专题14.13 平方差公式（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.13  平方差公式（专项练习）

一、单选题

知识点一、利用平方差公式进行运算 

1．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的有（    ）

A． B．

C． D．

2．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如8＝32﹣12，16＝52﹣32，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（　　）

A．20 B．22 C．26 D．24

3．若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，则m的值是（　　）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2024

4．计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

5．如果用平方差公式计算，则可将原式变形为（   ）

A． B．

C． D．

知识点二、平方差公式与几何图形 

6．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成下边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ）．

A． B．

C． D．

7．如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分可剪拼成一个 不重叠、无缝隙的长方形，若拼成的长方形一边长为，则它另一边的长是（  ）

A． B． C． D．

8．如图1，将边长为的大正方形减去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分延虚线剪开，得到两个长方形，再将两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（    ）

A． B．

C． D．

9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）

A． B．

C． D．

10．从下图的变形中验证了我们学习的公式（    ）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

知识点一、利用平方差公式进行运算 

11．利用学过的公式计算：______________．

12．已知，，则________．

13．计算：______．

14．已知，，，则______．

15．计算：______．

16．已知，则_____________．

知识点二、平方差公式与几何图形

17．如图1，先将边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形，然后沿直线将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形．根据图1和图2的面积关系写出一个等式：________．（用含a，b的式子表示）

18．如图，大小两圆的圆心都为点已知它们的半径分别是，则它们所围成的环形的面积为_____.（结果保留）

19．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____．

20．如果一个长方形的长是（）米，宽为（）米，则该长方形的面积是______平方米.

21．如图，从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b（a>b）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是_____（用含a，b的等式表示）．

22．如图（1），边长为a的大正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）．这一过程可以验证的乘法公式是______.

三、解答题

知识点一、利用平方差公式进行运算 

23．计算

（1）           （2）20192﹣2017×2021

24．计算下列各式：

（1）______；

（2）______；

（3）______；

（4）请你用简便方法计算下列式子：．

25．已知，求代数式的值．

知识点二、平方差公式与几何图形 

26．在边长为a的正方形的一角减去一个边长为b的小正方形（），如图①

（1）由图①得阴影部分的面积为__________．

（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为______________．

（3）由（1）（2）的结果得出结论：_________=____________．

（4）试计算a、b取不同数值时，及的值填表：

用发现的规律计算：__________________．

27．如图，王大妈家有一块边长为的正方形土地租给了邻居李大爷种植，今年，他对李大爷说：“我把你这块地的一边减少，另一边增加，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何”．李大爷一听，就答应了．同学们，你认为李大爷吃亏了吗？为什么？

