专题14.20 因式分解-完全平方公式（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.20  因式分解-完全平方公式（知识讲解）

【学习目标】

1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.

2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；

3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.

【要点梳理】

要点一、公式法——完全平方公式

两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．

即，.

形如，的式子叫做完全平方式.

特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；

          （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.

（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.

要点二、因式分解步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；

（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．

要点三、因式分解注意事项

（1）因式分解的对象是多项式；

（2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．

【典型例题】

类型一、公式法——完全平方公式

1、（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）因式分解：

【答案】

【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可．

解：

=

=．

【点拨】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟记完全平方公式的结构特征是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）因式分解：

【答案】

【分析】利用完全平方公式进行分解因式即可得答案．

解：

=

=．

【点拨】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关

2、（2020·上海市梅陇中学七年级期中）因式分解

【答案】

【分析】首先将（a2+6a）看作一个整体，利用完全平方公式进行分解因式，进而再利用完全平方公式得出结果即可．

解：

【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点和应用是解题关键．

 举一反三：

【变式】2020·上海市静安区实验中学）因式分解：

【答案】

【分析】利用完全平方公式进行分解因式即可得答案．

解：

=

=

=．

【点拨】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．

3、（2020·山西八年级月考）对多项式进行因式分解时，小亮先设，代入原式后得：

原式

．

（1）小亮在因式分解时巧妙运用了以下哪种数学思想：          ；

A．整体换元思想

B．数形结合思想

C．分类讨论思想

（2）请指出上述因式分解存在的问题并直接写出正确结果；

（3）请参考以上方法对多项式进行因式分解．

【答案】（1）；（2）分解不彻底；正确结果；（3）．

【分析】

（1）设是整体换元的思想；
（2）a2-2a+4还可以分解，所以是不彻底；
（3）按照例题的分解方法进行分解即可．

解：（1）把用b表示，是整体换元；

故选：

存在的问题:分解不彻底；

理由：

故答案为:

设，

原式

【点拨】本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．

举一反三：

【变式1】（2020·上海市梅陇中学七年级期中）因式分解：

【答案】

【分析】三项式想到完全平方公式，观察各项发现，首末两项为完全平方式，而中间项恰好是两数积的二倍，变成两数差的完全平方，括号内两项符合平方差公式，利用平方差公式因式分解，再利用积的乘方的逆运用即可．

解：，

=，

=，

=．

【点拨】本题考查因式分解的内容，掌握因式分解的方法，能灵活运用因式分解的方法进行因式分解，掌握因式分解的顺序，会根据多项式的特点选择恰当的方法因式分解．

【变式2】（2020·武汉七一华源中学八年级月考）因式分解=______．

【答案】

【分析】

先利用完全平方公式把原式写成，再根据完全平方公式得出结果．

 解：原式

．

故答案是：．

【点拨】本题考查因式分解，解题的关键是掌握利用乘法公式进行因式分解的方法．

 类型二、完全平方公式分解因式的应用

4、（2020·河南八年级期中），，是的三边，且有

（1）若为整数，求的值

（2）若是等腰三角形，直接写出这个三角形的周长

【答案】（1）或或；（2）．

【分析】（1）由，可得：，利用非负数的性质求解，再利用三角形三边的关系得到的取值范围，从而可得答案；

（2）分两种情况讨论，当为腰时，当为腰时，再结合三角形的三边的关系，确定三角形的三边，从而可得答案．

解：（1） ，

，

，

，

，

＜＜，

为整数，

或或．

（2）当为腰时，三角形的三边分别为：，

由＜，此时三角形不存在，故舍去，

当为腰时，三角形的三边分别为：，

由＞，三角形存在，

【点拨】本题考查的是完全平方式的变形，非负数的性质，因式分解，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，掌握以上知识是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2020·河南八年级期中）如果，，是三角形的三边，并且满足等式，试确定三角形的形状

【答案】等边三角形

【分析】由，可得：从而可得：利用非负数的性质可得：从而可得答案．

解：，

三角形是等边三角形．

【点拨】本题考查的是非负数的性质的应用，完全平方公式的应用，等边三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．

 类型三 、完全平方公式求最值

5、（2019·广东广州市白云区六中珠江学校八年级期中）我们可以用以下方法求代数式的最小值．

∵

∴，

∴当时，有最小值-4．

请根据上述方法，解答下列问题

（1）求代数式的最小值；

（2）求证：无论、取任何实数，代数式的值都是正数；

（3）已知为实数，求代数式的最小值．

【答案】（1）有最小值；（2）证明见解析；（3）有最小值．

【分析】

（1）通过配方可得：，再利用非负数的性质，结合不等式的性质可得答案；

（2）把原式通过配方化为：，再利用非负数的性质可得：从而可得结论；

（3）利用配方法把原式化为： 再利用非负数的性质可得代数式的最小值．

解：（1）

当时，有最小值．

（2）

无论、取任何实数，代数式的值都是正数；

（3）

当时，有最小值．

【点拨】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，利用配方法求代数式的最值，因式分解的应用，掌握利用完全平方式的特点进行配方是解题的关键．