专题22.8 二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题22.8 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质（知识讲解）【学习目标】 会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系； 熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数与函数的图象与性质1.函数的图象与性质 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2.函数的图象与性质的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上x=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下x=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．特别说明：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．2.性质：要点二、二次函数的平移1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律：    在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．特别说明：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）　【典型例题】 1．已知二次函数经过点，且当时，函数有最大值4．（1）求二次函数的解析式；（2）直接写出一个与该函数图象开口方向相反，形状相同，且经过点的二次函数解析式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）设顶点式为y＝a（x−1）2＋4，然后把（0，3）代入求出a即可；（2）利用二次函数的性质，抛物线解析式为可设为y＝（x−1）2＋h，然后把（0，3）代入求出h解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x−1）2＋4，把（0，3）代入得a（0−1）2＋4＝3，解得a＝−1，所以抛物线解析式为y＝−（x−1）2＋4；（2）设抛物线解析式为y＝（x−1）2＋h，把（0，3）代入得1＋h＝3，解得h＝2，所以满足条件的一个抛物线解析式为y＝（x−1）2＋2．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上的坐标特征．举一反三：【变式1】 已知函数是二次函数． （1）求m的值；（2）求这个二次函数的解析式，并指出开口方向、对称轴和顶点坐标．【答案】（1）-3；（2），开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是（-2，-5）【分析】（1）根据二次函数的概念，二次项次数为2，可以求出m的值，再结合二次项系数不等于0，即可最终确定m的值；（2）将m代入解析式中，即可得到二次函数的顶点式，根据a的正负，对称轴为直线x=-h以及顶点坐标为（-h，k），即可解决本题．解：（1）∵ ∴∵∴m≠3∴（2）将m=-3代入解析式中，得二次函数的解析式为∵a=-6＜0∴开口方向向下∴对称轴是直线，顶点坐标是（-2，-5）．【点拨】本题主要考查了二次函数的概念以及二次函数的顶点式，熟练其概念以及顶点式的性质是解决本题的关键．【变式2】已知二次函数y＝－x2＋4x.(1)用配方法把该二次函数化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)求这个函数图象与x轴的交点的坐标．【答案】(1)对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4);(2)(0，0)，(4，0)【解析】试题分析：(1)先将二次函数的表达式化为顶点式，然后写出对称轴与顶点坐标即可.(2)令 ，然后解一元二次方程即可.试题解析：(1) y＝－(x－2)2＋4，其对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，4)．(2)令y＝0，则－x2＋4x＝0，∴x1＝0，x2＝4，∴这个函数图象与x轴的交点的坐标为(0，0)，(4，0)．【变式3】 已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点．（1）求抛物线的解析式；（2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；（3）求抛物线与y轴的交点坐标．【答案】（1）；（2）x的取值范围为；（3）抛物线与y轴的交点坐标为．【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为，把点代入即可求解；（2）根据函数的对称轴即可求解；（3）令x=0，即可求解．解：（1）∵抛物线，当时，有最大值，∴抛物线的解析式为．∵抛物线过点，∴，∴．∴此抛物线的解析式．（2）∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下，∴当时，y随x的增大而增大．