专题14.21 因式分解-完全平方公式（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.21  因式分解-完全平方公式（专项练习）

一、单选题

知识点一：判断能否用完全平方公式进行因式分解

1．下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，用公式法分解因式的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．下列各因式分解正确的是（  ）

A．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2） B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2

C．4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2 D．x2﹣4x=x（x+2）（x﹣2）

3．下列各式是完全平方式的是（　　）

A．x2+2x﹣1    B．1+x2    C．x2+xy+1    D．x2﹣x+0.25

4．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（    ）

A． B． C． D．

5．下列各式是完全平方公式的是（  ）

A．16x²-4xy+y² B．m²+mn+n²

C．9a²-24ab+16b² D．c²+2cd+c²

6．已知，则的值为（   ）

A． B． C． D．

7．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（   ）

A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+9

知识点二：用完全平方公式进行因式分解或解决问题

8．关于的多项式的最小值为（  ）

A． B． C． D．

9．下列各式中，与相等的是（   ）

A． B． C． D．

10．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（    ）

A． B． C． D．

11．已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）

A．9 B．10 C．12 D．9或12

12．下列各式中：①，②， ③，④中，分解因式正确的个数有（  ）

A．个 B．个 C．个 D．个

二、填空题

知识点一：用完全平方公式进行因式分解或解决问题

13．因式分解：=        ．

14．分解因式：4a2-4a+1=______．

15．分解因式（2a﹣1）2+8a＝__．

16．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则=_______.

17．对于a，b，c，d，规定一种运算 =ad-bc,如 =1×4-2×3=-2,那么因式分解 的结果是_________.

18．分解因式：a2b-18ab+81b＝_____．

19．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式________．

20．若，则_____．

21．已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y－4xy2＝______．

22．x2﹣x+_____=（x﹣_____）2．

23．已知a、b满足，则________.

24．已知，则的值_____．

三、解答题

知识点：用完全平方公式进行因式分解或解决问题

25．因式分解：

（1） 4xy－2x2y                               （2）3x3－12xy2

（3）9x2－3x－4y2+2y                          （4）

26．将下列各式因式分解：

（1）2a2﹣6a                                  （2）9（a+b）2﹣6（a+b）+1．

27．比较x2+1与2x的大小．

（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：

①当x＝1时，x2+1　   　2x；

②当x＝0时，x2+1　   　2x；

③当x＝﹣2时，x2+1　   　2x．

（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．

28．下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程．

解：设x2－4x=y

原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）

= y2+8y+16 （第二步）

=（y+4）2 （第三步）

=（x2－4x+4）2（第四步）

回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．

  A．提取公因式    B．平方差公式     C．完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解．

参考答案

1．B

【分析】

根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．

【详解】

解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此①不能用公式法分解因式；

②﹣a2b2+1＝1﹣＝（1+ab）（1﹣ab），因此②能用公式法分解因式；

③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；

④﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，因此④能用公式法分解因式；

⑤﹣mn+m2n2＝（﹣mn）2，因此⑤能用公式法分解因式；

综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，

故选：B．

【点拨】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握公式的结果特征是应用的前提．

2．C

【解析】

根据完全平方公式与平方差公式分解因式，提公因式法分解因式，对各选项分析判断后利用排除法求解：

A、﹣x2+（﹣2）2=﹣x2+4=（2﹣x）（2+x），故本选项错误；

B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式，不能利用公式分解，故本选项错误；

C、4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2，故本选项正确；

D、x2﹣4x=x（x﹣4），故本选项错误．

故选C．

3．D

【解析】A. x2+2x﹣1两个平方项的符号不一致，不是完全平方式；   

B. 1+x2缺少两倍的项，不是完全平方式；   

C. x2+xy+1缺少两倍的项，不是完全平方式；  

 D. x2﹣x+0.25=(x-0.5)2,是完全平方式；

故选D.

点睛：本题考查了完全平方式:a2±2ab+b2,其特点是首平方，尾平方，首尾积的两倍在中央，熟记公式的特点是解答本题的关键.

4．B

【分析】

根据能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍进行分析即可．

【详解】

解：A、不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；

B、，能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意；

C、不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；

D、不能直接用完全平方公式进行因式分解，故此选项不合题意；
故选：B．

【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．

5．C

【详解】

A.16x²-4xy+y²，不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误；

B.m²+mn+n²不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误；

C.9a²-24ab+16b²=(3a-4b)2，故本选项正确；

D.c²+2cd+c²不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误.

故选C.

6．A

【分析】

根据，变形可得：，因此可求出，，把和代入即可求解．

【详解】

∵

∴

即，

∴求得：，

∴把和代入得：

故选：A

【点拨】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．

7．D

【详解】

根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项解析判断后利用排除法求解：

A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；

B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；

C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；

D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故选项正确．

故选D．

8．A

【分析】

利用完全平方公式对代数式变形，再运用非负性求解即可．

【详解】

解：原式＝

∵，，

∴原式≥－1，

∴原式的最小值为－1，

故选A．

【点拨】本题考查完全平方公式的变形，以及平方的非负性，灵活运用公式是关键．

9．B

【分析】

根据完全平方公式求出（a-1）2=a2-2a+1，即可选出答案．

【详解】

∵（a-1）2=a2-2a+1，

∴与（a-1）2相等的是B，

故选B．

【点拨】本题考查了运用完全平方公式进行计算，注意：（a-b）2=a2-2ab+b2．

10．D

【分析】

根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形式，另一项是这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】

A. 只有两项，不符合完全平方公式；   

B. 其中    、-1不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；

C. ，其中与    不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式；

D. 符合完全平方公式定义，

故选：D.

【点拨】此题考查完全平方公式，正确掌握完全平方式的特点是解题的关键.

