专题21.11 一元二次方程根与系数关系（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.11  一元二次方程根与系数关系（知识讲解）【知识回顾】1.一元二次方程根的判别式  一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2. 一元二次方程根的判别式的逆用    在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】一元二次方程的根与系数的关系    1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用    (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；    (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；    (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数．②当△＞0且时，两根异号．     当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．特别说明：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．　【典型例题】类型一、根的判断别式1．不解方程，判断方程根的情况：（1）4y（4y﹣6）+9=0．     （2）2y2+5y+6=0．        （3）2x2=3x+1．【答案】（1）方程4y（4y﹣6）+9=0有两个相等的实数根；（2）方程2y2+5y+6=0没有实数根；（3）方程2x2=3x+1有两个不相等的实数根．【分析】先把（1）和（3）整理成一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），然后根据∆=b2﹣4ac求出∆的值，再根据根的判别式与根的关系判断即可. 解：（1）16y2﹣24y+9=0，△=b2﹣4ac=（﹣24）2﹣4×16×9=576﹣576=0，∴方程4y（4y﹣6）+9=0有两个相等的实数根．（2）2y2+5y+6=0，△=b2﹣4ac=52﹣4×2×6=25﹣48=﹣23＜0，∴方程2y2+5y+6=0没有实数根．（3）2x2﹣3x﹣1=0，△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=17＞0，∴方程2x2=3x+1有两个不相等的实数根．【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.举一反三：【变式1】 已知关于的方程．（1）不解方程，判断该方程根的情况；（2）设方程的两实数根分别为、，若，试求m的值．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可求解． 解：（1）由题意得：∵b2-4ac=9+4m2＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两实数根分别为、，则有：，把代入方程得：，解得：．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及韦达定理，熟练掌握一元二次方程根的判别式及韦达定理是解题的关键．类型二、根与系数关系直接求值2．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)  x2＋4x＝0；              (2)  2x2－3x＝5.【答案】(1) x1＋x2＝－4,x1x2＝0 ;(2) x1＋x2＝,x1x2＝－ 【分析】如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.    解：(1) x1＋x2＝－4,x1x2＝0 ;(2) x1＋x2＝,x1x2＝－【点拨】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.举一反三：【变式1】若一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．【答案】【分析】已知方程有实数根，根据根与系数的关系直接求解即可． 解：∵的两个实数根分别为，，∴变形为，∴根据一元二次方程根与系数的关系，得：，∴，故答案为：-2．【点拨】此题考查了根与系数的关系，解答此题要熟知一元二次方程根与系数的关系：，．【变式2】 关于x的一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根、．（1）求p的取值范围；（2）若p=0，求的值；（3）若[2＋（1－）][2＋（1－）]＝9，求p的值．【答案】（1）；（2）-3；（3）-4．【分析】（1）一元二次方程有实数根，根据判别式的公式代入即可求p的取值范围；（2）将p=0代入－x＋p－1＝0化简，再根据根与系数的关系得出与之间的关系，进一步可求得的值，代入即可求解；（3）将等式变形，结合四个等式：，，代入求p，结果要根据p的取值范围进行检验．  （1）x的一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根即解得：p的取值范围为：；（2）将p=0代入－x＋p－1＝0，即－x－1＝0，（3）由[2＋（1－）][2＋（1－）]＝9，得、为一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根，即或【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式的运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力．【变式3】已知方程的一根是，求它的另一根及的值．【答案】，．【分析】把x1=2代入已知方程，列出关于k的一元一次方程，通过解方程求得k的值；由根与系数的关系来求方程的另一根． 解 ：设它的另一根为，根据题意得，，解得，．【点拨】考查一元二次方程根与系数的关系, 熟记公式是解决本题的关键.类型三、根与系数关系的运用3、已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？【答案】（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形，边长是；（2）▱ABCD的周长是5．【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；（2）将x＝2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长．  解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD．又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，∴m＝1，∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，解得：x1＝x2＝，∴菱形ABCD的边长是．（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，解得：m＝．将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，∴方程的另一根AD＝1÷2＝，∴▱ABCD的周长是2×（2+）＝5．【点拨】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于m的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根．举一反三：【变式1】已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．【点拨】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．【变式2】已知a、b、c为三角形的三边，求证：方程a2x2(a2+c2b2)x+c2=0没有实数根.【答案】详见解析． 【分析】将根的判别式△=(a2+c2b2)24a2c2运用平方差公式和完全平方公式进行变形，再根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可以得到△＜0.   解：∵a，b，c为△ABC的三边长，∴a2≠0．∴△=(a2+c2b2)24a2c2=(a2+c2b2+2ac)(a2+c2b22ac)=[(a+c)2b2][(ac)2b2]，=(a+b+c)(a+cb)(ac+b)(acb)，又∵三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边∴a+b+c >0， a+cb >0， ac+b >0， acb <0，∴(a+b+c)(a+cb)(ac+b)(acb)<0∴△＜0，∴原方程没有实数根．【点拨】本题主要考查平方差公式和完全平方公式以及根的判别式，灵活运用公式是解题关键.  类型四、根的判断别与根与系数关系综合4、已知关于x的一元二次方程．（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根为，，且，求m的值．【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵，∴，∵方程有两个实数根为，，∴，∵，∴，解得：．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 举一反三：【变式1】已知关于的一元二次方程.（1）求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一根为3，求另一个根.【答案】（1）见解析；（2）-1.   【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2+12≥12，由此即可得出结论．
（2）将x=3代入原方程求出m值，再将m得值代入原方程利用十字相乘法即可求出方程的另一根，或者直接利用两根之积等于-3可得．   解：（1）∵在方程x2-mx-3=0中，△=（-m）2-4×1×（-3）=m2+12≥12，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．
（2）方法一：将x=3代入x2-mx-3=0中，得：9-3m-3=0，
解得：m=2，
当m=2时，原方程为x2-2x-3=（x+1）（x-3）=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴方程的另一根为-1．
方法二：设方程的另一个根为a，
则3a=-3，
解得：a=-1，
即方程的另一根为-1．【点拨】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，掌握x1+x2=-，x1•x2=与判别式的值与方程的解得个数的关系是解题的关键．【变式2】已知关于x的方程.（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.【答案】（1），；（2）证明见解析.【详解】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x1，∵该方程的一个根为1，∴.解得.∴a的值为，该方程的另一根为.（2）∵，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.【变式3】已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．【答案】（1）m＜1；（2）0.【解析】分析：（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可． 解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，解得：m＜1，即实数m的取值范围是m＜1；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，即，解得：x1=2，x2=0，由根与系数的关系得：m=2×0=0．点拨：本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键．