专题21.6 一元二次方程解法-配方法（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.6  一元二次方程解法-配方法（专项练习）

一、单选题

知识点一、一元二次方程的解法---配方法
1．将一元二次方程配方，其正确的结果是（    ）

A． B． C． D．

2．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ）

A． B． C． D．

3．把一元二次方程配成的形式，则、的值是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4．用配方法解方程，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

5．用配方法解下列方程时，配方错误的是（　　）

A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100

B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25

C．2x2﹣7x﹣4＝0化为（x﹣）2＝

D．3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝

知识点二、配方法的应用
6．对于任意实数x，多项式x－6x+10的值是一个（  ）

A．负数 B．非正数 C．正数 D．无法确定正负的数

7．对于任意的实数x，代数式x2﹣5x+10的值是一个(    )

A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定

8．不论为何实数，代数式的值（  ）

A．总不小于 B．总不大于 C．总不小于 D．可为任何实数

9．若，则（    ）

A．12 B．14.5 C．16 D．

10．已知，则的值等于（    ）

A．1 B．0 C．−1 D．

11．若方程的左边是一个完全平方式，则等于（    ）

A． B． C． D．

12．已知点为平面直角坐标系中一点，若为原点，则线段的最小值为（    ）

A．2 B．2.4 C．2.5 D．3

二、填空题

知识点一、一元二次方程的解法---配方法

13．用配方法解一元二次方程时，应该在等式的两边都加上_________．

14．用配方法解方程x2+4x+1＝0，则方程可变形为（x+2）2＝_____．

15．方程，用配方法可把原方程化为，其中k=___________．

16．当_____时，代数式与的值相等．

17．_______．

18．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是_______．

19．将一元二次方程变形为的形式为________．

20．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则b＝_____．

知识点二、配方法的应用

21．当x=______时，−4x2−4x+1有最大值．

22．已知，则_________．

23．若，则代数式的值为______．

24．对于有理数，，定义：当时，；当时，．若，则的值为______．

三、解答题

知识点一、一元二次方程的解法---配方法

25．解方程：

①（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）                ②x2+2x﹣3＝0（配方法）

知识点二、配方法的应用

26．已知 a，b 是等腰三角形 ABC 的边长且满足 a b 8a  4b  20  0 ，求等腰三角形 ABC 的周长．

27．阅读：我们知道一个分式有意义的条件是字母的取值使得分母不为零，所以分式中取值往往会受到限制，但分式中b却可以取任意实数，理由是b2+3≥3，所以不可能为0且分母的最小值为3，根据你的理解回答下列问题：

（1）多项式x2+2x﹣3有最大值还是最小值？如果有，请求出这个最值；

（2）已知关于x的多项式A＝4x2﹣3x+a2（a为常数）和多项式B＝3x2+5x﹣17，试比较A和B的大小，并说明理由；

（3）已知关于x的二次三项式﹣x2﹣4mx+4m+3（m为常数）的最大值为2，求x和m的值．

28．阅读下列材料：

对于任意的正实数，，总有成立（当且仅当时，等号成立），这个不等式称为“基本不等式”利用“基本不等式”可求一些代数式的最小值．

例如：若，求式子的最小值．

解：∵，∴，∴的最小值为2．

（1）若，求的最小值；

（2）已知，求的最小值．

（3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．

参考答案

1．D

【分析】两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．

解：，

配方得：，即．

故选：D．

【点拨】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握其步骤是解答本题的关键．

2．C

【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．

【详解】

解：x2-4x=2，

∴x2-4x+4=6，

∴（x-2）2=6．

故选：C．

【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

3．D

【分析】按照配方法把配成的形式即可解答．

解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，．

故选D．

【点拨】

本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

4．D

【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．

解：，

∴，

∴，

∴，

∴，

故选：D．

【点拨】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

5．B

【分析】将常数项移到方程的右边，然后将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．

【详解】

解：A、由x2﹣2x﹣99＝0得x2﹣2x=99，则x2﹣2x+1=100，即（x﹣1）2＝100，故本选项正确，不符合题意；

B、由x2+8x+9＝0得x2+8x=-9，则x2+8x+16=-9+16即（x+4）2＝7此选项错误，符合题意；

C、由2x2﹣7x﹣4＝0得2x2﹣7x=4，则x2﹣x＝2，∴x2﹣x+＝2+，即＝，故本选项正确，不符合题意；

D、由3x2﹣4x﹣2＝0，得3x2﹣4x=2，则x2﹣x＝，∴故x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝，故本选项正确，不符合题意；

故选：B．

【点拨】本题主要考查解一元二次方程−配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为a＋bx＋c＝0（a≠0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．

6．C

【分析】把多项式进行配方，即可判断.

