专题21.7 一元二次方程解法-公式法（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.7  一元二次方程解法-公式法（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；

2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

【要点梳理】

要点一、公式法解一元二次方程

1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式：．
　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　　 ③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；
　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　 ③求出的值；
　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解；
　　　 　若，则原方程无实根.
特别说明：

（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.

（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.

    ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.

② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.

③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.

【典型例题】

类型一、解一元二次方程--公式法

1．下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程在时的求根公式的过程．

（1）嘉淇同学从第________步开始出现错误，直接写出一元二次方程在时的求根公式．

（2）用配方法解方程．

【答案】（1）四，；（2），，见解析．

【分析】（1）第四步开方时出错；（2）根据配方法，解题即可．

解：（1）由于，方程变形为

故方程在时的求根公式为：

，

故答案为：四；

（2）

．

【点拨】本题考查解一元二次方程—公式法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

举一反三：

【变式1】 用适当的方法解下列方程：

（1）               （2）

【答案】（1）x1=，x2=；（2）x1=，x2=

【分析】 （1）先化简，再利用公式法求解； （2）利用公式法求解．

 解：（1），

化简可得：，

∴a=1，b=3，c=-5，

∴△=32-4×1×（-5）=29，

∴x=，

解得：x1=，x2=；

（2），

∴a=2，b=-7，c=-4，

∴△=（-7）2-4×2×（-4）=81，

∴x=，

解得：x1=，x2=．

【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

【变式2】解方程：

（1）；                     （2）．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用配方法解题；（2）先化为一般式，再利用公式法解题．

 解：（1）

由配方法得，

；

（2）

．

【点拨】本题考查解一元二次方程，涉及配方法、公式法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

类型二、根的判别式

2．已知关于的一元二次方程．

（1）当时，求方程的根；

（2）如果方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

【答案】（1）x1=，x2=；（2）m＞

【分析】（1）当m=3时，方程为，得到一个一元二次方程，解之即可，（2）根据“方程有两个不相等的实数根”，得到判别式△＞0，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．

   解：（1）把m=3代入方程中，得：，

∵a=3，b=2，c=-2，

∴△=4-4×3×（-2）=28，

∴x=，

∴x1=，x2=；

（2）∵方程有两个不相等的实数根，

∴△＞0，

∴4-4×3×（-m+1）＞0，

解得m＞．

【点拨】本题考查了根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握解一元二次方程的方法，（2）正确掌握根的判别式公式．

举一反三：

【变式1】不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：

（1）；           （2）．

【答案】（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根

【分析】（1）根据根的判别式即可判断；（2）根据根的判别式即可判断；

  解：（1）由题得：

∴原方程没有实数根；     

（2）由题得：         

∴原方程有两个不相等的实数根．

【点拨】此题主要考查一元二次方程方程根的情况判断，解题的关键是熟知根的判别式的性质特点．

【变式2】 已知关于x的一元二次方程．

（1）若是该方程的一个根，求k的值；

（2）请判定这个方程根的情况．

【答案】（1）；（2）该方程有两个不相等的实数根

【分析】（1）将代入，解方程即可得出k的值；（2）利用一元二次方程根的判别式即可得出结论．

 解：（1）将代入得：，

解得；

（2）∵，，，

∴，

∵，

∴，

∴该方程有两个不相等的实数根．

【点拨】此题主要考查了一元二次方程解，根与系数的关系，根的判别式，熟悉相关性质是解答本题的关键．

 类型三、根据一元二次方程求参数

3、已知关于x的方程有两个实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．

【答案】（1）且；（2）

【分析】

(1)因为一元二次方程有两个实数根,所以必须满足下列条件:二次项系数不为零且判别式，列出不等式求解即可确定k的取值范围．

(2）在k的取值范围内确定最大整数，代入原方程，再运解方程即可．

 解：（1）∵关于x的方程有两个实数根，

∴且．

．

∴且．

∴且．          

（2）当k取最大整数时，，

此时，方程为，

解得．

∴当时，方程的根为．

【点拨】本题考查一元二次方程根的情况，解一元二次方程、熟练并正确解方程是重点，熟知一元二次方程根的情况是关键

举一反三：

【变式1】关于x的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．

【答案】（1）见详解；（2）k＜-1

【分析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−3）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝-3，x2＝-k，根据方程有一根大于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

（1）证明：∵在方程中，△＝（k＋3）2−4×1×3k＝k2−6k＋9＝（k−3）2≥0，

∴方程总有两个实数根；

（2）解：∵，

∴x1＝-3，x2＝-k．

∵方程有一根大于1，

∴-k＞1，解得：k＜-1，

∴k的取值范围为k＜-1．

【点拨】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根大于1，找出关于k的一元一次不等式．

【变式2】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若方程的两根都为整数，求正整数的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）直接运用一元二次方程根的判别式列不等式解答即可；

（2）先运用求根公式求解，然后根据根为整数以及二次根式有意义的条件列式解答即可．

 解：（1）∵关于的方程有两个实数根，

∴，解得，；

（2）由题意得，

，

∵为整数，且为正整数，

∴或，

又∵

∴．

【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、运用公式法解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．