专题13.8 等腰三角形（知识讲解2）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）































































专题13.8 等腰三角形（知识讲解2）
【学习目标】
1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．
2. 掌握等腰三角形的判定定理．
3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
【要点梳理】
要点一、等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．
　　
要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
要点二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
2.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
3.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
要点三、等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【典型例题】


类型十一、等角对等边求边长
11．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求证：AB=AC．

证明：∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2．
∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C．
∴∠B=∠C．∴AB=AC．
根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C，从而得到∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证
举一反三：
【变式1】 如图，已知：在中，点D、E在BC上，且，求的周长.

【答案】10cm.
【分析】由等角对等边可得AD=BD，AE=EC，继而根据三角形周长公式利用等量代换即可求得答案.
解：∵∠1=∠B，∠2=∠C，
∴BD=AD，AE=CE，
∵△ADE的周长=AD+DE+AE，
∴△ADE的周长=BD+DE+CE=BC=10cm.
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的周长，熟练掌握相关知识是解题的关键.

【变式2】 如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点．
(1)证明：；
(2)若，，，求．

【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，根据中点的定义可得AE=CE，最后利用AAS即可证出；
（2）根据等角对等边即可求出AB=AC=10，然后根据（1）中全等可得AD=CF=7，即可求出．
（1）证明：∵
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F
∵是边的中点
∴AE=CE
在△ADE和△CFE中

∴
（2）解：∵，，，
∴AB=AC=CE＋AE=2CE=10
∵
∴AD=CF=7
∴DB=AB－AD=3
【点拨】此题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定及性质和等腰三角形的判定，掌握平行线的性质、全等三角形的判定及性质和等角对等边是解决此题的关键．

【变式3】 如图，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，求的长.

【答案】的长为5.
【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得．
解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，
∴BD=FD，EF=CE，
∴BD-CE=FD-EF=DE，
∴EF=DF-DE=BD-DE=8-3=5，
∴EC=5．
【点拨】考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．
类型十二、直线上与已知两点构成等腰三角形
12．在平面直角坐标系xOy中,已知定点A(1,0)和B(0,1).

（1）如图1，若动点C在x轴上运动,则使△ABC为等腰三角形的点C有几个?
（2）如图2，过点A,B向过原点的直线l作垂线，垂足分别为M、N，试判断线段AM、BN、MN之间的数量关系,并说明理由.
【答案】（1）4个；（2）AM+BN=MN；理由见解析.
【分析】（1）如图，当以AB为腰时，有3个；当以AB为底时，有1个；
（2）通过“角角边”证明△AOM≌△OBN，得到AM=ON，OM=BN，则可得到AM+BN=MN.
解：（1）如图,

当以AB为腰时，有3个；当以AB为底时，有1个，
∴使△ABC为等腰三角形的点C有4个；
（2）AM+BN=MN.
理由:由已知可得OA=OB,∠AOM=90°-∠BON=∠OBN,
在△AOM和△OBN中,
∠AOM=∠OBN∠AMO=∠ONBOA=BO，
∴△AOM≌△OBN(AAS),
∴AM=ON,OM=BN,
∴AM+BN=ON+OM=MN.
【点拨】本题主要考查等腰三角形，全等三角形的判定与性质.需要注意的是在分析各种等腰三角形可能的情况时切勿遗漏.
举一反三：
【变式1】 如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，OA，OB的长满足式子|OA﹣6|+（OB﹣8）2＝0．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点O到AB的距离为，求线段AB的长；
（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP使以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．

【答案】 (1) A(0，6)B(8，0)；（2）；（3）存在，（-8,0）、（-2,0）、（18,0）.
【分析】（1）根据非负数的性质可得OA=6、OB=8，即可求得A、B两点的坐标；（2）根据直角三角形面积的两种表示法即可求得AB的长；（3）分AB=B P1、AB=A P2、AB=B P3三种情况求点P的坐标.
解：（1）∵，
∴OA=6，OB=8，
∴A(0，6)，B(8，0)；
（2）∵，
∴AB=10；
（3）在x轴上存在点P，是使ΔABP使以AB为腰的等腰三角形，点P的位置如图所示，
①当AB=BP1时，P1的坐标为（18，0）；②当AB=AP2时，P2的坐标为（-8，0）；③当AB=BP3时，P3的坐标为（-2，0）.

【点拨】本题非负数的性质、直角三角形的面积求法、及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第（3）问的关键．
【变式2】 定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”．
若A、B的坐标分别是（1，0）和（0，2）．在下图的网格中找出符合条件的“整点P”．
（1）若△APB是等腰三角形，满足条件的整点P共有 个．它们的坐标分别是 ；
（2）若△APB是直角三角形，满足条件的整点P共有 个．它们的坐标分别是 ．
【答案】（1）4、(2,3) (22) (2,1) (3,1)；(2) 3、(1,2) (2,3) (3,1)
解：试题分析：根据等腰三角形及直角三角形的性质结合格点的特征即可得到结果.
（1）若△APB是等腰三角形，满足条件的整点P共有4个．它们的坐标分别是(2,3) (22) (2,1) (3,1)；
（2）若△APB是直角三角形，满足条件的整点P共有3个．它们的坐标分别是(1,2) (2,3) (3,1).
考点：坐标与图形性质
点评：解题的关键是熟练掌握等腰三角形及直角三角形的性质及格点的特征，注意不要漏解.
【变式3】 已知在平面直角坐标系内的位置如图，，，、的长满足关系式．
（1）求、的长；
（2）求点的坐标；
（3）在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）OA=4，OC=3；（2）；（3）存在，，，
【分析】（1）由平方的非负性、绝对值的非负性解题；
（2）作轴与点D，，再由全等三角形的对应边相等性质解题；
（3）分三种情况讨论，当当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，或当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC=5，或当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP时，根据等腰三角形的性质解题．
解：⑴由.可知，
，
∴.
⑵作轴与点D，











