专题14.17 因式分解-因式分解概念及提取公因式（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题14.17 因式分解-因式分解概念及提取公因式（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共17页。试卷主要包含了判断是否为因式分解，已知因式分解的结果求参数，公因式，提取公因式法分解因式等内容，欢迎下载使用。

专题14.17 因式分解-因式分解概念及提取公因式（专项练习）
一、 单选题
知识点一、判断是否为因式分解
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．对于等式12xy2＝3xy•4y有下列两种说法：①从左向右是因式分解；②从右向左是整式乘法，关于这两种说法正确的是（　　）
A．①、②均正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①、②均错误
3．对于①；②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．①②都是因式分解
B．①②都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
4．一次练习，王莉同学做了4道分解因式题，你认为做得不够完整的题是（　　）
A．x2﹣y2=（x﹣y）（x+y） B．x3﹣x=x（x2﹣1）
C．x2y﹣xy2=xy（x﹣y） D．x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2
知识点二、已知因式分解的结果求参数
5．若多项式x2+mx+n因式分解的结果为（x﹣3）•（x+1），则m，n的值分别为（　　）
A．﹣2，﹣3 B．﹣2，3 C．2，﹣3 D．2，3
6．若多项式可分解为，且，，均为整数，则的值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．把多项式分解因式，得，则a，b的值分别是（ ）
A． B． C． D．
8．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）
A． B．
C． D．
知识点三、公因式
9．多项式-6a2b+18a2b3x+24ab2y的公因式是（ ）
A．2ab B．-6ab C．-6a2b D．-6ab2
10．将3x(a﹣b)﹣9y(b﹣a)因式分解，应提的公因式是( )
A．3x﹣9y B．3x+9y C．a﹣b D．3(a﹣b)
11．多项式 的公因式是(　　)
A． B． C． D．
12．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
知识点四、提取公因式法分解因式
13．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果( )
A．8（7a-8b）（a-b） B．2（7a-8b）2
C．8（7a-8b）（b-a） D．-2（7a-8b）
14．已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1
15．已知a、b、c是的三条边，且满足，则是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
16．计算(-2)100+(-2)101的结果是（ ）
A．2 B．-2 C．-2100 D．2100

二、 填空题
知识点一、判断是否为因式分解
17．把一个多项式化成几个______，叫做因式分解． 因式分解和整式乘法具有_____的关系．
18．下列从左到右的变形中，是因式分解的有___________.
①(x＋5)(x－5)＝x2－25　②x2－9＝(x＋3)(x－3)　③x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)　④9x2－6x＋1＝3x(3x－2)＋1　⑤x＋1＝x(1＋)　⑥3xn＋2＋27xn＝3xn(x2＋9)
19．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______ （填序号）
①a（x＋y）＝ax＋ay；
②10x2－5x＝5x（2x－1）；
③y2－4y＋4＝（y－2）2；
④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t．
20． 给出下列六个多项式：①x2＋y2；②－x2＋y2；③x2＋2xy＋y2；④x4－1；⑤x(x＋1)－2(x＋1)；⑥m2－mn＋n2.其中，能因式分解的是________(填序号)．
知识点二、已知因式分解的结果求参数
21．若多项式可分解因式，则_______，_______．
22．已知关于的多式的一个因式是，则的值是__．
23．分解因式：，则_______；
24．若多项式有一个因式为，那么________．
知识点三、公因式
25．多项式x2﹣9，x2+6x+9的公因式是_____．
26．多项式与多项式的公因式分别是______.
27．多项式的公因式是_____．
28．多项式，与的公因式为______．
知识点四、提取公因式法分解因式
29．因式分解：__________．
30．因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=_____．
31．已知，，计算的值为_________．
32．若x＋y＝1，xy＝-7，则x2y＋xy2＝_____________．

三、 解答题
知识点一、判断是否为因式分解
33．下列由左到右的变形中，哪些是分解因式?哪些不是?请说出理由.
（1）a（x+y）=ax+ay；
（2）x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）；
（3）ax2-9a＝a（x+3）（x-3）；
（4）x2+2+=
（5）2a3＝2a·a·a.




知识点二、提取公因式法分解因式
34．分解因式：
（1）−4ab−8b2+10b
（2）2(n−m)2−m(m−n)
（3）15y(a−b)2−3y(b−a)
（4）6(m−n)3−12(n−m)2
（5）x2+3x+1=0，求2x2010+6x2009+2x2008的值

