专题21.13 实际问题与一元二次方程（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.13 实际问题与一元二次方程（知识讲解）
【学习目标】
1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；
2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
　　　答(写出答案，切忌答非所问).
特别说明：
列方程解实际问题的三个重要环节：
　　　一是整体地、系统地审题；
　　　二是把握问题中的等量关系；
　　　三是正确求解方程并检验解的合理性.
要点二、一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、
　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字
只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用
其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：
　　　　　 100c+10b+a.
　 (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
　　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.平均变化率问题
　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
　　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
　　平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
3.利润(销售)问题
　　利润(销售)问题中常用的等量关系：
　　利润=售价-进价(成本)
　　总利润=每件的利润×总件数
　　
4.形积问题
　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
特别说明：
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.
【典型例题】
类型一、传播问题
1．一、解答题
1．研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患病（假设每轮每人传染的人数相同），求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【答案】（1）每轮传染中平均每个人传染了12个人．（2）按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
【分析】
（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用经过三轮传染后患病的人数＝经过两轮传染后患病的人数×（1+12），即可求出结论．
解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（x+1）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

举一反三：
【变式1】 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有121人患了新冠肺炎．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）若不采取措施，按原速继续传染，再经过几轮传染，患者将超过1万人？
【答案】（1）10人；（2）两轮
【分析】
（1）设每轮一人传染了x人，根据题意可得：第一轮患病的人数为1+x；第一轮患病人数将成为第二轮的传染源，第二轮患病的人数为第一轮患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一轮患病的人数+第二轮患病的人数=121；
（2）根据平均一个人传染人数，继续进行计算即可得到结果．
解：（1）设每轮平均一人传染人

解得，
∴每轮平均一人传染人
（2）再经过一轮时，，
经过两轮时，
∴再经过两轮患者超过1万人
【点拨】此题主要考查一元二次方程的应用，得到两轮患病人数的等量关系是解决本题的关键．
【变式2】某种肺炎病毒在A国爆发，经世卫组织研究发现：病毒有极强的传染性，一个病毒携带者与10个人有密切接触，其中的6人会感染病毒，成为新的病毒携带者．在调查某工厂的疫情时，发现最初只有1位出差回来的病毒携带者，在召开工厂车间组长会议时发生了第一轮传染，开完会后所有人都回到各自车间工作又发生了第二轮传染，这时全厂一共有169人检测出携带病毒．假如每个病毒携带者每次的密切接触者人数都相同，求每个病毒携带者每次的密切接触了多少人？
【答案】20人
【分析】
设每个病毒携带者每次感染的新的病毒携带者为x人，根据题意列方程即可．
解：设每个病毒携带者每次感染的新的病毒携带者为x人．
根据题意得：1＋x＋x（1＋x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝－14（不合实际，舍去）
12÷＝20（人）
答：每个病毒携带者每次的密切接触了20人．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出一元二次方程．
【变式3】 2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
【答案】（1）不是；8人；（2）729人
【分析】
（1）设每人每轮传染人，根据经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于的一元二次方程；解之，可得出的值，将其正值与10比较后即可得出结论；
（2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数＝经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1＋每人每轮传染的人数），即可求出结论．
（1）设每人每轮传染人，
依题意，得：，得：，（不合题意，舍去），
又∵ 8＜10，∴最初的这名病毒携带者不是“超级传播者”；
所以最初这名病毒携带者不是“超级传播者”；他每轮传染的人数8人；
（2）81×（1＋8）＝729（人），
所以若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有729人成为新冠肺炎病毒的携带者．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，重点在求解方程和实际问题进行结合解决问题；
类型二、增长率问题
2．目前，以5G为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底5G用户数累计达到8.72万户．求这两年全市5G用户数的年平均增长率．
【答案】40%
【分析】
根据每年增长率一样，设这两年全市5G用户数的年平均增长率为x，由题意到2021年底5G用户数累计达到8.72万户，列一元二次方程，解一元二次方程即可．
设这两年全市5G用户数的年平均增长率为x，根据题意得