【详解】

∵x－6x+10= x－6x+9+1= (x-3)+1＞0.

∴多项式x－6x+10的值是一个正数，

故选C.

【点拨】此题主要考查多项式的值，解题的关键是熟知配方法的应用.

7．A

【解析】

【分析】原式配方后,利用非负数的性质判断即可.

解:原式==＞0,

则原代数式的值是一个正数,

所以A选项是正确的

【点拨】本题主要考查了配方法的应用：通过配方法吧一个代数式变形为完全平方式，然后利用其非负性解决问题.

8．A

【分析】对原式进行配方处理，形成含有完全平方的形式，再运用非负性即可判断．

【详解】

原式＝，

∵，，

∴，

即：原式的值总不小于，

故选：A．

【点拨】本题考查运用配方法形成完全平方公式判断代数式的值的范围，准确配方并理解完全平方式的非负性是解题关键．

9．B

【分析】将已知等式变形后，利用非负数的性质和完全平方式求出关于a的等式和b的值，代入所求式子中计算可解．

【详解】将已知等式整理：

∴a-4a+1=0，2b-1=0

整理得：a+=4，b=，

即a+=( a+)-2=16-2=14，

则14.5．

故选：B．

【点拨】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

10．B

【分析】首先根据，可得：（m＋2）2＋（n−2）2＝0，据此求出m、n的值各是多少，然后把求出的m、n的值代入计算即可．

【详解】

∵，

∴m2＋n2＝4n−4m−8，

∴（m2＋4m＋4）＋（n2−4n＋4）＝0，

∴（m＋2）2＋（n−2）2＝0，

∴m＋2＝0，n−2＝0，

解得：m＝−2，n＝2，

∴

＝

＝0．

故选：B．

【点拨】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．

11．D

【分析】根据配方法计算即可；

【详解】

∵方程的左边是一个完全平方式，

∴，

∴，

故答案选D．

【点拨】本题主要考查了配方法的应用，准确计算是解题的关键．

12．B

【分析】利用勾股定理求出两点的距离OP=配方得，当时，OP最小即可．

【详解】

，

OP=，

，

，

∴，OP最小，

故选择：B．

【点拨】本题考查勾股定理求两点距离问题，掌握勾股定理两点距离公式，会用配方法求最值是解题关键．

13．9

【分析】配方法解一元二次方程时，等式两边应加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方式．

解：用配方法解一元二次方程x2+6x=1时，应该在等式两边都加上32，即9，

故答案为：9．

【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

14．3

【分析】先移项，再两边配上4，写成完全平方公式即可．

解：∵，

∴，即，

故答案为：3．

【点拨】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤即可．

15．

【分析】先把二次项系数化为1，再方程常数项移到右边，两边加上1变形后，即可解答．
根据配方法

解：方程两边同时除以2，得：，

移项得：，

两边同时加1得：，

即：，

故：．

故答案为：．

【点拨】此题考查了解一元二次方程−−配方法与直接开方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

16．1

【分析】根据题意得出=x-1，整理成一般式后利用配方法求解可得．

解：根据题意得=x-1，
整理得：，
∴，

解得：x=1

故答案为：1．

【点拨】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

17．49

【分析】用配方法解题即可．

【详解】

故答案为：49．

【点拨】本题主要考查配方法，掌握规律是解题关键．

18．-4，21

【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．

解：∵x2-8x-5=0，

∴x2-8x=5，

则x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，

∴a=-4，b=21，

故答案为：-4，21．

【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

19．

【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．

解：

移项得 ，

配方得

即

故答案为：

【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解．

20．21

【分析】先把常数项移到等号的右边，再等号两边同时加上16，即可．

解：∵x2﹣8x＝5，

∴x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，

故答案为：21．

【点拨】本题主要考查一元二次方程的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．

21．

