四川省绵阳市2022届高三上学期第二次诊断性考试数学（理）试题含答案

绵阳市高中 2019 级第二次诊断性考试

理科数学

注意事项：

1. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后， 将答题卡交回。

一、选择题： 本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只 有一项是符合题目要求的。

1. 设集合 ， 则集合 的元素个数为
   A． 0
   B． 1
   C． 2
   D． 3
2. 二项式 的展开式中， 的系数为
   A．
   B．
   C． 10
   D． 15
3. 如图， 茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续 9 个月的月用电量（单位：度）， 根据茎叶 图， 下列说法正确的是
   A． 甲家庭用电量的中位数为 33
   B． 乙家庭用电量的极差为 46
   C． 甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差
   D． 甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平均值

甲  乙 

  2 1 1  

5 4 3 2 3  

3 2 7 3 4 8 9

  1 4 0 2 

  0 5 1 6 

4. 已知角 的终边过点 ， 则
   A．
   B． 0
   C．
   D．
5. 已知双曲线 的焦距为 4 ， 两条渐近线互相垂直， 则 的方 程为
   A．
   B．
   C．
   D．
6. 已知平面向量 不共线， ， 则
   A． 三点共线
   B． 三点共线
   C． 三点共线
   D． 三点共线
7. 函数 是定义域为 的偶函数， 当 时， ， 若 ， 则
   A． e
   B．
   C．
   D．
8. 已知直线 与圆 相交于 两点， 若 ， 则
   A．
   B． 5
   C． 3
   D． 4
9. 第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年在北京举办． 为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况， 随机抽取了该市 100 人进行调查统计， 得到如下 列联表：
   下列说法正确的是

参考公式：
，
其中 ．

附表：

A． 有 以上的把握认为 “关注冰雪运动与性别有关”
B． 有 以上的把握认为 “关注冰雪运动与性别无关”
C． 在犯错误的概率不超过 的前提下， 认为 “关注冰雪运动与性别无关”
D． 在犯错误的概率不超过 的前提下， 认为 “关注冰雪运动与性别有关”

10. 已知 为整数， 且 ， 设平面向量 与 的夹角为 ， 则 的概率为
    A．
    B．
    C．
    D．
11.  已知函数 ， 若不等式 有且仅有 2 个整数解， 则实数 的取值范 围是
    A．
    B．
    C．
    D．
12. 已知 分别为椭圆 的左， 右焦点， 上存在两点 使得梯形 的高为 (其中 为半焦距)， 且 ， 则 的离心率为
    A．
    B．
    C．
    D．

二、填空题： 本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分．

13. 设 是虚数单位， 若复数 满足 ， 则复数 的虚部为________．
14. 现从 4 名男志愿者和 3 名女志愿者中， 选派 2 人分别去甲、乙两地担任服务工作， 若 被选派的人中至少有一名男志愿者， 则不同的选派方法共有________种． (用数字作答)
15. 已知 为抛物线 上的两点， ， 若 ， 则直线 的方 程为________．
16. 已知函数 ， 下列关于函数 的说法正确的序号有________．

①     函数 在 上单调递增；
② 是函数 的周期；
③函数 的值域为 ；
④ 函数 在 内有 4 个零点．

三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 题为必考 题， 每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题， 考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。

17. （12 分）
    已知数列 为公差大于 0 的等差数列， ， 且 成等比数列．
    (1) 求数列 的通项公式；
    (2) 设 ， 数列 的前 项和为 ， 若 ， 求 的值．
18. (12 分)
    某通讯商场推出一款新手机， 分为甲、乙、丙、丁 4 种不同的配置型号． 该商场对近期售出的 100 部该款手机的情况进行了统计， 绘制如下表格：

（1） 每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润 600 元、 400 元、500
元、 450 元， 根据以上 100 名消费者的购机情况， 求该商场销售一部该款手机的平均利润；
(2) 该商场某天共销售了 4 部该款手机， 每销售一部该款手机的型号相互独立， 其 中甲配置型号手机售出的数量为 ， 将样本频率视为概率， 求 的概率分布列及期望．

19. (12 分)
    在 中， 角 的对边分别为 ， 其中 ， 且 ．
    （1）求角 的大小；
    (2) 求 周长的取值范围．
20. (12 分)
    已知函数 ．
    （1）当 时， 求函数 的极值；
    (2) 若曲线 在 上任意一点处切线的倾斜角均为钝角， 求实数 的取值
    范围．
21. (12 分)
    已知椭圆 的右焦点为 ， 点 分别为右顶点和上顶点，点 为坐标原点， 的面积为 ， 其中 为 的离心率．
    (1) 求椭圆 的方程；
    (2) 过点 异于坐标轴的直线与 交于 两点， 射线 分别与圆 ：
    交于 两点， 记直线 和直线 的斜率分别为 ， 问 是否为定值？若是， 求出该定值； 若不是， 请说明理由．

（二）选考题：共 10 分。请考生在第 题中任选一题做答。如果多做， 则按所做的 第一题记分。

22. [选修 4 4： 坐标系与参数方程] (10 分)
    在直角坐标系 中， 曲线 的参数方程为 ( 为参数)． 以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中， 直线 的方程是 ．
    （1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
    （2）若点 的坐标为 ， 直线 与曲线 交于 两点， 求 的值．
23. [选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
    已知函数 ．
    （1）当 时， 求函数 的定义域；
    （2）设函数 的定义域为 ， 当 时， ， 求实数 的取值范围．