解得：（不合题意，舍去）
答：这两年全市5G用户数的年平均增长率为40%
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，涉及增长率问题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
举一反三：
【变式1】据报道，我国的新能源汽车的发展空间巨大，使用新能源车能够清洁空气，净化环境，减少的浓度，某市决定市区的新能源公交车由2020年的占比为30％，逐步提升到2022年占比60％，假定该市市区的公交车总量不变，求每年的平均增长率．（取）
【答案】41%．
【分析】
设市区的公交车总量为a，每年的平均增长率是x，2020年的利用量是30%a，那么2021年的占有率就是，2022年的占有率就是，进而可列出方程，求出答案．
解：设市区的公交车总量为a，每年的平均增长率是x，
由题意得，，即，
解得：，（不合题意，舍去），
∴年增长率．
答：每年的增长率约为41%．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，旨在要求我们掌握增长率的求解方法，要注意增长的基础，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．
【变式2】 我区某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2016年的单价是200元，今年的单价为162元．
（1）求2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
（2）购买期间发现该品牌足球在A、B两个体育用品店有不同的促销方案，A店买十送一，B店全场九折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠．
【答案】（1）2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%；（2）去B店购买足球更优惠
【分析】
（1）设2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2016年及今年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）根据A店的优惠政策可求出A店实际需要购买的足球个数为91个，分别求出在A，B两店购买这批足球所需的总费用，比较后即可得出结论．
解：（1）设2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，
根据题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）．
答：2016年到今年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%；
（2）A店买十送一，A店实际需要购买的足球个数为91个，
在A店购买需要的费用为162×91＝14742（元），
在B店购买需要的费用为162×100×＝14580（元），
∵14742元＞14580元，
∴去B店购买足球更优惠．
答：去B店购买足球更优惠．
【点拨】本题考查一元二次方程增长率问题的应用，掌握一元二次方程的增长率应用的解法与步骤，会利用方案设计解决问题．
【变式3】某小微企业在网上销售两种品牌木制休闲用品．今年2月，一共销售两种品牌木制休闲用品共件，其中品牌木制休闲用品每件售价元，品牌木制休闲用品每件售价元，2月全部售完这些木制休闲用品，所得总销售额不低于元．
（1）品牌木制休闲用品最多销售多少件？
（2）为了促进销量，今年3月，该店开展了优惠活动，品牌木制休闲用品的售价比2月的价格优惠，品牌木制休闲用品的售价比2月的价格优惠，结果3月售出的品牌木制休闲用品数量比2月总销售额最低时售出的品牌木制休闲用品数量增加了，售出的品牌木制休闲用品数量比2月总销售额最低时售出的品牌木制休闲用品数量增加了，结果3的总销售额比2月最低销售额增加了，求的值．
【答案】（1）；（2）40
【分析】
（1）设品牌木制休闲用品售出件，则品牌木制休闲用品售出件，从而可得：，再解不等式即可得到答案；
（2）根据题意逐一分析得到月份的两种品牌的销售量与销售单价，再列方程，解方程可得答案．
解：（1）设品牌木制休闲用品售出件，则品牌木制休闲用品售出件，
依题意得：，
解得：．
答：品牌木制休闲用品最多售出件．
（2）依题意得：，
令
整理得：，

经检验：不合题意，舍去，
．
答：的值为．
【点拨】本题考查的是一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，弄懂题意，确定不等关系与相等关系是解题的关键．
类型三、与图形有关的问题
3、如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？

【答案】当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．
【分析】
设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，由题意得
x(25-2x+1)=80，
化简，得x2-13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8，
当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），当x=8时，26-2x=10＜12，
答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．
【点拨】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
举一反三：
【变式1】在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是1836cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x应多宽？

【答案】x应为2cm．
【分析】
设金色纸边的宽为xcm，由题意得，解方程，舍去不合题意的解即可．
解：设金色纸边的宽为xcm，由题意得
，
解得（不合题意，舍去）
答：x应为2cm．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题关键．
【变式2】如图，在长7米，宽5米的矩形地面，沿纵向，横向修建两条相同宽度的道路，余下部分用作花坛，要使花坛的面积为24m2，道路的宽应为多少？

【答案】道路的宽应为1米
【分析】
设道路的宽应为x米，则余下部分可合成长为（7﹣x）米，宽为（5﹣x）米的矩形，根据花坛的面积为24m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设道路的宽应为x米，则余下部分可合成长为（7﹣x）米，宽为（5﹣x）米的矩形，
依题意得：（7﹣x）（5﹣x）＝24，
整理得：x2﹣12x+11＝0，
解得：x1＝1，x2＝11（不合题意，舍去）．
答：道路的宽应为1米．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正值列出一元二次方程是解题的关键.
【变式3】如图，某学校有一块面积为84m2的矩形空地，准备进行绿化．计划在空地的中间修建两个相同的正方形花坛，其余地方铺草坪，两个花坛之间及与四周的距离均为2m，求正方形花坛的边长．

【答案】正方形花坛的边长为3m
【分析】
设正方形花坛的边长为x m，则矩形空地的长为（2x＋2×3）m，宽为（x＋2×2）m，根据空地面积为84m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设正方形花坛的边长为xm，则矩形空地的长为（2x+2×3）m，宽为（x+2×2）m，
依题意得：（2x+2×3）（x+2×2）＝84，
整理得：x2+7x﹣30＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：正方形花坛的边长为3m．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
类型四、数字问题
4、如图是2019年1月份的日历．任意选择图中的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11-3×17=48，13×15-7×21=48．不难发现，结果都是48

