2020年山西省晋城市高考数学一模试卷（理科）_(带答案解析).docx

这是一份2020年山西省晋城市高考数学一模试卷（理科）_(带答案解析).docx，共19页。试卷主要包含了答题前填写好自己的姓名，请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。

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2020年山西省晋城市高考数学一模试卷（理科）
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：120分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2、请将答案正确填写在答题卡上

评卷人
得分



一、 选择题（共12题）
1. 已知集合A={x|lnx＜1}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（　　）
A.（0，e） B.（-1，2） C.（-1，e） D.（0，2）
2. 已知复数，则复数z的共轭复数=（　　）
A.
B.
C.
D.
3. 已知tanα=3，则cos2α+sin2α=（　　）
A.
B.
C.
D.
4. 设x，y满足约束条件，则z=x-3y的最小值为（　　）
A.0 B.-4 C.-8 D.-6
5. 甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则（　　）

A.甲得分的平均数比乙的大 B.乙的成绩更稳定 C.甲得分的中位数比乙的大 D.甲的成绩更稳定
6. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=alnx+a，若f（-e）=4，则f（0）+f（1）=（　　）
A.-1 B.0 C.-2 D.1
7. 函数在[-π，0）∩（0，π]的图象大致为（　　）
A.
B.
C.
D.
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（　　）

A.4
B.
C.
D.
9. 已知P是抛物线C：y2=2px（p＞0）上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|PF|=2，，则抛物线C的方程为（　　）
A.y2=6x B.y2=2x
C.y2=x D.y2=4x
10. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，AD=6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（　　）

A.98π
B.196π
C.784π
D.
11. 双曲线mx2+ny2=1（mn＜0）的渐近线于圆（x-5）2+y2=9相切，且该双曲线过点，则该双曲线的虚轴长为（　　）
A.3 B.4 C.6 D.8
12. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若sin（A+C）=，则tanC+的最小值为（　　）
A.
B.2
C.1
D.

评卷人
得分



二、 填空题（共4题）
13. 已知向量，，若，则m=______．
14. 的二项展开式中，x项的系数是______．（用数字作答）
15. 若函数f（x）=sinx-acosx图象的一条对称轴方程为，则a=______．
16. 若lnx1-x1-y1+2=0，x2+2y2-4-2ln2=0，则的最小值为______，此时x2=______．

评卷人
得分



三、 解答题（共7题）
17. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+kn+k．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
18. “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：

年份
2014
2015
2016
2017
2018
销量（万台）
8
10
13
25
24

某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：


购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主

6
24
女性车主
2


总计


30

（1）求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；
（2）请将上述2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；
（3）若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人，记选到女性车主的人数为X，求X的数学期望与方差．
参考公式：，，其中n=a+b+c+d.，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关．
附表：

P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

19. 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，∠BAD=60°，CD=1，AD=2，AB=4，点G在线段AB上，AG=3GB，AA1=1．
（1）证明：D1G∥平面BB1C1C．
（2）求二面角A1-D1G-A的余弦值．

20. 已知椭圆的半焦距为c，圆O：x2+y2=c2与椭圆C有且仅有两个公共点，直线y=2与椭圆C只有一个公共点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问：x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，请说明理由．
21. 已知函数f（x）的定义域为R且满足f（-x）+f（x）=x2，当x≥0时，f'（x）＜x．
（1）判断f（x）在（-∞，0]上的单调性并加以证明；
（2）若方程f（x）=x有实数根x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点，设正数x0为函数g（x）=xex+a（1-ex）+x+1的一个不动点，且，求a的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；
（2）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若，求直线m的倾斜角．
23. 已知函数f（x）=|3x-1|+|3x+3|．
（1）求不等式f（x）≥10的解集；
（2）正数a，b满足a+b=2，证明：．

参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】D
【解析】解：A={x|0＜x＜e}，B={x|-1＜x＜2}，
∴A∩B=（0，2）．
故选：D．
可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性和定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2. 【答案】A
【解析】解：由=，
得．
故选：A．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题主要考查复数的四则运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3. 【答案】B
【解析】解：∵tanα=3，
∴cos2α+sin2α====，
故选：B．
由题意，可将cos2α+sin2α变为，再利用商数关系将其用切表示出来，代入正切的值即可求出分式的值．
本题考查同角三角函数的关系，已知角的正切值，求解时注意“1”的妙用，属于基础题．
4. 【答案】D
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