【分析】先根据完全平方公式将原式配方，进而利用非负数的性质求出即可．

解：∵-4x2-4x+1=-(4x2+4x-1)=-(2x+1)2+2，

-(2x+1)2≤0，

∴当x=-时，4x2-4x+1有最大值是2．

故答案为：-．

【点拨】此题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，正确配方得出是解题关键．

22．4

【分析】利用完全平方公式将原等式左边适当变形，再根据非负数的性质可求得a、b、c的值，代入计算即可．

解：因为，

所以，

即，

即，，，

所以，

∴．

【点拨】本题考查完全平方公式，乘方的符号法则．能利用完全平方公式对等式适当变形是解题关键．

23．0

【分析】先将配方化简，然后将代入即可．

解：

∵，

∴原式

，

故答案为：0．

【点拨】本题考查了代数式求值，配方法的应用，将原式变形为是解题关键．

24．36

【分析】根据与40的大小，再根据，从而确定m，n的值即可得出的值．

解：∵，

∴40≤；

∴

∴（m+6）2+（n-2）2≤0，
∵（m+6）2+（n-2）20，

∴m+6=0，n-2=0，
∴m=-6，n=2，

∴

故答案为：36．

【点拨】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．

25．①x1＝3，x2＝﹣2；②x1＝1，x2＝﹣3．

【分析】①整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；

②移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．

解：①方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，

这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，

∵△＝1+24＝25，

∴x＝，

解得：x1＝3，x2＝﹣2；

②移项得：x2+2x＝3，

配方得：x2+2x+1＝4，

即（x+1）2＝4，

开方得：x+1＝2或x+1＝﹣2，

解得：x1＝1，x2＝﹣3．

【点拨】本题考查解一元二次方程，结合解一元二次方程的相关解法进行求解.

26．10

【分析】利用配方法分别求出a、b，根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算．

【详解】

a b 8a  4b  20  0，

a 8a +16 b 4b  4＝0，

（a−4）2＋（b−2）2＝0，

a−4＝0，b−2＝0，

解得，a＝4，b＝2，

∵2、2、4不能组成三角形，

∴这个等腰三角形的周长为：4＋4＋2＝10．

【点拨】本题考查的是配方法、非负数的性质、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，掌握配方法、完全平方公式是解题的关键．

27．（1）有最小值，最小值是﹣4；（2）A＞B，见解析；（3）x的值为1，m的值为﹣．

【分析】

（1）原式配方后，利用非负数的性质确定出最值即可；

（2）利用作差法判断即可；

（3）先将关于x的二次三项式﹣x2﹣4mx+4m+3配方，再根据最大值为2，得出关于m的方程，解得m的值，然后可求得x的值．

解：（1）∵x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，

∴多项式x2+2x﹣3有最小值，最小值是﹣4；

（2）∵A＝4x2﹣3x+a2，B＝3x2+5x﹣17，

∴A﹣B＝4x2﹣3x+a2﹣（3x2+5x﹣17）

＝x2﹣8x+a2+17

＝（x﹣4）2+a2+1，

∵（x﹣4）2≥0，a2+1≥1，

∴（x﹣4）2+a2+1≥1，

∴A＞B；

（3）﹣x2﹣4mx+4m+3

＝﹣（x2+4mx）+4m+3

＝﹣（x+2m）2+4m2+4m+3，

∵最大值为2，

∴4m2+4m+3＝2，

∴（2m+1）2＝0，

∴m1＝m2＝﹣，

∴x＝﹣2m＝1．

∴x的值为1，m的值为﹣．

【点拨】本题考查了配方法在最值问题以及多项式比较大小中的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．

28．（1）6；（2）4；（3）25．

【分析】

（1）将原式变形为后即可确定最小值；

（2）结合阅读材料将原式变形为后即可确定最小值；

（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，则由等高三角形可知：，用含x的式子表示出，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．

解：（1）∵，

∴

又∵，

∴

∴的最小值为6；

（2）∵

∴，

∴

∵

∴

∴的最小值为4．

（3）设，

则由等高三角形可知：

∴，即，

∴四边形面积，

∵，当且仅当x=6时，取等号，

∴四边形面积的最小值为25．

【点拨】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．