专题14.16 因式分解-因式分解概念及提取公因式（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.16  因式分解-因式分解概念及提取公因式（知识讲解）

【学习目标】

1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；

2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.

【要点梳理】

 要点一、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

特别说明：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.

         （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.

         （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.

要点二、公因式

多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.

特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.

         （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.

         （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.

要点三、提公因式法

把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．

特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，

即 .

　　（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.

　　（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.

　　（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.

【典型例题】

类型一、判断是否为因式分解 

1．下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？

（1）；      （2）；

（3）；               （4）；

（5）．

【答案】（1）不是因式分解，理由见解析；（2）不是因式分解，理由见解析；（3）不是因式分解，理由见解析；（4）是因式分解，理由见解析；（5）不是因式分解，理由见解析．

【分析】

（1）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得；

（2）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得；

（3）根据等式左边不符合因式分解的定义即可得；

（4）根据因式分解的定义即可得；

（5）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得．

【详解】

因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，称为因式分解

（1）不是因式分解，因为是和的形式；

（2）不是因式分解，因为是和的形式；

（3）不是因式分解，因为是单项式；

（4）是因式分解，因为多项式分解成两个整式与的积的形式，符合因式分解的定义；

（5）不是因式分解，因为中的不是整式．

【点拨】本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解题关键．

举一反三：

【变式1】辨别下面因式分解的正误并指明错误的原因.

（1）；

（2）；

（3）

【答案】(1)错误，原因是另一个因式漏项了；(2)错误，原因是公因式没有提完；(3)错误，原因是与整式乘法相混淆

【分析】

（1）根据提取公因式的方法，第三项提取公因式的结果为1即可判断；

（2）根据公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的确定公因式为2x3，即可判断；

（3）根据因式分解的定义确定原式的变形是整式乘法运算，不是因式分解.

解：（1）∵

∴原式错误，原因是另一个因式漏项了；

（2）∵

∴原式错误，原因是公因式没有提完；

（3）∵因式分解是把一个多项式分解为几个因式乘积的形式

∴是整式乘法运算，不是因式，

∴原式错误，原因是与整式乘法相混淆

【点拨】本题考查因式分解的定义及因式分解的方法，不要把整式乘法和因式分解两种运算相混淆和正确用提取公因式法因式分解是解答此题的关键.

【变式2】 判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解．

(1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)；           (2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2；

(3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1；              (4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2；

(5)x2＋x＝x2(1+)；                  (6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)．

【答案】(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．

【分析】根据因式分解和整式乘法的定义即可解答.

【详解】(1)(4)的变形是把多项式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)虽然是把多项式化为积的形式，但(1＋)不是整式，不是因式分解；(6)运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解．

(2)(3)是整式乘法，(1)(4)是因式分解．

【点拨】本题主要考察因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．

【变式3】已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．

【答案】另一个因式为（x+4），k的值为20．

【解析】所求的式子2x2+3x-k的二次项系数是2，因式是（2x-5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．

试题解析：设另一个因式为（x+a），得

2x2+3x-k=（2x-5）（x+a）

则2x2+3x-k=2x2+（2a-5）x-5a， ，

解得：a=4，k=20．

故另一个因式为（x+4），k的值为20．

【点睛】此题考查因式分解的实际运用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．

类型二、已知因式分解的结果求参数 

2．仔细阅读下面例题：

例题：已知二次三项式有一个因式是x＋2，求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式px＋n，得＝（x＋2）（px＋n），

对比等式左右两边x的二次项系数，可知p＝1，于是＝（x＋2）（x＋n）．

则＝＋（n＋2）x＋2n，

∴n＋2＝5，m＝2n，

解得n＝3，m＝6，

∴另一个因式为x＋3，m的值为6

依照以上方法解答下面问题：

（1）若二次三项式﹣7x＋12可分解为（x﹣3）（x＋a），则a＝　   　；

（2）若二次三项式2＋bx﹣6可分解为（2x＋3）（x﹣2），则b＝　   　；

（3）已知代数式2＋＋kx﹣3有一个因式是2x﹣1，求另一个因式以及k的值．

【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为＋x＋3，k的值为5．

【分析】

（1）仿照题干中给出的方法计算即可；

（2）仿照题干中给出的方法计算即可；

（3）设出另一个因式为（），对比两边三次项系数可得a＝1，再参照题干给出的方法计算即可．

 解：（1）∵

＝

＝．

∴a﹣3＝﹣7，﹣3a＝12，

解得：a＝﹣4.

（2）∵

＝．

＝．

∴b＝﹣1．

（3）设另一个因式为（），得．

对比左右两边三次项系数可得：a＝1．

于是．

则．

∴﹣c＝﹣3，2b﹣1＝1，2c﹣b＝k．

解得：c＝3，b＝1，k＝5．

故另一个因式为，k的值为5．

【点拨】本题以阅读材料给出的方法为背景考查了因式分解、整式乘法、合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．

举一反三：

【变式1】已知多项式因式分解后有一个因式为，求的值．

【答案】

【分析】设2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式可以求得m的值，

 解：设2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b）．

则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b．

比较系数．得：，

解得：，

．

【点拨】本题主要考查因式分解的意义，解决此题的关键是灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．

【变式2】 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，求出原多项式．

【答案】

【分析】由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2（x-1）（x-9）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将2（x-2）（x-4）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案．