化目标函数z=x-3y为y=x-，
由图可知，当直线y=xz过A（0，2）时，z有最小值为-6．
故选：D．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题
5. 【答案】B
【解析】解：由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，得：
在A中，甲的平均分=（10+13+12+14+16）=13，
=（13+14+12+12+14）=13，
甲得分的平均数与乙的平均数相等，故A错误；
在B中，由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，
分析离散程度，得到乙的成绩更稳定，故B正确；
在C中，甲得分的中位数和乙得分的中位数都是13，故C错误；
在D中，由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，
分析离散程度，得到甲的成绩更稳定，故D错误．
故选：B．
利用甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，可求出甲、乙的平均数、中位数，分析数据的离散程度，确定方差，即可求解．
本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6. 【答案】C
【解析】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，
若f（-e）=4，则f（e）=-f（-e）=-4，
又由当x＞0时，f（x）=alnx+a，则f（e）=alne+a=2a=-4，解可得a=-2，
则f（1）=-2ln1-2=-2，
故f（0）+f（1）=-2；
故选：C．
根据题意，由奇函数的性质可得f（0）和f（e）的值，结合函数的解析式可得f（e）=alne+a=2a=-4，解可得a的值，进而计算可得f（1）的值，相加即可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意求出a的值，属于基础题．
7. 【答案】D
【解析】解：∵，
∴函数f（x）为奇函数，
又∵，
∴选项D符合题意．
故选：D．
由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解．
本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，特殊点，单调性等角度运用排除法求解，属于基础题．
8. 【答案】C
【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：
如图所示：

最长的棱长为AB=．
故选：C．
首先把三视图转换为几何体，进一步求出结果．
本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的棱长的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
9. 【答案】A
【解析】解：如图所示：由抛物线的方程可得焦点F（，0），
由|PF|=2可得|PF|cos=2=1，所以可得xP=-1，
由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以xP+=2，即=2，解得p=3，
所以抛物线的方程为：y2=6x，
故选：A．
由抛物线的方程求出焦点坐标及准线方程，由题意画图，若|PF|=2，，可得P的坐标，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出p的值，进而求出抛物线的方程．
考查抛物线的性质，属于基础题．

10. 【答案】B
【解析】解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系，DA为x轴，DC为y轴DD1为z轴，D为坐标原点，
由题意知A（6，0，0），B（6，8，0），D（0，0，0），
设D（0，0，a），则C1（0，8，a），
∴=（6，8，0），=（-6，8，a），
∴cos===，
由题意可得：=，解得：a2=96，
由题意长方体的对角线等于外接球的直径，
设外接球的半径为R，则（2R）2=82+62+a2=196，
所以该长方体的外接球的表面积S=4πR2=196π，
故选：B．
由题意建立空间直角坐标系，由异面直线的余弦值求出长方体的高，由题意长方体的对角线等于外接球的直径，进而求出外接球的半径，求出外接球的表面积．
考查异面直线的夹角即外接球的表面积公式，属于中档题．