28．如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部A面积为，图2中阴影部分面积为．

（1）请直接用含和的代数式表示=______，=______；写出利用图形的面积关系所得到的公式：______（用式子表达）．

（2）应用公式计算：．

（3）应用公式计算：．

参考答案

1．B

【分析】

根据平方差公式的特点判断即可；

【详解】

，故A不符合题意；

，故B符合题意；

，故C不符合题意；

不能用平方差公式计算，故D不符合题意；

故答案选B．

【点拨】本题主要考查了平方差公式的判定，准确分析是解题的关键．

2．D

【分析】

根据“创新数”的定义，利用平方差公式逐一判断即可．

【详解】

解：设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），

∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n•2＝8n，

∴由这两个连续奇数构造的“创新数”是8的倍数．

∵20、22、26都不是8的倍数，

∴它们不是“创新数”，

∵24是8的倍数，

∴24是“创新数”，且24＝72﹣52，

故选：D．

【点拨】本题主要考查了平方差公式，理清“创新数”的定义是解答本题的关键．

3．C

【分析】

由平方差公式进行计算，即可求出答案．

【详解】

解：

=

=，

∵，

∴；

故选：C．

【点拨】本题考查了平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式进行计算．

4．A

【分析】

直接运用平方差公式求解即可．

【详解】

解：

=

=

=

故选：A．

【点拨】此题主要考查了运用平方差公式进行整式的乘法，熟练掌握平方差公式是解答此题的关键．

5．C

【分析】

根据平方差公式解答．

【详解】

，

故选：．

【点拨】此题考查平方差公式，熟记公式并熟练应用解题是关键．

6．D

【分析】

根据面积相等，利用两种方法来算阴影部分面积来验证等式成立即可．

【详解】

解：由题意这两个图形的阴影部分面积相等，

左边阴影面积，

右边阴影面积，

∴．

故选：D．

【点拨】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能利用两种方法来算阴影部分面积是解此题的关键．

7．D

【分析】

根据图形的拼接，用大正方形的面积减去小正方形的面积可得新长方形的面积可得出答案．

【详解】

解：设长方形边长为x，

则有( a +2)2-a2=2x，

a2+4a+4-a2=2x，

x=2a+2，

故选 D．

【点拨】本题考查平方差公式的几何背景，正确表示两个图形的面积是得出关系式的关键．

8．B

【分析】

根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．

【详解】

解：由图可知，

图1的面积为：x2﹣12，

图2的面积为：（x+1）（x﹣1），

所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．

故选：B．

【点拨】题考查平方差公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，根据面积相等列出相应的等式．

9．A

【分析】

分别表示出甲乙图形中阴影部分的面积，根据面积相等可得结论.

【详解】

甲图中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即，乙图中阴影部分长方形的长为，宽为，阴影部分的面积为，根据两个图形中阴影部分的面积相等可得.

故选：A.

【点拨】本题考查了平方差公式的验证，灵活表示图形的面积是解题的关键.

10．D

【分析】

根据正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积可得．

【详解】

解：左边正方形中有颜色部分的面积为a2-b2，
右边长方形的面积为（a+b）（a-b），
根据正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积可得a2-b2=（a+b）（a-b），
故选：D．

【点拨】本题主要考查平方差公式的几何背景，解题的关键是根据题意得出正方形中有颜色部分的面积=长方形的面积，并表示出两部分的面积．

11．1

【分析】

根据乘法公式化简计算即可；

【详解】

原式；

故答案为1．

【点拨】本题主要考查了平方差公式的应用，准确计算是解题的关键．

12．6

【分析】

根据平方差公式即可计算求解.

【详解】

解：∵，

∴

故答案为：6.

【点拨】本题主要考查了平方差公式，解题的关键在于能熟记平方差公式进行求解.

13．2

【分析】

利用平方差公式计算．

【详解】

故答案为：2

【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和平方差公式是解决问题的关键．

14．

【分析】

设a+b=x，原式化成，利用平方差公式展开计算即可求解．

【详解】

解：设a+b=x，

则原式化成，

整理得：，

即，

解得：，

∵a>0，b>0，

∴，

故答案为：．

【点拨】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．

15．

【分析】

给原式凑个平方差公式即可计算．

【详解】

解：原式

．

【点拨】本题主要考查平方差公式的应用，给原式凑一个平方差是解决本题的关键．

16．2

【分析】

根据偶数次幂和绝对值的非负性，可得，再利用平方差公式，即可求解．

【详解】

∵，

∴且，即，

∴=1×(-3)+5=2，

故答案是：2．

【点拨】本题主要考查求代数式的值，掌握偶数次幂和绝对值的非负性和平方差公式，是解题的关键．

17．a2−b2＝（a＋b）（a−b）．

【分析】

根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，根据图形面积不变可以写出含字母a，b的等式．

【详解】

解：由图可知，

图1中阴影部分面积为：a2−b2，　

图2中阴影部分面积为：（a＋b）（a−b），

图1和图2的面积关系是：a2−b2＝（a＋b）（a−b）．

故答案为：a2−b2＝（a＋b）（a−b）．

【点拨】本题主要考查了列代数式，根据题意能正确列出代数式是解题的关键．

18．．

【分析】

用大圆面积减去小圆面积，再化简即可．

【详解】

解：S阴=S大- S小=πR2-πr2=π(R2-r2)= π(3.452-1.452)= π(3.45+1.45)(3.45-1.45) =9.8π．

【点拨】本题考查列代数式表示图形面积和代数式求值．本题的关键是逆用平方差公式进行简便运算．

19．30

【分析】

直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案．

【详解】

解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，

故阴影部分的面积是：AE•BC+AE•BD＝AE（BC+BD）

＝（AB﹣BE）（BC+BD）

＝（a﹣b）（a+b）

＝（a2﹣b2）

＝×60

＝30．

故答案为：30．

【点拨】本题主要考查平方差公式与几何图形和三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积，是解题的关键．