⑶存在.
当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，则为等腰三角形，P的坐标为；
当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，则为等腰三角形，P的坐标为；
当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP，则为等腰三角形，
， ；
所以存在，点P或或．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、绝对值的非负性、平方的非负性、勾股定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
类型十三、图形上一点与两点构成等腰三角形
13．如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于.

（1）当时，= ，= ；点从向运动时，逐渐 （填“增大”或“减小”）；
（2）当等于多少时，，请说明理由；
（3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数.若不可以，请说明理由.
【答案】（1）40°，100°；减小；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE；理由见解析；（3）当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）利用平角的定义可求得∠EDC的度数，再根据三角形内角定理即可求得∠DEC的度数，利用三角形外角的性质可判断∠BDA的变化情况；
（2）利用∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC得出∠BAD=∠EDC，进而求出△ABD≌△DCE；
（3）根据等腰三角形的判定以及分类讨论得出即可．
解：（1）∵∠BDA=100°，∠ADE=40°，∠BDA+∠ADE+∠EDC=180°，
∴∠EDC=180°-100°-40°=40°，
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠C=40°，
∴∠DEC=180°-40°-40°=100°；
∵∠BDA=∠C+∠DAC，∠C=40°，
点D从B向C运动时，∠DAC逐渐减小，
∴点D从B向C运动时，∠BDA逐渐减小，
故答案为：40°，100°；减小；
（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE；
理由：∵∠ADE=40°，∠B=40°，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC．
∴∠BAD=∠EDC．
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；

（3）①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED>∠C，
∴此时不符合；
②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，根据已知得出△ABD≌△DCE是解题关键．
举一反三：
【变式1】 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形．
（1）写出一个符合题意的点P的坐标　 　；
（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．

【答案】(1)答案不唯一，如：；(2)见解析.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解；（2）可分三种情况：①AO=AP；②AO=PO；③AP=PO；解答出即可．
解：(1)一个符合题意的点P的坐标答案不唯一，如：；
(2) 分三种情况：①AO=AP；②AO=PO；③AP=PO；
如图所示：OA=AP1，OA=OP3，OA=OP2，AP4=OP4
∴△AOP1，△AOP2，△AOP3，△AOP4即为所求.

故答案为答案不唯一，如：
【点拨】本题主要考查了作图﹣复杂作图、等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，注意讨论要全面，不要遗漏．
【变式2】 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（8,0）动点P从A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从O出发以相同速度沿y轴正半轴运动，点P到达点O，两点同时停止运动.

（1）当t= 时，∠OPQ=45°；
（2）如图2，以PQ为斜边在第一象限作等腰Rt△PQM，求M点坐标；
（3）在（2）的条件下，点R位x轴负半轴上一点，且,点M关于PQ的对称点为N，求t为何值时，△ONR为等腰直角三角形；
【答案】（1）t=2；（2）M(4,4)；（3）t为秒或秒时，△ONR为等腰直角三角形．
【分析】（1）先由运动知，OP=8-2t，OQ=2t，根据等腰直角三角形的性质即可得结论；
（2）先判断出△MCQ≌△MBP，得出CQ=BP，MC=MB，即可得出点M的纵横坐标相等，用CQ=BP建立方程即可得出结论；
（3）利用等腰直角三角形和对称性确定出点N的坐标，分三种情况讨论计算即可得出结论．
解：(1)由运动知，AP=2t，OQ=2t，
∵A(8,0)，
∴OA=8，
∴0⩽tAC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．

【答案】（1）5；BE+CF=EF；20； （2）2；BE+CF=EF，证明见解析；△AEF的周长=18；（3）BE-CF=EF，理由见解析.
解：试题分析：（1）根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根据等角对等边可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根据等角对等边可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可；
（3）由（2）知BE=ED，CF=DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系．
试题解析：解：（1）BE+CF=EF．理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，∴∠DBC=∠DCB，∴DB=DC．
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，AE=AF，∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF，△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20．
故答案为5；BE+CF=EF；20；
（2）BE+CF=EF．∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD．∵EF∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF．△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF=AB+AC=8+10=18．
此时有两个等腰三角形，EF＝BE＋CF，C△AEF＝18．
（3）BE﹣CF=EF．由（1）知BE=ED．∵EF∥BC，∴∠EDC=∠DCG=∠ACD，∴CF=DF．又∵ED﹣DF=EF，∴BE﹣CF=EF．
点拨：本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．