专题14.25 因式分解-分组分解法（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.25  因式分解-分组分解法（专项练习）

一、单选题

1．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（    ）

A． B． C． D．

2．用分组分解法把分解因式，分组的方法有（    ）

A．4种   B．3种   C．2种   D．1种

3．下列各题用分组分解法分解因式，分组不正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

4．用分组分解法分解多项式时，分组正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

5．若实数x满足x2-2x-1=0，则2x3-7x2+4x-2019的值为（     ）

A．-2019 B．-2020 C．-2022 D．-2021

6．已知，，则代数式的值为（    ）

A．4 B． C． D．

7．已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则三角形ABC的形状是(　　)

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等边三角形

8．把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（　　）

1. （4x2﹣y）﹣（2x+y2） 

B．（4x2﹣y2）﹣（2x+y） 

C．4x2﹣（2x+y2+y） 

D．（4x2﹣2x）﹣（y2+y）

9．下列多项式中，不能用分组分解法分解因式的是（　　）

A．5x+mx+5y+my 

B．5x+mx+3y+my 

C．5x﹣mx+5y﹣my 

D．5x﹣mx+10y﹣2my

10．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（　　）

A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1

二、填空题

11．用分组分解法时，一定要考虑分组后能否_____________，____________．

12．阅读下列文字与例题：

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：（1）

.

（2）

.

试用上述方法分解因式___________________________.

13．若的三边、、满足，则这个三角形是_______．

14．已知，，，则的值为_____．

15．已知，，则代数式的值是________．

16．已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．

17．阅读下面的文字与例题。

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：

试用上述方法分解因式=                        ．

18．阅读下面的文字与例题．

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.

例如：

试用上述方法分解因式=                       .

19．阅读下列文字与例题

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法。

例如：（1），

（2）。

试用上述方法分解因式       。

20．阅读下列文字与例题：

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：（1）

          .

（2）

 .

试用上述方法分解因式                           .

21．如果多项式9x2﹣axy+4y2﹣b能用分组分解法分解因式，则符合条件的一组整数值是a=__，b=__．

22．因式分解：________．

23．阅读下列文字与例题

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法。

例如：⑴am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)

=m(a+b)+n(a+b)

=(a+b)(m+n)

⑵---=

=

=

试用上述方法分解因式                  。

三、解答题

24．常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：

这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：

（1）；（2）．

25．阅读与思考：

因式分解----“分组分解法”：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如，四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组进行分组分解.分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键.

例1：“两两”分组：

我们把和两项分为一组，和两项分为一组，分别提公因式，立即解除了困难.同样.这道题也可以这样做：

例2：“三一”分组：

我们把，，三项分为一组，运用完全平方公式得到，再与－1用平方差公式分解，问题迎刃而解.

归纳总结：用分组分解法分解因式的方法是先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解.

请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：

（1）分解因式：

①；

②

（2）若多项式利用分组分解法可分解为，请写出，的值.

26．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：

甲：x2＋2ax﹣3a2

＝x2＋2ax＋a2﹣a2﹣3a2

＝（x＋a）2﹣4a2（分成两组）

＝（x＋a）2﹣（2a）2

＝（x＋3a）（x﹣a）（平方差公式）

乙：a2﹣b2﹣c2＋2bc

＝a2﹣（b2＋c2﹣2bc）（分成两组）

=a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）

＝（a＋b﹣c）（a﹣b＋c）（再用平方差公式）

请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：

（1）x2﹣4x＋3

（2）x2-2xy-9+y2

（3）x2+2xy+y2-6x-6y+9

27．阅读下列文字与例题：

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：（1）；

（2）．

参考上面的方法解决下列问题：

（1）        ；

（2）三边，，满足，判断的形状．

28．（1）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法

例如： ..

试用上述方法分解因式                          

（2）利用分解因式说明：能被12整除.

参考答案

1．A

【分析】

根据因式分解的方法与步骤进行判断即可

【详解】

解：A．原式不能分解，符合题意；

B．原式，不符合题意；

C．原式，不符合题意；

D．原式，不符合题意；

故选：A．

【点拨】本题考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答的关键，注意实数范围内分解因式时2要写成．

2．C

【解析】

试题分析：根据分组分解法的方法结合的特征分析即可.

或

则分组的方法有2种，故选C.