20．

【分析】

根据平方差公式即可解题．

【详解】

∵长方形面积为长乘以宽，
∴该长方形的面积=（x+2y）（x-2y）=(x2-4y2) 平方米．
故答案为x2-4y2．

【点拨】本题考查了长方形面积的计算，考查了平方差公式的计算，本题熟练运用平方差公式是解题的关键．

21．

【分析】

根据阴影部分面积的不同表示方法，图中阴影部分的面积是：a2-b2，阴影部分的面积是：a（a-b）+b（a-b）=（a+b）（a-b），即可得到乘法公式．

【详解】

解：图中阴影部分的面积是：a2-b2，

阴影部分的面积为：a（a-b）+b（a-b）=（a+b）（a-b），

∴a2-b2=（a+b）（a-b）．

故答案为a2-b2=（a+b）（a-b）．

【点拨】本题主要考查了平方差公式几何背景．利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式．

22．

【解析】

【分析】

分别表示出这两个图形的阴影部分面积，根据阴影部分的面积相等即可求解.

【详解】

∵图（1）中阴影部分的面积为：a2-b2，图（2）中阴影部分的面积为：（a+b）（a-b），

∴.

故答案为：.

【点拨】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示面积是解题的关键．

23．（1）；（2）4

【分析】

（1）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可；

（2）将原式适当变形，运用平方差公式计算即可．

【详解】

解：（1）

；

（2）20192﹣2017×2021

．

【点拨】本题主要考查多项式乘以多项式，以及平方差公式的应用，将原式适当变形，变化为平方差的结构形式是解题的关键．

24．（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】

（1）根据平方差公式，即可求解；

（2）根据平方差公式，即可求解；

（3）根据平方差公式，即可求解；

（4）根据平方差公式，即可求解．

【详解】

解：（1）

=

，

故答案是：；

（2）

=

=

=，

故答案是：；

（3）

=

=

=，

故答案是：；

（4）

=

=

=．

【点拨】本题主要考查有理数的混合运算，掌握平方差公式进行简便计算，是解题的关键．

25．2

【分析】

先按照平方差公式展开与多项式去括号后，合并同类项，化简代数式，再把变形后，整体代入求值即可．

【详解】

解：，

，

．

∵，

∴．

∴原式，

．

【点拨】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，去括号法则，同类项与同类项合并法则，整体代入求值是解题的关键．

26．（1）a2-b2；（2）（a+b）（a-b）；（3）a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）填表见解析，3654

【分析】

（1）根据正方形的面积公式即可得到结论；

（2）根据梯形的面积公式即可得到结论；

（3）由（1）（2）的结论即可得到结果；

（4）将各数据代入表格计算，再根据所得规律计算结果．

【详解】

解：（1）由图①得阴影部分的面积为a2-b2；

（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为：

；

（3）由（1）（2）的结果得出结论：a2-b2=（a+b）（a-b）；

（4）填表如下：

∴===3654．

【点拨】此题考查了平方差公式的几何背景，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键，是一道基础题．

27．李大爷吃亏了．

【分析】

根据题意分别计算原来正方形地的面积为，后来图形的面积为，比较即可得到答案．

【详解】

李大爷吃亏了．

原来正方形地的面积，当一边减少4，另一边增加4时，面积为，

因为，

所以李大爷吃亏了．

【点拨】此题考查平方差公式的实际应用，熟记平方差的计算公式是解题的关键．

28．（1）a2−b2，（a+b）（a-b），（a+b）（a-b）=a2-b2；（2）；（3）

【分析】

（1）图1中利用正方形面积减去空白正方形的面积即可；图2用正方形面积加上长方形面积即可，再根据面积相等可得结果；

（2）将每个括号内的部分用平方差公式展开，再计算，最后约分可得结果；

（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．

【详解】

解：（1）由题意可得：

S1＝a2−b2，S2=（a+b）（a-b），

（a+b）（a-b）=a2-b2；

（2）

=

=

=；

（3）

=

=

=

...

=

=

=

【点拨】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．