11．C

【解析】

【分析】

先运用分组分解法进行因式分解，求出a，b的值，再代入求值即可．

【详解】

解：∵a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，

∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣10b+25）＝0，

∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，

∴a＝2，b＝5，

∴当腰为5时，等腰三角形的周长为5+5+2＝12，

当腰为2时，2+2＜5，构不成三角形．

故选：C．

【点拨】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握完全平方公式．

12．B

【分析】

直接利用平方差公式和完全平方公式分解因式得出答案即可．

【详解】

解：①，无法分解因式，故此选项错误；

②，正确；

③，故此选项错误；

④，故此选项正确；

所以，正确的答案有2个，

故选：B．

【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式和完全平方公式是解题关键．

13．．

【详解】

解：=．

故答案为．

考点：因式分解-运用公式法．

14．

【分析】

根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．

【详解】

解：．

故答案为．

【点拨】本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．

15．（2a+1）2

【分析】

运用乘法公式展开，合并同类项即可，再根据完全平方公式进行分解因式．

【详解】

原式═4a2+4a+1＝（2a）2+4a+1＝（2a+1）2，

故答案为：（2a+1）2．

【点拨】本题考查乘法公式在多项式的化简及因式分解中的运用．解题关键是明确要求，特别是因式分解时，要分解到不能再分解为止．

16．

【解析】

中间一项为加上或减去x和4积的2倍，

故m=±8，

解得m=±8，

故答案为±8.

点睛：本题主要考查了完全平方式.先根据两平方项确定出两个数，在根据完全平方公式的乘积的二倍即可确定m的值.根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，书记完全平方公式对解题非常重要.

17．(x-3)2

【解析】

【分析】

根据运算法则列出代数式，再按照完全平方公式进行因式分解即可.

【详解】

=x(x-6)-3×(-3)

=x2-6x+9

=(x-3)2.

故答案为：(x-3)2

【点拨】本题考查利用公式法因式分解，根据运算法则列出代数式并熟练掌握完全平方公式是解题关键.

18．b(a-9) 2．

【分析】

先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．

【详解】

解：a2b-18ab+81b，

= b(a2-18a+81)

= b(a-9) 2．

故答案为：

【点拨】本题考查了因式分解，解题关键是明确因式分解的顺序：先提取公因式，再用公式，并能熟练运用相关知识分解；注意：因式分解要彻底．

19．a2+2ab+b2=（a+b）2

【详解】

试题分析：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，

所以a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2．

点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．

20．-4

【分析】

直接利用完全平方公式得出a的值．

【详解】

解：∵，

∴

故答案为

【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

21．20

【详解】

因为x－2y＝－5，xy＝－2,所以2x2y－4xy2＝2xy(x-2y)=2（-2）=20.

22．       

【分析】

由于二次项的系数为1，所给式子组成完全平方式，所以常数项是一次项系数一半的平方．

【详解】

∵所给代数式的二次项系数为1，一次项系数为−，等号右边正好是一个完全平方式，

∴常数项为(÷2)2=19，

∴x2−x+=(x−)2.

故答案为，.

【点拨】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练的掌握配方法的应用.

23．12

【解析】

分析:先根据完全平方公式的特征对等式的左边进行因式分解可得:,再根据非负数的非负性可得:,然后代入求解即可.

详解:因为,

所以,

所以,

所以,

所以,

所以.

点睛:本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解,解决本题的关键是要熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解.

24．2

【分析】

将原式通分，然后将分子进行因式分解，然后整体代入求值即可.

【详解】

解：

当时，原式=

故答案为：2

【点拨】本题考查完全平方公式法进行因式分解及整体代入思想求值，掌握完全平方公式的结构正确进行因式分解是本题的解题关键.

25．（1）；（2）；（3）；（4）．

【分析】

（1）提取公因式即可得；

（2）先提取公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可得；

（3）先利用平方差公式法分解，再利用提取公因式法即可得；

（4）先利用完全平方公式、整式的加减法进行计算，再利用完全平方公式法进行因式分解即可得．

【详解】

（1）原式；

（2）原式，

；

（3）原式，

，

；

（4）原式，

，

．

【点拨】本题考查了因式分解，主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．

26．（1）2a（a﹣3）；（2）（3a+3b﹣1）2；

【解析】

【分析】

（1）提取公因式2a整理即可得解；
（2）把（a+b）看作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可；

【详解】

（1）原式=2a（a﹣3）；

（2）原式=[3（a+b）﹣1]2=（3a+3b﹣1）2．

【点拨】考查因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.

27．（1）①=；②>；③>；（2）x2+1≥2x，理由见解析

【分析】

（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；

（2）根据完全平方公式，可得答案．

【详解】

解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；

②当x＝0时，x2+1＞2x；

③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．

故答案为：＝；＞；＞．

（2）x2+1≥2x．

证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，

∴x2+1≥2x．

【点拨】本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式法因式分解、不完全归纳法，解题关键是理解根据“A-B”的符号比较“A、B”的大小．

28．（1）C；（2）不彻底，（x-2)4 ；（3） (x-1)4

【分析】

（1）观察多项式结构发现利用了完全平方公式；

（2）观察发现分解不彻底，最后一步括号里还能利用完全平方公式分解；

（3）类比例题中的方法将原式分解即可．

【详解】

解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式，

故选：C；

（2）∵x2－4x+4=（x-2)2 ，

∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2)4 ，

故答案为：不彻底，（x-2)4 ；

（3）设x2－2x=y，则:

原式=y(y+2)+1

=y2+2y+1

=(y+1)2

=( x2－2x+1)2

=(x﹣1)4．

【点拨】本题考查利用换元法和公式法进行因式分解，熟记完全平方公式，熟练掌握因式分解的各种方法是解答的关键．