参考答案
1．B
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据因式分解的定义判断即可．
【详解】
解：A．等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
2．C
【分析】
根据因式分解的定义和整式乘法的定义分析即可．
【详解】
解：①∵左边12xy2不是多项式，
∴从左向右不是因式分解，故①错误；
②∵3xy•4y是单项式乘以单项式，
∴从右向左是整式乘法，故②正确；
故选C．
【点拨】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．也考查了整式的乘法．
3．C
【分析】
根据因式分解及整式的乘法的概念可直接进行排除选项．
【详解】
解：由题意得：①是因式分解，②是整式乘法运算；
故选C．
【点拨】本题主要考查因式分解及整式的乘法，熟练掌握因式分解及整式乘法的概念是解题的关键．
4．B
【分析】
要找出“做得不够完整的一题”，实质是选出分解因式不正确的一题，只有选项B：x3-x=x（x2-1）没有分解完．
【详解】
解： B、分解不彻底还可以继续分解：x3-x=x（x2-1）=x（x+1）（x-1），A、C、D正确．
故选B．
【点拨】因式分解要彻底，直至分解到不能再分解为止．
5．A
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值．
【详解】
解：∵
=
=
∴m=-2，n=-3，
故选：A．
【点拨】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法，解题的关键是将因式分解的结果展开．
6．C
【分析】
把用多项式乘法计算出来对比原式，结合题中条件，分析的值．
【详解】