11. 【答案】D
【解析】解：双曲线mx2+ny2=1（mn＜0）的一条渐近线x-y=0．
圆E：（x-5）2+y2=9的圆心（5，0），半径r=3．
∵渐近线与圆E：（x-5）2+y2=9相切，∴=3，即16|m|=9|n|，…①
该双曲线过点，
∴4m+=1，…②
解①②可得n=，m=，
双曲线=1，该双曲线的虚轴长为：8．
故选：D．
mx2+ny2=1（mn＜0）的渐近线与圆E：（x-5）2+y2=9相切⇔圆心（5，0）到渐近线的距离等于半径r=3，推出mn的方程，结合点在双曲线上，求解m，n然后求解双曲线的虚轴长．
熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键，是中档题．
12. 【答案】D
【解析】解：由sin（A+C）=，得sinB==，
所以b2=c2+ac，由b2=a2+c2-2accosB，得a-2ccosB=c，
利用正弦定理sinA-2sinCcosB=sinC，
sinBcosC+cosBsinC-2sinCcosB=sinBcosC-cosBsinC=sinC，
即sin（B-C）=sinC，
∵锐角△ABC中，∴tan（B-C）=tanC，
∴tanC+=tanC+≥2=2，当且仅当tanC=时取等号．
故选：D．
利用正弦定理和余弦定理化简，求出sin（B-C）=sinC，可得tan（B-C）=tanC，利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了三角形面积的计算公式、正弦定理、和差公式、基本不等式的性质．，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、 填空题
13. 【答案】1
【解析】解：根据题意，向量，，
若，则•=-m=0，解可得m=1；
故答案为：1．
根据题意，由数量积与向量垂直的关系可得•=-m=0，解可得m的值，即可得答案．
本题考查向量数量积的性质，涉及向量数量积的坐标计算，属于基础题．
14. 【答案】-448
【解析】解：的二项展开式的通项为．
由7-2r=1，得r=3．
∴的二项展开式中，x项的系数是=-448．
故答案为：-448．
写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．
本题考查二项式定理的应用，关键是熟悉二项展开式的通项，是基础题．
15. 【答案】-
【解析】解：f（x）=（sinx-cosx），
令cosθ=，sinθ=，
即tanθ=a，
则f（x）=sin（x-θ），
∵f（x）的一条对称轴方程为，
∴-θ=kπ+，即θ=-kπ-，
则a=tanθ=tan（-kπ-）=tan（-）=-，
故答案为：-．
利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性求出角的范围即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合参数θ的关系建立方程是解决本题的关键，有一定的难度．
16. 【答案】
【解析】解：由lnx1-x1-y1+2=0得y1=lnx1-x1+2，
即点A（x1，y1）在曲线y=lnx-x+2上，
点B（x2，y2）在直线x+2y-4-2ln2=0上，
的几何意义表示为A，B两点距离的平方，
y=lnx-x+2的导数y′=-1，
直线x+2y-4-2ln2=0的斜率k=，
由y′=-1=-得=，得x=2，此时y=ln2-2+2=ln2，即切点坐标为（2，ln2），
即此时切点到直线的距离d==，即的最小值为d2=，
过切点与直线x+2y-4-2ln2=0垂直的直线方程设为2x-y+c=0，得c=y-2x=ln2-4．即2x-y+ln2-4，
由得x=，即x2=，
故答案为：，．
设A（x1，y1），B（x2，y2），根据点与曲线之间的关系，转化为两点间距离的最值问题，求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．
本题主要考查两点间距离的最值问题，结合两点间距离公式，转化最值问题，以及利用导数的几何意义，转化为切线问题是解决本题的关键，有一定的难度．
三、 解答题
17. 【答案】解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，则
Sn=n2+（a1-）n=2n2+kn+k．
故，解得．
∴数列{an}的通项公式为an=2+4（n-1）=4n-2．
（2）由（1）知，
bn===•（-）．
故Tn=b1+b2+…+bn
=•（1-）+•（-）+…+•（-）
=•（1-+-+…+-）
=•（1-）
=．
【解析】
本题第（1）题设等差数列{an}的公差为d，然后将等差数列求和公式与题干中所给表达式进行比较，可得关于a1与d的方程，解出a1与d的值，即可得到等差数列{an}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用裂项相消法求前n项和Tn．
本题主要考查等差数列的基础知识，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了方程思想，转化和化归思想的应用．本题属中档题．
18. 【答案】解：（1）=（2014+2015+2016+2017+2018）=2016，=（8+10+13+25+24）=16，
∴=（-2）×（-8）+（-1）×（-6）+1×9+2×8=47，
=4+1+1+4=10，=64+36+9+81+64=254，
∴r==≈0.94＞0.9，
∴y与x线性相关．
（2）依题意，完善表格如下：


购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主
18
6
24
女性车主
2
4
6
总计
20
10
30

K2==，
∴有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关．
（3）依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为，
则X～B（50，），∴E（X）=50×=20，
D（X）==12．
【解析】
（1）求出=2016，=16，从而求出=47，=10，=254，进而求出r=≈0.94＞0.9，由此得到y与x线性相关．
（2）依题意，完善列联表，求出K2=，从而有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关．
（3）该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为，从而X～B（50，，由此能求出X的数学期望与方差．
本题考查两个变量否线性相关的判断，考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19. 【答案】解：（1）证明：连接C1B，因为底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB=4=4CD，AG=3GB，
则GB∥CD∥D1C1，且GB=D1C1=1，
所以四边形GBC1D1为平行四边形，则D1G∥C1B，
又C1B在平面BB1C1C内，D1G不在平面BB1C1C内，
所以D1G∥平面BB1C1C．
（2）作DH⊥AB于H，以D为坐标原点，分别以DH，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面A1D1G的法向量为，则，可取；
设平面AD1G的法向量为，则，可取，
∴，
又二面角A1-D1G-A的平面角为锐角，故所求余弦值为．