 解：设原多项式为（其中，，均为常数，且）．

因为，

所以，，

又因为，

所以，

所以原多项式为．

【点拨】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．本题中注意：如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错．

【变式3】已知多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）(x-4y)的形式，求k，m的值．

【答案】k=2，m=1．

【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，进而得出m，k的值．

解：∵多项式kx2-6xy-8y2可写成（2mx+2y）（x-4y）的形式，

∴kx2-6xy-8y2=（2mx+2y）（x-4y），

=2mx2-8mxy+2xy-8y2，

=2mx2-（8m-2）xy-8y2，

∴8m-2=6，

解得：m=1，

故k=2，m=1．

【点拨】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确得出m的值是解题关键．

类型三、公因式 

3．)因式分解：

（1）                  （2）

【答案】（1）；（2）

 （1）解析：本题考查了提公因式法分解因式．多项式中的各项都含有公因式，提取公因式即可，所以．                               

（2）解析：本题考察了用公式法分解因式．根据幂的乘方运算，可将变形为，，再根据平方差公式将原式进行因式分解．

（1）解：原式

（2）解：原式

举一反三：

【变式1】分解因式：

【答案】

【分析】

运用平方差公式分解因式即可.

【详解】

原式=

=

=

=

【点拨】本题考查了运用公式法分解因式，解题需要注意的是每个因式都要分解到不能再分解为止.

【变式2】 阅读材料：

“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，．

尝试应用：

（1）把看成一个整体，合并的结果是_________．

（2）已知，求的值．

拓广探索：

（3）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）-2018；（3）6

【分析】

（1）把看做一个整体，合并即可得到结果；

（2）原式前两项提取3变形后，将已知等式代入计算即可求出值；

（3）原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．

 解：（1）．

（2）∵，

∴

（3）∵，

∴

=a-c+2b-d-2b+c

=a-d

=a-2b+2b-c+c-d

=（a-2b）+（2b-c）+（c-d）

=2-5+9

=6．

【点拨】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

【变式3】已知

（1）求的值

（2）化简代数式

【答案】（1）；（2）20

【分析】

（1）根据平方差公式得到，代入即可；

（2）由（1）可解出a，b的值，再化简代数式计算即可．

 解：（1）

又∵ ，

∴

（2）

由，解得

∵

∵，

∴原式．

【点拨】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，以及整式的化简求值问题，解题的关键是掌握运算法则．

类型四、提取公因式法分解因式 

4．请把下列各式分解因式

（1）x(x-y)-y(y-x)               （2）-12x3+12x2y-3xy2

（3）(x+y)2+mx+my                （4）a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)

（5）15×（a-b）2-3y（b-a）     （6）（a-3）2-（2a-6）

（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）

【答案】（1）(x-y)(x+y)；（2）-3x(2x-y)2；（3）(x+y)(x+y+m)；（4）(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)；（5）3（a-b）（5ax-5bx+y）；（6）（a-3）（a-5）；（7）-2q（m+n）

【解析】试题分析：（1）运用提取公因式法因式分解即可；

（2）运用提取公因式法因式分解即可，注意先提取负号；

（3）先分组，提公因式，再利用整体法运用提取公因式法因式分解即可；

（4）运用提取公因式法因式分解即可，注意整体思想的应用；

（5）根据a-b与b-a互为相反数，利用整体法提取公因式法因式分解即可；

（6）运用提取公因式法因式分解即可；

（7）运用提取公因式法因式分解即可，注意符号变化.

试题解析：（1）x(x-y)-y(y-x)=(x-y)(x+y)

（2）-12x3+12x2y-3xy2=-3x(4x2-4xy+y2)=-3x(2x-y)2

（3）(x+y)2+mx+my=(x+y)2+m(x+y)=(x+y)(x+y+m)

（4）a(x-a)(x+y)2－b(x-a)2(x+y)=(x-a)(x+y)［a(x+y)-b(x-a)］=(x-a)(x+y)(ax+ay-bx+ab)

（5）15x（a-b）2-3y（b-a）=15x（a-b）2+3y（a-b）=3（a-b）（5ax-5bx+y）；

（6）（a-3）2-（2a-6）=（a-3）2-2（a-3）=（a-3）（a-5）；

（7）（m+n）（p-q）-（m+n）（q+p）=（m+n）（p-q-q-p）=-2q（m+n）

举一反三：

【变式1】分解因式：

【答案】

【解析】试题分析：根据提公因式法--因式分解，确定公因式后提取公因式即可，注意公因式是相同字母，并且指数最小的.

试题解析：

【变式2】 因式分解：

【答案】4（x+y）（x+2y）．

【分析】首先提公因式2（x+y），再整理括号里面的3（x+y）﹣（x﹣y），再提公因式2即可．

解：原式=2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]

=2（x+y）（2x+4y）

=4（x+y）（x+2y）．

【点拨】本题考查了提公因式法分解因式，关键是公因式提取要彻底．

【变式3】因式分解：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】

（1）先变号，再运用提公因式法分解计算；

（2）直接运用提公因式法分解计算即可；

（3）先变号，再运用提公因式法分解计算．

 解：（1）

；

（2）

；

（3）

．

【点拨】本题考查提公因式法分解因式，正确找出题中的公因式是解题的关键．