又

，，均为整数


故选C．
【点拨】本题考查了多项式的乘法，因式分解的概念，熟练多项式的乘法根据条件求出的值是解题的关键．
7．C
【分析】
先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，再根据已知条件求出答案即可．
【详解】
解：（x+2）（x-3）
=x2-3x+2x-6
=x2-x-6，
∵把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3），
∴a=-1，b=-6，
故选：C．
【点拨】本题考查了因式分解和多项式乘以多项式法则，能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．
8．C
【分析】
根据甲看错了的值可以知道，甲的分解结果中的值是正确的，根据乙看错了的值可以知道，乙的分解结果中的值是正确的，据此即可得到、的值，进而得到答案．
【详解】
∵甲看错了的值，
∴，
∴；
∵乙看错了的值，
∴，
∴，
∴分解因式正确的结果为：
，
故选：C．
【点拨】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义．
9．B
【分析】
多项式找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
【详解】
解：多项式-6a2b+18a2b3x+24ab2y中，
各项系数的最大公约数是-6，
各项都含有的相同字母是a、b，字母a的指数最低是1，字母b的指数最低是1，
所以它的公因式是-6ab．
故选B．
【点拨】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
10．D
【分析】
原式变形后，找出公因式即可．
【详解】
将3x(a−b)−9y(b−a)＝3x(a−b)＋9y(a−b)因式分解,应提的公因式是3(a−b).
故答案选D.
【点拨】本题考查的知识点是因式分解－提公因式法，解题的关键是熟练的掌握因式分解－提公因式法.
11．C
【分析】
找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
【详解】
解：多项式中，
各项系数的最大公约数是5，
各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，
所以它的公因式是．
故选：C．
【点拨】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．
12．B
【分析】
根据多项式的公因式定义，多项式各项都含有的公共的因式是公因式即可得出答案．
【详解】
解：，
多项式的公因式为．
故选择：B．
【点拨】本题考查多项式的公因式问题，掌握多项式的公因式定义是解题关键．
13．C
【详解】
把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)
=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)
=(7a-8b)(-8a+8b)
=8(7a-8b)(b-a).
故选C.
14．A
【分析】
将原式提取公因式xy,进而将已知代入求出即可.
【详解】
解: xy＝﹣3，x+y＝2,
x2y+xy2= xy (x+y)=-32=-6.
故答案：A.
【点拨】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
15．C
【分析】
已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．
【详解】
已知等式变形得：（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，即（a-b）（a+b-c）=0，
∵a+b-c≠0，
∴a-b=0，即a=b，
则△ABC为等腰三角形．
故选C．
【点拨】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．C
【分析】
直接计算比较麻烦，观察发现，可用提公因式法进行计算，本题公因式为(-2)100．
【详解】
(-2)100 +(-2)101 ，
=(-2)100 +(-2)×(-2)100 ，
=(-2)100 ×(1-2)，
=-(-2)100 ，
=-2 100 ，
故选C．
【点拨】本题主要考查有理数的乘方运算，应用提公因式法进行计算，可以使计算简便．需牢记：负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；-1的奇数次幂是-1，-1的偶数次幂是1．
17．整式的积的形式 互逆
【分析】
根据因式分解的定义进行填空即可解题.
【详解】
解：因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解,
因式分解和整式乘法具有互逆的关系．
【点拨】本题考查了因式分解的定义,因式分解和整式的乘法之间的关系,属于简单题,熟悉因式分解的概念是解题关键.
18．②③⑥
【详解】
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可得②③⑥属于因式分解.
19．②③．
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
解：①a（x+y）=ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；
②10x2-5x=5x（2x-1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；
③y2-4y+4=（y-2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；
④t2-16+3t=（t-4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故不符合题意；
即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③，
故答案为：②③．
【点拨】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
20．②③④⑤⑥
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
①x2+y2不能因式分解，故①错误；
②-x2+y2利用平方差公式，故②正确；
③x2+2xy+y2完全平方公式，故③正确；
④x4-1平方差公式，故④正确；
⑤x（x+1）-2（x+1）提公因式，故⑤正确；
⑥m2-mn+n2完全平方公式，故⑥正确；
故答案为：②③④⑤⑥．
【点拨】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，因式分解的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，注意分解要彻底．
21．64 9
【分析】
利用平方差公式可得，进而可得答案．
【详解】
解：∵多项式可分解因式，
∴，
∴m=64，n=9．
故答案为：64，9．
【点拨】此题主要考查了因式分解，关键是掌握平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
22．
【分析】
设另一个因式为，根据多项式乘以多项式展开，左右两边对比得到等量关系求解即可；
【详解】
设另一个因式为，
则，
即，
，
解得，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，准确计算是解题的关键．
23．-1
【分析】
通过整式乘法运算求解．
【详解】
解：∵（x-1）（x-3）=x2-4x+3，
∴x2+ax+b=x2-4x+3，即a=-4，b=3．
∴a+b=-1．
故答案为：-1．
【点拨】本题考查整式的运算，解题关键是进行乘法运算后对比等式两侧的系数．
24．3
【分析】
设另一个因式为，则，根据各项系数列式求出m和n的值．
【详解】
解：假设另一个因式为，则．
，，
解得：，
故答案是：3．
【点拨】本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．
25．x＋3
【分析】
分别将多项式ax2-4a与多项式x2-4x+4进行因式分解，再寻找他们的公因式．
【详解】
解：∵x2-9=（x-3）(x+3)，
x2+6x+9=（x+3）2，
∴多项式x2-9与多项式x2+6x+9的公因式是x+3．
故答案为：x+3
26．x-1
【分析】
分别对2个多项式因式分解，再取公因式.
【详解】
解：多项式＝a(x＋1)(x－1)
2x2－4x＋2＝2(x－1)2
所以两个多项式的公因式是x－1
【点拨】本题考查公因式相关，熟练掌握并利用求多项式公因式的方法进行分析是解题的关键.
27．
【分析】
找公因式的要点是：
公因式的系数是多项式系数的最大公约数；
字母取各项都含有的相同字母；
相同字母的指数取次数最低的.
【详解】
解：根据公因式的系数是多项式系数的最大公约数，同时首项系数应为正数，可确定公因式的系数为，公因式字母取各项都含有的相同字母，同时相同字母的指数取次数最低的可确定公因式字母为，故答案为.
【点拨】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握找公因式的要点是解题的关键，特别注意首项系数应为正数.
28．
【分析】
根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【详解】
解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．
故答案：．
【点拨】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．
29．
【分析】
先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】
解：原式，
故答案为
【点拨】本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.
30．（x+2）（x﹣1）
【详解】
【分析】通过提取公因式（x+2）进行因式分解即可．
【详解】（x+2）x﹣x﹣2
=（x+2）x-(x+2)
=（x+2）（x﹣1），
故答案为（x+2）（x﹣1）．
【点睛】考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
31．7
【分析】
将代数式化简，然后直接将，代入即可．
【详解】
由题意得，，
∴，
故答案为：7．
【点拨】本题考查了提取公因式法，化简求值，化简是解题关键．
32．﹣7
【详解】
∵x+y=1，xy=﹣7，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=-7×1=-7.
33．见解析
【详解】
试题分析：根据因式分解的定义判断即可.
试题解析：
因为(1) (2)的右边都不是整式的积的形式.所以它们不是分解因式；(4)中，都不是整式，(5)中的2a3不是多项式，所以它们也不是分解因式．只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以(3)是分解因式.
34．（1）-2b（2a+4b-5）；（2）（n-m）（2n-m）；（3）3y（a-b）[5a-5b+1]；（4）6（n-m）2（m-n-2）；（5）0
【解析】
【分析】
（1）直接提取公因式﹣2b分解即可；
（2）首先把m−n变为−(m−n)，再提取公因式n-m分解即可；
（3）首先把b−a变为−（a-b），再提取公因式a-b分解即可；
（4）首先把6(m−n)3变为−6(n−m)3，再提取公因式6(n−m)2分解即可；
（5）首先把2x2010+6x2009+2x2008变为2x2008x2+3x+1 ，再把x2+3x+1=0代入即可；
【详解】
（1）−4ab−8b2+10b = -2b（2a+4b-5）；
（2）2(n−m)2−mm−n=2n−m2+mn−m=（n-m）（2n-m）；
（3）15y(a−b)2−3yb−a=15ya−b2+3ya−b=3ya−b[5a−5b）+1]
（4）6(m−n)3−12(n−m)2=6(m−n)3−12(m−n)2=6(m−n)2(m−n−2)
（5）2x2010+6x2009+2x2008=2x2008x2+3x+1=0
【点拨】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．