∴x的取值范围为．（3）当时，，∴抛物线与y轴的交点坐标为．【点拨】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知对称轴的应用．2．已知二次函数，求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，小明的计算过程：……①；……②；……③；顶点坐标是……④；（1）请你帮他检查一个，在标出的①②③④几个步骤中开始出现错误的是________________步．（2）请写出此题正确的求顶点的计算过程．【答案】（1）①；（2）见详解【分析】（1）根据配方法把二次函数的一般式化为顶点式的步骤，即可得到答案；（2）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可得到答案．解：（1）y＝0.5x2−x−0.5＝0.5（x2−2x）−0.5 ①＝0.5（x2−2x＋1−1）−0.5 ②＝0.5（x−1）2−1③∴顶点坐标是（1，−1）④；故答案为：①；（2）y＝0.5x2−x−0.5＝0.5（x2−2x）−0.5 ＝0.5（x2−2x＋1−1）−0.5 ＝0.5（x−1）2−1∴顶点坐标是（1，−1）．【点拨】此题考查二次函数的顶点式，二次函数解析式的三种形式有：顶点式；两根式以及一般式，掌握配方法，是解题的关键．举一反三：【变式1】确定下列函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标.(1)；                   (2).【答案】(1)抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；(2)抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为.【分析】（1）已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．解：(1)由可知，二次项系数为，∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；(2)由可知，二次项系数为，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为.【点拨】本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴．3、把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分）【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．解： 由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为y=2（x+1）2﹣2．考点：二次函数图象与几何变换．【变式1】 抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到．【答案】  向上  (2，0)  直线x＝ 2  ≥2  2  小  0  右  2．   解：抛物线y＝3（x－2）2的开口方向是向上，顶点坐标为（2，0），对称轴是直线x＝ 2．当x≥2时，y随x的增大而增大；当x＝2时，y有最小值是0，它可以由抛物线y＝3x2向右平移2个单位得到．故答案为：向上； （2，0）； 直线x＝ 2；≥2 ；2；小； 0； 右；2．【变式2】将二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为________．【答案】y=2x2+1【分析】利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图象对应的函数表达式．  解：由二次函数的图象沿y轴向上平移2个单位，因此所得图象对应的函数表达式为：．【点拨】本题考查二次函数的平移，掌握平移规律是本题的解题关键.4、一条抛物线经过点A(-2，0)且抛物线的顶点是(1，－3)，求满足此条件的函数解析式．【答案】【分析】设抛物线为： 根据抛物线的顶点坐标求解，再把代入解析式可得答案．   解：设抛物线为： 抛物线的顶点是(1，－3)， 抛物线为：把代入抛物线得： ， 抛物线为：【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，根据题意设出合适的抛物线的解析式是解题的关键．5、将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为______；将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为______．【答案】y=2（x+1）2+1    y=2（x﹣1）2﹣1    解：（1）∵将抛物线绕其顶点旋转180°后新的抛物线的顶点和对称轴都和原抛物线相同，只有开口方向变了，∴将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为：；（2）∵抛物线绕原点旋转180°后，新抛物线的顶点的坐标和原抛物线的顶点坐标关于原点对称，新抛物线对称轴和原抛物线的对称轴关于y轴对称，开口方向和原来开口方向相反，∴将抛物线y=﹣2（x+1）2+1绕原点旋转180°后得到的新抛物线的解析式为：.