专题23.7 《旋转》中的半角模型（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题23.7 《旋转》中的半角模型（知识讲解）

1）半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半

2）思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化

3）基本模型

（1）正方形含半角

         图1                     图2

【变式1】 （探索发现）如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图①，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接AM、AN、MN．

（1）试判断DM，BN，MN之间的数量关系，并写出证明过程．

（2）如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，，连接MN，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，，，点N，M分别在边BC，CD上，，请直接写出线段BN，DM，MN之间的数量关系．

【答案】（1），证明见解析；（2）,证明见解析；（3）．

【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：；

（2）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：；

（3）根据正方形的性质和旋转的性质可证≌，利用SAS可证，则可得：；

    证明：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD，=

将绕点A顺时针旋转，得到

∴≌

∴

∵

在和中

∵，

∴

（2）如图②，将绕点A顺时针旋转，得到

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD，=

∵绕点A顺时针旋转，得到

∴≌

∴

,

∵

在和中

∵，

即：；

（3）如图，

∵，，，

将绕点A顺时针旋转，得到

∴≌

∴

在和中

；

【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转法构造全等三角形是解题的关键是学会．

（2）等腰直角三角形含半角

             图3                             图4

例题：如图3，在中，，点在边上，．若，则的长为__________．

【分析】将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接GB，GF，可得△ACE≌△BCG，从而得FG2＝AE2＋BF2，再证明△ECF≌△GCF，从而得EF2＝AE2＋BF2，进而即可求解．

解：将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连接GB，GF，如图4

∵∠BCE＋∠ECA＝∠BCG＋∠BCE＝90°

∴∠ACE＝∠BCG．

∵在△ACE与△BCG中，

∵，

∴△ACE≌△BCG（SAS），

∴∠A＝∠CBG＝45°，AE＝BG，

∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°．

在Rt△FBG中，∠FBG＝90°，

∴FG2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2．

又∵∠ECF＝45°，

∴∠FCG＝∠ECG−∠ECF＝45°＝∠ECF．

∵在△ECF与△GCF中，

，

∴△ECF≌△GCF（SAS）．

∴EF＝GF，

∴EF2＝AE2＋BF2，

∵，

∴BF=，

故答案是：．

【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及旋转变换，二次根式的化简，通过旋转变换，构造全等三角形，是解题的关键．

如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上．

（1）如图①，当时，则的周长为______；

（2）如图②，求证：．

【答案】（1）4；（2）见解析

【分析】

（1）首先证明△BDM≌△CDN，进而得出△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=DM=MN，即可解决问题；

（2）延长至点，使得，连接，首先证明，再证明，得出，进而得出结果即可．

 解：（1）∵是等边三角形，，

，

∴是等边三角形，，则，

∵是顶角的等腰三角形，

，

，

在和中，

，

，，

∵，

∴是等边三角形，，

，，

∴的周长．

（2）如图，延长至点，使得，连接，

∵是等边三角形，是顶角的等腰三角形，

，，

，

，

在和中，

，

，，

，

∵，

，

在和中，

．

，

又∵，

．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．