专题13.17 课题-最短路径（将军饮马问题）（专项练习）（基础篇）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题13.17 课题-最短路径（将军饮马问题）（专项练习）（基础篇）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题13.17 课题-最短路径（将军饮马问题）
（专项练习）（基础篇）
一、单选题
1．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B． C．D．
2．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，A是直线l外一点，点B，E，D，C在直线l上，且，D为垂足，如果量得，，，，则点A到直线l的距离为（ ）

A．11 cm B．7 cm C．6 cm D．5 cm
4．如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则的周长的最小值是（ ）

A．6 B．7 C．10 D．12
5．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB=3，BC=5，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（ ）

A．12 B．6 C．7 D．8
6．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．13.5
7．如图，分别是线段的垂直平分线，，一只小蚂蚁从点M出发爬到边上任意一点E，再爬到边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为(　　)

A．10 B．11 C．12 D．13
9．如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=_____.

A．30° B．45° C．60° D．90°
11．如图，四边形中，，在、上分别找一点，使周长最小时，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
12．如图已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是（ ）

A． B． C． D．


二、填空题
13．如图，要从村庄P修一条连接公路的最短的小道，应选择沿线段________修建，理由是________．

14．如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是__________．

15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为_____．

16．如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是________．

17．如图，在中BC=5，垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是________．

18．如图，等腰三角形ABC的面积为90，底边BC=12，腰AC的垂直平分线EF交AC，AB于点E，F，若D为BC边中点，M为线段EF上一动点，则的周长最小值为________

19．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使、、三点构成的的周长最小，则的周长最小值为______．

20．如图，在等边中，是的中点，是的中点，是上任意一点．如果，，那么的最小值是 ．

21．如图，AC⊥BC，AC=6，BC=8，AB=10，则点B到AC的距离为_____．

22．如图，在锐角中，，边上有一定点分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是_________．

23．如图，在中．，若，，，将折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则的周长最小值为___．


三、解答题
24．如图，小明在A处放牛，要到河边（直线l）给牛喝水，喝完水把牛赶回家中B处．

（1）要使路程最短，应该在河边哪处给牛喝水，请在直线l上画出喝水处点P的位置；
（2）在直线l上任取一点Q（点Q不与点P重合），连接，试说明．
25．如图，BA、BC是两条公路，在两条公路夹角内部的点P处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？

26．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
(1)如图，已知点M.N和∠AOB，求作一点P，使P到点M.N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．

(2)要在河边修建一个水泵站，分别向张村.李庄送水（如图）． 修在河边l什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置．

27．如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得的值最小，画出图形并证明．

28．如图，准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A、B两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小？（保留作图痕迹及简要说明）


参考答案
1．A
【分析】
利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】
作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：A．
【点拨】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
2．B
【分析】
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P-为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4．
【详解】
解：如图：

∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
∴当AC交EF于P时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为4，
故选：B.
【点拨】本题考查轴对称——最短路线问题的应用.解决此题的关键是能根据轴对称的性质和两点之间线段最短找出P点的位置.
3．D
【分析】
根据点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离可知AD的长度是点A到直线l的距离，从而得解．
【详解】
∵AD=5cm，∴点A到直线l的距离是5cm．
故选D．
【点拨】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟记定义是解题的关键．
4．B
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质可知为底边上的高线，根据面积关系即可求得的长，根据垂直平分线的性质可知点和点关于直线EF对称，所以当与重合时，的值最小，根据和的长度即可求得周长的最小值．
【详解】
如图

∵的面积为12，
∴，，
解得，，
∵直线EF垂直平分BC交AB于点E，
∴点和点关于直线EF对称，
∴当与重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是，
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、轴对称最短路线问题的应用、三角形的面积等，解题的关键是准确找出点的位置．
5．C
【分析】
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，即可得到△ABP周长的最小值．
【详解】
解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，及A、P、C三点共线时
AP+BP的值最小，最小值等于AD+BD=AD+CD=AC的长，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7．
故选：C．

