河南省郑州市2022届高三上学期第一次质量预测（一模）（1月）数学（文）含答案

郑州市2022年高中毕业年级第一次质量预测

文科数学试题卷

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准者证号填写在答题卡上．
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3. 考试结東后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则的子集的个数为
   A．4
   B．6
   C．7
   D．8
2. 设复数满足，其中为虚数单位，在复平面内，复数对应的点位于
   A．第一象限
   B．第二象限
   C．第三象限
   D．第四象限
3. 设等比数列的前项和为，若，则公比等于
   A．5
   B．4
   C．3
   D．2
4. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，以为基底，则可表示

A．
B．
C．
D．

5. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是
   A．
   B．
   C．
   D．
6. 已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为
   A．
   B．
   C．
   D．
7. 已知函数，设这三个函数的增长速度为，，当时，则下列选项中正确的是
   A．
   B．
   C．
   D．
8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法锠误的是

A．函数
B．函数的图象关于中心对称

C．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到

D．函数在上单调递减

9. 已知函数的定义域为，且不恒为0，若为偶函数，为奇函数，则下列选项中一定成立的是
   A．
   B．
   C．
   D．
10. 许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体．正二十面体的每一个面均为等边三角形，共有12个顶点、30条棱．如图所示，由正二十面体的一个顶点和与相邻个顶点可构成正五棱锥，则与面所成角的余弦值约为（参考数据：)

A．
B．
C．

D．

11. 年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有三点，且在同一水平面上的投影，滿足，由点测得点的仰角为．，与的差为100；由点溡得点的仰角为，则两点到水平面的高度差为

A．
B．
C．
D．

12. 函数，给出下列四个结论：

①若恰有2个零点；
②存在负数，使得恰有个1零点；
③存在负数，使得佮有个3零点；
④存在正数，使得恰有个3零点．
其中正确命题的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4

13. 已知实数满足条件：则的最大值为________．
14. 甲、乙、丙三位同学打算利用假期外出游览，约定每人从峝山少林寺、黄河游览区这两处橸点中任选一处，那么甲、乙两位同学佮好选取同一处景点的概率是________．
15. 已知一张纸上画有半径为4的圆，在圆内有一个定点，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为，则曲线上的点到圆上的点的最大距离为________．
16. 已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放畳一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则的最大值为________．

三、解答題：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步㻖．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60分

17. (本小题满分12分)
    2021年5月习近平总书记到南阳的医圣祠考察，总书记说，过去中华民族几千年都是靠中医药治病救人，特别是经过抗击新冠肺炎疫情、非典等重大传染病之后，我们对中医药的作用有了更深的认识，我们要发展中医药，注重用现代科学解读中医药学原理，走中西医结合的道路．某农科所实地考察，研究发现某地适合种植甲、乙两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据：药材甲的亩产里约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：

药材乙的收购价格始终为21元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：

(I)若药材甲的单价(单位：元/公斤)与年份编号具有线性相关关系，请求出关
的线性回归方程，并估计2022年药材甲的单价；

(II)用上述频率分布直方图估计药材乙的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2022年该地区种植哪种药材收益更高? 并说明理由．
附：回驲方程中，．

18. (本小题满分12分)
    如图，为直角三角形，分别为中点，将沿折起，使点到达点，且．

(I)求证：面面；
(II)求点到平面的距离．

19. (本小题满分12分)
    已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①、成等比数列，②，③．请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．
    (I)求的通项公式；
    (II)若，且，求数列的前项和．
20. (本小题满分12分)
    已知函数．
    (I)若，求曲线在点处的切线方程，
    (II)若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．
21. (本小题满分12分)
    在平面直角坐标系中，为坐标原点，拋物线上不同两点，满足．
    (I)求抛物线的标准方程；
    (II)若直线与抛物线相切于点与椭圆相交于两点，与直线交于点，以为直径的圆与直线交于两点．求证：直线经过线段的中点．

(二)选考题

请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑．如果多做，按所做的第一题计分，

22. [选修：坐标系与参数方程] (10分)
    在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半牰为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    (I) 若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程
    (II)设点的直角坐标系下的坐标为，直线与曲线交于两点，且，求直线的倾斜角．
23.  [选修：不等式选讲] (10分)
    已知均为正数，且满足．
    (I)证明：
    （II)证明：．

郑州市2022届高三第一次质量检测

文科数学评分参考

一、选择题

1-5：DCDCB        6-10：ABDBD       11-12：BC

二、填空题

13. 14.  15.3； 16.2.

17.解　(1)＝＝3，=

所以＝.......................................3分

又因为＝＋，即23＝3.3×3＋，解得＝13.1，.......................................4分

所以＝3.3x＋13.1；当x＝6时，＝32.9........................................6分

(2)360×0.1＋380×0.2＋400×0.35＋420×0.25＋440×0.1＝401.

若种植甲种药材每亩地的收入约为32.9×300＝9870，

若种植乙种药材每亩地的收入约为401×21＝8 421<9870，

所以应该种植甲种药材．.......................................12分

18.解：(1)连接，为直角三角形，

、分别为、中点，........................................2分

......................4分

...............................6分

（2）

......................................8分

由（1）得

....................................10分

.......................................12分

19.解：①：因为、、成等比数列，则，即，

因为，可得.

②即.

③，可得，可得.

若选①②，则有，可得，则；

若选①③，则，则；

若选②③，则，可得，所以，...............4分

（2）解：，且

所以，当时，则有

，则，

所以，当时，则有

，

也满足，故对任意的，，.........................8分

则，

所以，..................12分

20.解：（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即；........4分

（2）因为，则，

由题意可得，解得，....................................8分

故，，列表如下：

所以，函数的增区间为，，单调递减区间为....................10分

当时，；当时，..........................11分

所以，，..................12分

21.解：（1）由题意得：.....4分

设，故直线AB的斜率为.............7分

设两式相减可得

设中点，则...................10分

.............11分

故直线..............................12分

22. 解：（1）当时，直线的参数方程为(为参数)，

的普通方程为.

又因为，所以，所以，

所以曲线的直角坐标方程为...........................5分

（2）将代入中，

得，

设对应的参数分别为,所以，

，所以，所以，

又因为，所以或，

所以直线倾斜角为或.....................................10分

23.证明：（1）当且仅当，，时等号成立，

即证：...................................5分

（2）由柯西不等式得：

故

当且仅当，，时等号成立即证：................10分.