（1）请证明发现的规律；
（2）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120，请判断他的说法是否正确．
【答案】（1）见解析；（2）小明的说法不正确，理由见解析
【分析】
（1）设中间的数为a，则另外4个数分别为（a-7），（a-1），（a+1），（a+7），利用相对的两对数分别相乘再相减，可证出规律成立；
（2）设这5个数中最大数为x，则最小数为（x-14），根据最小数与最大数的积是120，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，由该值在第一列可知不符合题意，进而可得出小明的说法不正确．
（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a-7），（a-1），（a+1），（a+7），
∴（a-1）（a+1）-（a-7）（a+7）=a2-1-（a2-49）=48．
（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x-14），
依题意，得：x（x-14）=120，
解得：x1=20，x2=-6（不合题意，舍去）．
∵20在第一列，
∴不符合题意，
∴小明的说法不正确
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
举一反三：
【变式1】若两个连续整数的积是56，求这两个连续整数的和．
【答案】这两个连续整数的和为15或-15
【分析】
设这两个连续整数中较小的数为x，则较大的数为x＋1，根据题意，列出方程即可求出x，从而求出结论．
解：设这两个连续整数中较小的数为x，则较大的数为x＋1
由题意可得x（x＋1）=56
解得：x1=7，x2=-8
∴这两个整数为7、8或-8，-7
∴两个连续整数的和为7＋8=15或-8＋（-7）=-15
答：这两个连续整数的和为15或-15．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，能用代数式表示出两个连续整数，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
【变式2】（1）解方程：
（2）一个两位数字，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的，求这个两位数．
【答案】（1）或4；（2）63
【分析】
（1）根据因式分解法解一元二次方程；
（2）设个位数字为x，则十位数字为(x+3)，根据这两个数字之积等于这个两位数的列出一元二次方程，求解即可．
解：（1），
，
或，
，；
（2）设个位数字为x，则十位数字为(x+3)，
由题意得，，即，
解得，，（不合题意，舍去），
∴十位数字为x+3＝6，
答：这个两位数为63．
【点拨】本题考查解一元二次方程与一元二次方程的应用，熟练掌握因式分解法与正确理解题意是解题的关键，注意应用题中要检验一元二次方程的解是否符合题意．
类型五、工程问题
5、2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天．
①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
【答案】（1）20%；（2）①4条；②不能，理由见解析．
【分析】
（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，根据题意列方程，即可得到结论；
②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，根据每天生产口罩6500万个，即可得出关于a的一元二次方程，根据判别式的值可得出结论．
解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：500（1+x）2=720，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%；
（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，
依题意，得：（1+m）（1500-50m）=6500，
解得：m1=4，m2=25，
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m=4．
答：应该增加4条生产线；
②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，
依题意，得：（1+a）（1500-50a）=15000，
化简得：a2-29a+270=0，
∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解．
∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
举一反三：
【变式1】随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．
（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？
（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．
【答案】（1）甲工厂最多可生产1000万片的口罩；（2）m的值为4．
【分析】
（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得关于x的一元一次不等式，求解即可；
（2）根据乙工厂实际每天生产的口罩数量乘以每万片的实际成本等于乙工厂实际每天生产口罩的成本，列出关于m的一元二次方程，求解即可．
解：（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得：
0.6x≤0.8（2000﹣x）×，
解得：x≤1000．
答：甲工厂最多可生产1000万片的口罩．
（2）由题意得：
（6﹣0.5m）（0.8+0.2m）＝6×0.8+1.6，
整理得：m2﹣8m+16＝0．
解得：m1＝m2＝4．
答：m的值为4．
【点拨】本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出不等式或方程是解题的关键．
【变式2】某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ．
（1）求的n值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
【答案】（1）；（2），60家
【分析】
（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出关于n的一元一次等式，从而求出答案；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，列出关于m的一元二次等式，从而求出m及第二年用乙方案新治理的工厂数量．
解：(1)由题意可得：，
解得；
(2)由题意可得：，
解得：，（舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：（家）．
【点拨】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据所给条件，找出合适的等量关系，列出方程从而求解．
【变式3】年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生 产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线．原计划生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个．
（1）若生产线一共工作小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则生产线至少生产护目镜多少小时？
（2）原计划生产线每天均工作小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个．这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．
【答案】（1）生产线至少生产口罩小时；（2）该厂实际每天生产口罩的时间为．
【分析】
（1）设生产线至少生产口罩小时，根据生产护目镜的总数量不少于个列出不等式求解即可；
（2）设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为，根据实际一天生产的护目镜将比原计划多个列出方程求解即可．
（1）解：设生产线至少生产口罩小时

解得：
答：生产线至少生产口罩小时.
（2）解：设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为

解得：
生产时间：
答：设该厂实际每天生产口罩的时间为.
【点拨】此题主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系和等量关系，列出不等式和方程．
类型六、行程问题
6、从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？
【答案】快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米
【分析】
首先设慢车每小时走x千米，则快车每小时走（x+12）千米，再根据题意可得等量关系：慢车行驶150千米的时间-快车行驶150千米的时间=25分钟，根据等量关系列出方程即可．
设慢车每小时行驶x千米，则快车每小时行驶(x＋12)千米，
依题意得－＝.
解得x1＝－72，x2＝60.
经检验，x1＝－72，x2＝60都是原方程的解．
但x1＝－72不合题意，应舍去．
故x＝60.
所以x＋12＝72.
答：快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米．
【点拨】此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据时间差列出方程是解题关键.
举一反三：
【变式1】李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程11千米，应收29.10元”．该城市的出租车收费标准如下表所示，请求出起步价N(N55，
当x=70时，80-（x-30）=40