【点拨】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
6．D
【分析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×3×AD=18，解得AD=12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=12+×3=12+1.5=13.5．
故选D．

【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
7．B
【分析】
由题意可知与的交点为E，与的交点为F，根据垂直平分线的性质计算即可；
【详解】
由题意可知与的交点为E，与的交点为F．
∵分别是线段的垂直平分线，
∴，
∴小蚂蚁爬行的最短路径为．
【点拨】本题主要考查了最短路线问题和垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键．
8．C
【分析】
根据三角形的面积公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长为PB+PD的最小值，即可得到结论．
【详解】
∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，AD⊥BC于点D，
∴S△ABC==60，
∴AD=12，
设AD与EF的交点为P，

∵EF垂直平分AB，
∴点A，B关于直线EF对称，
∴PA=PB，
此时AD的长为PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值为12，
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．D
【分析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=12，解得AD=6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+=8cm．

【点拨】本题考查轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
10．B
【分析】
根据当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC即可得出∠PCD的度数．
【详解】
∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，

连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°，
∴∠PCD=45°．
故选B．
【点拨】此题考查轴对称求最短路线问题，根据已知得出D点关于MN的对称点，正好是A点是解题关键．
11．C
【分析】
根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【详解】
作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值。，

∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°−120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°，
故选：C.
【点拨】此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线.
12．B
【分析】
设点P关于OM、ON对称点分别为P′、P″，当点A、B在P′P″上时，△PAB周长为PA+AB+BP=P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．
【详解】
分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″,连接OP′、OP″、P′P″,P′P″交OM、ON于点A. B,

连接PA、PB,此时△PAB周长的最小值等于P′P″.
由轴对称性质可得,OP′=OP″=OP,∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，
∴∠P′OP″=2∠MON=2×40°=80°，
∴∠OP′P″=∠OP''P′=(180°−80°)÷2=50°
又∵∠BPO=∠OP″B=50°,∠APO=∠AP′O=50°，
∴∠APB=∠APO+∠BPO=100°.
故选B.
【点拨】此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线.
13．PC 垂线段最短
【分析】
根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
【详解】
解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点P作PC⊥l于点C，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：PC，垂线段最短．
【点拨】本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
14．10
【分析】
如图，根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，的最小值等于的长，根据，的长度即可得到周长的最小值．
【详解】
∵垂直平分，
∴点与点关于对称，
如图，设与相交于点,
∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长，
∵，，
∴的周长的最小值是，
故答案为：10．

【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质，解答此题的关键是准确找出点的位置．
15．7
【分析】
△APC周长，因为AC＝3，所以求出AP+CP的最小值即可求出△APC周长的最小值，根据题意知点关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，AP+CP的值最小，即可得到结论．
【详解】
∵直线EF垂直平分AB，
∴A，B关于直线EF对称，
设直线EF交BC于E，
∴当P和E重合时，AP+CP的值最小，最小值等于BC的长，
∴△APC周长的最小值，
故答案为：7．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出P的位置．
16．4
【分析】
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P为AC与EF的交点时，AP+BP的最小值，依据AC的长度即可得到结
【详解】
解：∵EF是BC中垂线，
∴点B关于直线EF的对称点为C，
当点P为AC与EF的交点时，PA+PB取得最小值，且PC=PB
∴最小值为PA+PC=AC=4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查垂直平分线的性质、最短距离问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．
17．7
【分析】
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．
【详解】
解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
连接AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∴△ABP周长的最小值是4+3=7．
故答案为：7．

【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
18．21
【分析】
连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
解：连接，．

是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，，
，
的长为的最小值，
的周长最短，
故答案是：21．
【点拨】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
19．18
【分析】
连接PA．因为△PBC的周长=BC+PB+PC，BC=8cm，推出PB+PC的值最小时，△PBC的周长最小．由题意PA=PB，推出PB+PC=PA+PC≥AC=10cm，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接PA．
∵△PBC的周长=BC+PB+PC，BC=8cm，
∴PB+PC的值最小时，△PBC的周长最小，
∵MN垂直平分线段AB，
∴PA=PB，
∴PB+PC=PA+PC≥AC=10cm，
∴PB+PC的最小值为10cm，
∴△PBC的周长的最小值为18cm．
故答案为18cm.