【解析】
（1）连接C1B，证明GB∥CD∥D1C1，且GB=D1C1=1得到四边形GBC1D1为平行四边形，故由D1G∥C1B得到证明．
（2）作DH⊥AB于H，建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，计算夹角得到答案．
本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力．
20. 【答案】解：（1）圆O：x2+y2=c2与椭圆C有且仅有两个公共点，则b=c；
直线y=2与椭圆C只有一个公共点，b=2，
又a2=b2+c2=8；
所以椭圆的方程为：；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x+2），
由消去y得（2k2+1）x2+8k2x+8（k2-1）=0，
得x1+x2=，，
假设x轴上存在定点R（t，0），使得为定值，则
=（x1-t，y1）•（x2-t，y2）=x1x2-t（x1+x2）+y1y2+t2
=x1x2-t（x1+x2）+k（x1+2）k（x2+2）+t2
=（1+k2）x1x2
=++4k2+t2
=，
要使为定值，于是⇒，R（），
则=-8+，
当直线l与x轴垂直时，把x=-2代入y=，于是P（-2，），Q（-2，-）
故=（-2+，）•（-2+，-）=-为定值，
综上，在x轴上存在定点R（），使得为定值．

【解析】
（1）根据条件求出a，b，c，求出椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x+2），与椭圆方程联立，假设x轴上存在定点R（t，0），使得为定值，得到，R（），当直线l与x轴垂直时，判断也成立，求出Q即可．
考查求椭圆的方程，直线与椭圆的定点问题，中档题．
21. 【答案】解：（1）令h（x）=f（x）-，则h′（x）=f′（x）-x，
因为当x≥0时，f'（x）＜x，即h′（x）＜0，故h（x）在[0，+∞）上单调递减，
又f（-x）+f（x）=x2，所以h（-x）+h（x）=0，
故h（x）为奇函数，根据奇函数的对称性可知，h（x）在（-∞，0）上单调递减，
因为y=在（-∞，0]上单调递减，
故f（x）=h（x）+在（-∞，0]上单调递减，
（2）由（1）可知，h（x）在R上单调递减，
由，可得h（x0）≥h（1-x0），
所以x0≤1-x0，即x0，
因为正数x0为函数g（x）=xex+a（1-ex）+x+1的一个不动点，
所以g（x）=x在（0，，]上有解，
即xex+a（1-ex）+1=0在（0，]上有解，
整理可得，a===x+，
令m（x）=x+，则，
设t（x）=ex-x-2，x，
则t′（x）=ex-1＞0，故t（x）在（0，]上单调递增，且t（）=，即t（x）＜0，
所以m（x）＜0，故m（x）在（0，]上单调递减，m（x）≥m（）=，
故a．
【解析】
（1）根据已知构造函数h（x）=f（x）-，可判断h（x）的单调性，进而可得f（x）的单调性；
（2）由已知不等式，结合单调性可求x0的范围，然后进行分离参数后转化为求解函数的值域．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及利用分离参数法研究函数的零点问题，属于难题．
22. 【答案】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2=6．
直线l的极坐标方程为．整理得，转换为直角坐标方程为．
（2）直线l与x轴的交点为P，所以P（4，0），
所以（t为参数），
把直线的参数方程代入圆的方程得到：（4+tcosθ）2+（tsinθ）2=6，
整理得t2+8cosθt+10=0，
所以t1+t2=-8cosθ，
所以，
解得或，
所以或．
【解析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23. 【答案】解：（1）f（x）=|3x-1|+|3x+3|=．
∵f（x）≥10，∴或，
∴或x≤-2，
∴不等式的解集为{x|或x≤-2}．
（2）f（x）=|3x-1|+|3x+3|≥|（3x-1）-（3x+3）|=4．
∵正数a，b满足a+b=2，∴f（x）≥2（a+b），
∴，
当且仅当a=b=1时等号成立，
∴．
【解析】
（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≥10分别解不等式即可；
（2）先利用绝对值三角不等式求出f（x）的范围，再根据a+b=2，利用均值不等式即可证明．
本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和均值不等式的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．