CM,,∴GH=
2.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线,交AC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:DE⊥AC;
(2)若AB=10,AE=8,求DF的长.
解:(1)略;
(2)连接OD,过点O作OM⊥AC,垂足为M,易证四边形ODEM为矩形.∴ME=OD=5,AM=8-5=3,∴OM=4,易证△ODF∽△AMO,∴,DF=
3.如图,AB,AC分别是⊙O的直径和弦,点D为劣弦AC上一点,弦DE⊥AB分别交⊙O于点D,E,交AB于点H,交AC于点F,P是ED延长线一点,且PC=PF.
(1)求证:PC是O的切线;
(2)若,求证:CF=EF;
(3)在(2)条件下,若OH=1,AH=2,直接写出线段PC的长.
解:(1)(2)略;
(3)由(2)可知:AD=CD,∠ACD=∠CAD.∵∠PCD=∠CAD,∵OH=1,AH=2,∴OD=3,DH=,DE=2DH=,AD=,,,∴DF=,∵PC=PF,,,∴,
∴PD=,∴,∴PC=
4.如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,AB⊥BC,以AB为直径的⊙O与CD相切于点E,延长AB交DC延长线于点F,连接AC交OE于点G,设AB=4,BC=1
(1)求△ADF的周长;
(2)直接写出的值.
解:(1)可求出DE=AD=4,证△FBC∽△FAD,∴,∴,,∴FB=,FA=,在Rt△FBC中,,
∴FD=FC+CE+DE=,△ADF的周长为16
(2)连接OC,AE,证OC∥AE,△COG∽△AEG,△FCO∽△FEA,∴,,,又FC=,FE=FC+CE=FC+BC=,∴
初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角学案: 这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角学案,共10页。学案主要包含了重要考点目录,重要考点讲解,知识精讲,典例精讲等内容,欢迎下载使用。
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