专题22.3 二次函数y=ax²(a≠0)的图象与性质（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题22.3  二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质（知识讲解）

【学习目标】

1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；

2．会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0) 的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；

3．掌握二次函数y=ax2(a≠0) 的图象的性质。

【要点梳理】

要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质

1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象

用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.

因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.

2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法

用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.

特别说明：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．

画草图时应抓住以下几点：1）开口方向，2）对称轴，3）顶点，4）与轴的交点，5）与轴的交点.

3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质

二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：

特别说明：
    顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.

│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.

【典型例题】

类型一、

1． ．画函数的图象．

 【分析】利用列表、描点、连线的方法作出函数的图象即可．

 解：列表：

描点、连线如下图所示：

【点拨】本题考查了图象的作法，比较简单，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．

举一反三：

【变式1】画出二次函数y＝x2的图象．

【分析】建立平面直角坐标系，然后利用五点法作出大致函数图象即可．

解：函数y＝x2的图象如图所示：

【点拨】本题考查了二次函数的图象的作法，五点法作图是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．

【变式2】 画出二次函数y=﹣x2的图象．   

【解析】首先列表，再根据描点法，可得函数的图象．

解：列表：

描点：以表格中对应的数值作为点的坐标，在直角坐标系中描出；

连线：用平滑的线顺次连接，如图：

【点拨】本题考查了二次函数图象，正确在坐标系中描出各点是解题的关键．

类型二、

2．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是① y＝ax2；② y＝bx2；③ y＝cx2；④ y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____．

【答案】a＞b＞d＞c

【分析】设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．

解：因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．

【点拨】本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．

举一反三：

【变式1】如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．求a的值及点B的坐标.  

【答案】a=, B（2,2）

【解析】先把A点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值和二次函数解析式；再B点坐标代入二次函数解析式，即可求出n的值，从而确定点B的坐标.

试题解析：把点A（-4，8）代入y=ax2,得：

16a=8

∴a=

∴y = x 2.

再把点B（2，n）代入y= x 2得：

n=2.

∴B（2,2）.

考点：二次函数的性质.

【变式2】已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是_____．（请用“＞”连接排序）

【答案】a1＞a2＞a3＞a4

【分析】

直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．

 解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，

③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，

故a1＞a2＞a3＞a4．

故答案是：a1＞a2＞a3＞a4.

【点拨】考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．

类型三、

3、函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．

求：（1）a和b的值；

（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；

（3）作y=ax2的草图．

【答案】（1）a=-1（2）y轴，（0，0）（3）图像见解析

 试题分析：

（1）把点（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；

（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，从而可确定抛物线y=ax2的开口方向，对称轴和顶点坐标；

（3）根据（2）中求得的抛物线y=ax2的开口方向、对称轴和顶点坐标可画出其草图.

 解：（1）把（1，b）代入直线y=2x-3中，得b=2-3=-1，

把点（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1；

（2）∵在y=-x2中，a=-1<0，

∴抛物线开口向下；

抛物线y=ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；

（3）作函数y=ax2的草图如下：

举一反三：

【变式】已知函数是关于x的二次函数．

（1）求m的值．

（2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？

（3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？

【答案】（1）m1＝−4，m2＝1；（2）当m＝−4时，该函数图象的开口向下；（3）当m＝1时，函数为，该函数有最小值，最小值为0．

【分析】

（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．

（2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；

（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值；

解：（1）∵函数是关于x的二次函数，

∴m2＋3m−2＝2，m＋3≠0，

解得：m1＝−4，m2＝1；

（2）∵函数图象的开口向下，

∴m＋3＜0，

∴m＜−3，

∴当m＝−4时，该函数图象的开口向下；

（3）∵m＝−4或1，

∵当m＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，

∴m＞−3，

∵m＝−4或1，

∴当m＝1时，函数为，该函数有最小值，最小值为0．

【点拨】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．

类型四、

4、已知是关于x的二次函数.

(1)求满足条件的k的值；

(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？

(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？

【答案】(1)k=±2； (2) 见解析； (3)见解析.

【分析】（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值；（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．

解：(1) 根据二次函数的定义得    解得k=±2.