【点拨】（1）抛物线关于其顶点对称的抛物线的解析式为；（2）抛物线关于原点对称的抛物线的解析式：.举一反三：【变式1】已知二次函数的顶点为且过点，求该函数解析式．【答案】【分析】由题意设抛物线的顶点式：，再把代入抛物线的解析式，解方程即可得到答案． 解：由顶点（-2，2），可设抛物线为：，将点（-1，3）代入上式可得： 综上所述：．【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，掌握根据题意设出合适的二次函数的表达式是解题的关键．【变式2】 求符合下列条件的抛物线的函数关系式，（1）通过点（3，8）；（2）与的开口大小相同，方向相反。【答案】；【解析】试题分析：(1)、将点(3，8)代入函数解析式求出a的值得出函数解析式；(2)、根据题意得出，从而得出函数解析式． 解：(1)、将(3，8)代入函数解析式可得：，  解得：a=2，∴二次函数的解析式为：；(2)、∵函数与的开口大小相同，方向相反，    ∴，∴二次函数的解析式为：．【变式3】已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M．（1）求直线l的函数解析式；（2）若S△AMP=3，求抛物线的解析式．【答案】（1）y=﹣x+4；（2）y=2（x﹣1）2．【分析】(1)根据交点坐标先求直线l的函数解析式（2）抛物线的顶点坐标已知，设交点M的坐标，再根据S△AMP=3求出M的坐标，最后求出解析式.解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入解析式得解得解析式为y=﹣x+4．（2）设M点的坐标为（m，n），∵S△AMP=3，∴（4﹣1）n=3，解得，n=2，把M（m，2）代入为2=﹣m+4得，m=2，M（2，2），∵抛物线y=a（x﹣h）2的顶点为P（1，0），可得y=a（x﹣1）2，把M（2，2）代入y=a（x﹣1）2得，2=a（2﹣1）2，解得a=2，函数解析式为y=2（x﹣1）2．【点拨】此题重点考察学生对函数解析式的理解，熟练解析式的求法是解题的关键. 6、 A、B两地果园分别有橘子40吨和60吨，C、D两地分别需要橘子30吨和70吨；已知从A、B到C、D的运价如表： 到C地到D地A果园每吨15元每吨12元B果园每吨10元每吨9元（1）若从A果园运到C地的橘子为x吨，则从A果园运到D地的橘子为____吨，从A果园将橘子运往D地的运输费用为____元；（2）设总运费为y元，请你求出y关于的函数关系式；（3）求总运输费用的最大值和最小值；（4）若这批橘子在C地和D地进行再加工，经测算，全部橘子加工完毕后总成本为w元，且w=-(x-25)2+4360，则当x＝___ 时，w有最 __ 值（填“大”或“小”）．这个值是 ___ ．【答案】（1）（40-x），12（40-x）；（2）y=2x+1050；（3）最大值为1110元，最小值为1050元；（4）25，大，4360【分析】（1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，剩下的都运往D地，所以运往D地的是（40-x）吨．运输费用=吨数×每吨的运费．（2）总运费=从A运往C、D的费用+从B运往C、D的费用．（3）总运费与x是一次函数关系，由于0≤x≤30，可计算出总运费的最大值和最小值．（4）利用二次函数的性质，求出函数的最值． 解：（1）因为从A果园运到C地的橘子是x吨，那么从A果园运到D地的橘子为（40-x）吨，从A运到D地的运费是12元每吨，所以A果园将橘子运往D地的运输费用为12（40-x）吨．故答案为：（40-x），12（40-x）；（2）从A果园运到C地x吨，运费为每吨15元；从A果园运到D地的橘子为（40-x）吨，运费为每吨12元；从B果园运到C地（30-x）吨，运费为每吨10元；从B果园运到D地（30+x）吨，运费为  每  吨9元；所以总运费为：y=15x+12（40-x）+10（30-x）+9（30+x）=2x+1050；（3）因为总运费y =2x+1050，∵，∴函数值随x的增大而增大，由于0≤x≤30，∴当x=30时，有最大值2×30+1050=1110元，当x=0时，有最小值2×0+1050=1050元；（4）w=-(x-25)2+4360，∵二次项系数-1＜0，∴抛物线开口向下，当x=25时，w有最大值．最大值时4360．故答案为：25，大，4360．【点拨】本题考查了列代数式及函数的性质．利用一次函数的性质求出总运费的最大值和最小值，利用二次函数的性质求出总成本的最值．举一反三：【变式1】某商店以30元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．（1）求与的函数解析式；（2）要使销售利润达到最大，销售单价应定为每千克多少元？【答案】（1）；（2）65元【分析】（1）设与的函数解析式为，把，代入，得     解得即可；（2）设销售利润为元，先求出每件销售利润，再乘以销售量，根据题意， ，由，时，有最大值，最大值为1225．   解：（1）设与的函数解析式为，把，代入，得，解得，∴与的函数解析式为；（2）设销售利润为元，根据题意，得，，，，∵，∴当时，有最大值，最大值为1225．∴要使销售利润达到最大，销售单价应定为每千克65元．【点拨】本题考查一次函数的解析式，列二次函数，利用配方法转化为顶点式，掌握一次函数的解析式的求法，列二次函数方法，会利用配方法将二次函数转化为顶点式，根据开口向下有最大值是解题关键．