【点拨】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．
【分析】
从题型可知为”将军饮马”的题型,连接CE,CE即为所求最小值．
【详解】

∵△ABC是等边三角形,
∴B点关于AD的对称点就是C点,
连接CE交AD于点H,此时HE+HB的值最小．
∴CH=BH,
∴HE+HB=CE,
根据等边三角形的性质,可知三条高的长度都相等,
∴CE=AD=．
故答案为: ．
【点拨】本题考查三角形中动点最值问题,关键在于寻找对称点即可求出最值．
21．8
【解析】
试题解析：AC⊥BC，AC=6，BC=8，AB=10，则点B到AC的距离为8
22．80°
【分析】
根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF=180°，由 ∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，继而求得答案；
【详解】
∵ PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴ ∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=50°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴ ∠D+∠G=50°，
由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM， L
∴∠GPN+∠DPM=50°，
∴∠MPN=130°-50°=80°，
故答案为：80°．

【点拨】此题考查了最短路径问题以及线段垂直平分线的性质，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
23．20．
【分析】
根据由沿AD对称,得到，进而表示出，最后求周长即可．
【详解】
由沿AD对称得到，
则E与C关于直线AD对称，
，
∴，
如图,连接，

由题意得，
∴，
当P在BC边上，即D点时取得最小值12，
∴周长为，最小值为．
故答案为:20．
【点拨】本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）要使PA＋PB最短，根据同一平面内线段最短，可知要作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P；
（2）在直线l上任取另一点Q，连接PA、QA、QB．根据轴对称的性质得到PA＝PA′，QA＝QA′．根据三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图，点P即为所求．


（2）如图，在直线l上任取一点Q，连接．
∵点A与关于直线l对称，点P，Q在直线l上，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
【点拨】本题考查了轴对称，以及三角形的三边关系，正确确定如何使线段的和最小是关键．
25．见解析
【分析】
利用关于直线对称点的性质得出 P 点关于AB的对称点 P '，以及 P 点关于 CB 的对称点 P "，根据两点直接线段最短，连接 P ' P "即可得出．
【详解】
解：如图所示：C、D点即为所求．

【点拨】此题主要考查了应用作图与设计，两点之间线段最短，利用关于直线对称点的性质得出是解题关键．
26．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）根据题意可知只要作出∠AOB的角平分线、线段MN的垂直平分线，然后找到这两条线的交点即为所求；
（2）作B点关于小河的对称点B′，连接B′A与小河的交点C，点C就是所求．
【详解】
解：（1）如图所示：作出∠AOB的角平分线、线段MN的垂直平分线，这两条线的交点即为所求P点
．
（2）作点B关于河岸的对称点B′，连接B′A，交河岸于点C，CA+CB=AB′的长度之和最短，则修在河边l的点C处，可使所用水管最短．

【点拨】本题考查作图—复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称与最短路线问题，熟练掌握相关性质是解题关键．
27．见解析
【分析】
作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接PA．则点P即为所求的点．
【详解】
解：如图，则点P即为所求的点．

证明：∵点A关于l的对称点A'，
根据对称性可知，PA=PA'，
因此，求AP+BP最小就相当于求BP+PA'最小，
显然当A'、P、B在一条直线上时A'P+PB最小，因此连接A'B，与直线l的交点，就是要求的点P．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质的应用是解题的关键．
28．见解析．
【分析】
作点B关于公路的对称点，连接交公路于点C，根据两点之间线段最短即可得出点C即是所求的点．
【详解】
解：如图，作点B关于公路的对称点，连接，交公路于点C，则这个基地建在C处，才能使它到这两个超市距离之和最小。

【点拨】本题考查了最短路径问题，要求熟练掌握中垂线的性质，能够利用两点之间线段最短求解一些简单的实际问题．