 ∴当k=±2时，原函数是二次函数.

 (2)  根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，

∴k+1＞0，即k＞-1，根据第(1)问得：k=2.

 ∴该抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大.

 (3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，

∴k+1＜0，即k＜-1，根据第(1)问得：k=-2.

 ∴该抛物线的解析式为，顶点坐标为(0，0)，

∴当k=-2时，函数有最大值为0.  当x＞0时，y随x的增大而减小.

【点拨】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．

举一反三：

【变式1】已知 是二次函数，且函数图象有最高点．

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．

【答案】（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．

【解析】（1）根据二次函数的定义得出k2+k﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2＜0，即可得出k的值；

（2）利用（1）中k的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax2（a≠0）的二次函数顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴即可得出答案．

试题解析：解：（1）∵是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3；

（2）当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．

【变式2】已知函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，求：

（1）满足条件的k的值；

（2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？

（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增大而减小？

【答案】（1）；（2）k＝1，最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大；（3）k＝3，最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．

【分析】

（1）由于函数是二次函数，所以x的次数为2，且系数不为0，即可求得满足条件的k的值；

（2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质即可知函数的单调区间；

（3）函数有最小值，则开口向上，然后根据二次函数性质可求得最小值，即可知函数单调区间．

  解：（1）∵函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，

∴k满足，且k﹣2≠0，

∴解得：；

（2）∵抛物线有最高点，

∴图象开口向下，即k﹣2＜0，结合（1）所得，

∴k＝1，

∴最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大．

（3）∵函数有最小值，

∴图象开口向上，即k﹣2＞0，

∴k＝3，

∴最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．

【点拨】本题考查了二次函数的定义、待定系数法求解析式、解一元二次方程以及二次函数图像的性质；解决本题的关键在于知道二次函数的表达形式，用待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数图像的性质．

类型五、

5、如图，梯形ABCD的顶点都在抛物线上，且轴.A点坐标为（a,-4），C点坐标为（3,b）.

（1）求a，b的值；

（2）求B，D两点的坐标；

（3）求梯形的面积.

【答案】（1）,；（2），；（3）25.

【分析】

（1）把点A，点C坐标分别代入解析式，即可求出a，b的值；

（2）由B与A的纵坐标相等，D与C的纵坐标相等，由对称关系，即可求出B，D的坐标；

（3）分别求出AB，CD和梯形的高，即可得到答案.

解：（1）当时，

，

∴.

∵点A在第三象限，

∴.

当时，，

∴.

（2）∵轴，

∴A点与B点，C点与D点的纵坐标相同.

∵关于y轴对称，

∴，.

（3）由题意，得梯形的高为5，

∴.

【点拨】本题考查了二次函数与四边形的综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.

举一反三：

【变式1】在平面直角坐标系中，若抛物线与直线交于点和点，其中，点为原点，求的面积.

【答案】.

【分析】首先求得两个交点的坐标，然后求得直线与y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出答案．

解：由题意得：

解得：或

∵点和点，其中

∴，

直线与y轴的交点坐标为：（0，1）

∴

【点拨】考查了二次函数的性质，解题的关键是了解如何求得两个图象的交点坐标．

【变式2】抛物线y＝ax2(a＞0 )上有A 、B两点，A、B两点的横坐标分别为－1，2．求a为何值时，△AOB为直角三角形．

【答案】

【分析】

先求出AB两点坐标，再根据△AOB为直角三角形，根据勾股定理分情况列出含a的方程进行求解.

解：∵x=-1,∴y=a,

∵x=2,∴y=4a，

∴A（-1，a）,B（2，4a）

当AB为斜边时，AB2=AO2+BO2，

即32+(3a)2=(1+a2)+(4+16a2),解得a2=，

∴a=，

∵a0,  ∴a=.

当BO为斜边时，OB2=AB2+AO2，得a=1，

∵a0,  ∴a=1，

∵AO2=1+a29+9a2= AB2，AO2=1+a24+16a2= OB2

∴AO不是斜边，

∴a=或1.

【点拨】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是根据勾股定理列出方程解出a的值.