考点：本题考查的是分组分解法因式分解

点评：解答本题的关键是注意用分组分解法时，一定要考虑分组后能否提取公因式，运用公式.

3．B

【解析】

试题分析：根据分组分解法的方法依次分析各项即可.

A、C、D均正确，不符合题意；

B. ，故错误，本选项符合题意.

考点：本题考查的是分组分解法因式分解

点评：解答本题的关键是注意用分组分解法时，一定要考虑分组后能否提取公因式，运用公式.

4．D

【解析】

试题分析：根据分组分解法的方法结合的特征分析即可.

故选D.

考点：本题考查的是分组分解法因式分解

点评：解答本题的关键是注意用分组分解法时，一定要考虑分组后能否提取公因式，运用公式.

5．C

【分析】

先将x2-2x-1=0变形为x2-2x=1，再将要求的式子逐步变形，将x2-2x=1整体代入降次，最后可化简求得答案．

【详解】

解：∵x2-2x-1=0，
∴x2-2x=1，
∵2x3-7x2+4x-2019
=2x3-4x2-3x2+4x-2019，
=2x（x2-2x）-3x2+4x-2019，
=6x-3x2-2019，
=-3（x2-2x）-2019
=-3-2019
=-2022，
故选：C．

【点拨】本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．

6．D

【分析】

由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可．

【详解】

解：因为，，

∴

，

将，代入得：，

故选：D．

【点拨】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解．

7．D

【分析】

将等号两边均乘以2，利用配方法变形，得（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，再利用非负数的性质求解即可．

【详解】

∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，

∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，

∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，

∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0，

即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，

∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，

∴a=b=c，

∴△ABC为等边三角形．

故选D．

【点拨】本题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质、等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．

8．B

【解析】

把第一、三项为一组，利用平方差公式分解因式，二四项为一组，整理后再利用提公因式法分解因式即可．

解：原式=4x2﹣2x﹣y2﹣y=（4x2﹣y2）﹣（2x+y）=（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y）=（2x+y）（2x﹣y﹣1）．

故选B．

9．B

【解析】

利用分组分解可把A、C、D分解因式，但B分组无公因式，所以不能用分组分解法分解因式．

解：5x+mx+5y+my=（5x+5y）+（mx+my）=5（x+y）+m（x+y）=（x+y）（5+m）；

5x﹣mx+5y﹣my=（5x+5y）﹣（mx+my）=5（x+y）﹣m（x+y）=（x+y）（5﹣m）=﹣（x+y）（m﹣5）；

5x﹣mx+10y﹣2my=（5x+10y）﹣（mx+2my）=5（x+2y）﹣m（x+y）=5（x+2y）（5﹣m）=﹣5（x+2y）（m﹣5）．

故选B．

10．C

【分析】

首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．

【详解】

解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2

＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）

＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）

＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．

故选：C．

【点拨】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.

11．提取公因式    运用公式   

【解析】

试题分析：直接根据分组分解法的特征填空即可.

用分组分解法时，一定要考虑分组后能否提取公因式，运用公式.

考点：本题考查的是分组分解法因式分解

点评：解答本题的关键是注意用分组分解法时，一定要考虑分组后能否提取公因式，运用公式.

12．

【解析】

试题分析：首先进行分组，然后分别进行因式分解，最后利用提取公因式进行因式分解.

原式=()+(ac+bc)=+c(a+b)=(a+b)(a+b+c)

考点：因式分解

13．等腰三角形

【分析】

对等式前两项利用平方差公式进行因式分解，而后两项提出公因式，然后再进一步因式分解观察即可.

【详解】

∵，

∴．

∴．

∵、、是的三条边，

∴，

∴，即，

∴为等腰三角形．

故答案为：等腰三角形.

【点拨】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法是解题关键.

14．

【分析】

根据完全平方公式将原式进行因式分解，然后再将，，，代入计算即可.

【详解】

由题意得：，

∵，，，

∴原式．

故答案为：.

【点拨】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法是解题关键.

15．-3

【分析】

先根据，，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可.

【详解】

∵，，

∴a-c=-1，

∴

=

=

=

=-3，

故答案为：-3.

【点拨】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.

16．3

【分析】

根据a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可求得所求式子的值．

【详解】

解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，
∴a2+b2+c2-ab-bc-ac
=
=
=
=3，
故答案为：3．

【点拨】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．

17．（a+c）（a+b+c）．

【解析】

试题分析：将五个分成3个和2个，然后分别利用不同的方法进行分解，然后利用提取公因式法进行因式分解．原式=（+2ac+）+（ab+bc）=+b（a+c）=（a+c）（a+b+c）．

考点：利用分组分解法进行因式分解．

18．（a+c）（a+b+c）.

【解析】

试题分析：将五个分成3个和2个，然后分别利用不同的方法进行分解，然后利用提取公因式法进行因式分解．原式=（+2ac+）+（ab+bc）=+b（a+c）=（a+c）（a+b+c）．

考点：利用分组分解法进行因式分解．

19．。

【解析】。

考点：分组分解法因式分解。

20．（a+b）(a+b+c)  

【解析】

试题分析：首先进行分组，然后分别进行因式分解，最后利用提取公因式进行因式分解.

原式=()+(ac+bc)=+c(a+b)=(a+b)(a+b+c)

考点：因式分解

21．±12；    1，4，9，16等   

【详解】

如果多项式9x2﹣axy+4y2﹣b能用分组分解法分解因式，则前三项为完全平方公式，再与后一项组成平方差公式即可．

解：多项式9x2﹣axy+4y2﹣b能用分组分解法分解因式，

则符合条件的一组整数值是a=±12，b=1，4、9、16等．

22．

【分析】

根据多项式特点，进行分组，两次运用公式法分解因式即可.

【详解】

解：

故答案为：

【点拨】本题无法直接提公因式或运用乘法公式进行分解因式，结合式子特点，对多项式分组，两次运用公式法进行分解，要注意符号问题，正确分组是解题关键.

23．

【解析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．

解：原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）

=（a+b）2+c（a+b）

=（a+b）（a+b+c）．

故答案为（a+b）（a+b+c）．

此题考查了因式分解法，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．

24．（1）；（2）

【分析】

（1）将前两项分为一组，后两项分为一组，分别因式分解，再提取公因式即可；

（2）对前三项利用完全平方公式因式分解，再整体运用平方差公式分解即可．

【详解】

（1）原式==

（2）原式==

【点拨】本题考查因式分解中分组分解，灵活根据公因式或公式法对原式进行合理的分组是解题关键．

25．（1）①（a﹣b）（a+3）；②（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）；（2）a＝4，b＝2．

【分析】

（1）①选用“两两分组”法分解因式即可；

②选用“三一分组”法分解因式即可；

（2）利用多项式乘法法则将展开，然后对应多项式即可求出答案．

【详解】

解：（1）①

②

（2）     

∵

比较系数可得a＝4，b＝2．

【点拨】本题主要考查因式分解和多项式乘法，掌握因式分解法是解题的关键．

26．（1）；（2）；（3）．

【分析】

（1）先根据完全平方公式进行变形，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可；

（2）先分组，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可；

（3）先分组，再根据完全平方公式分解因式即可．

【详解】

解：（1）x2-4x+3

；

（2）x2-2xy-9+y2

；

（3）x2+2xy+y2-6x-6y+9

．

【点拨】本题考查了因式分解-分组分解法，完全平方公式和平方差公式等知识点，注意：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2，a2-b2=(a+b)(a-b)．

27．（1）；（2）△ABC为等腰三角形．

【分析】

（1）原式结合后，利用完全平方公式分解，再提取公因式即可；

（2）已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0确定出a，b，c的关系，即可作出判断．

【详解】

解：（1）原式=；

故答案为：；

（2），

整理得：，即，

解得：a=b或a=c，

则△ABC为等腰三角形．

【点拨】本题考查了利用提取公因式和完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键．

28．（1）；（2）证明见解析.

【分析】

（1）a2+2ab+ac+bc+b2可以进行分组变成（a2+2ab+b2）+（ac+bc），则前边括号内的三项可以利用完全平方公式分解，后边的三项可以提公因式，然后再利用提公因式法即可分解．

（2）先利用平方差公式将进行因式分解，之后即可得出答案.

【详解】

（1）原式=

=

=

（2）

=

=

=

∴ 能被12整除.

【点拨】本题考查分组分解的因式分解方法，做题时先分析题中给的例子是解题关键.