专题24.1 圆的基本概念和性质（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题24.1  圆的基本概念和性质（知识讲解）【学习目标】1．知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；2．能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3．情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
特别说明：
　  ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
  　②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
特别说明：
　  ①定点为圆心，定长为半径；
　　②圆指的是圆周，而不是圆面；
　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质
　　①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
  　②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.特别说明：
　　①圆有无数条对称轴；
　  ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
要点二、与圆有关的概念1. 弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
　　直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
特别说明：
　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：连结OC、OD　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦.
2. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
特别说明：
　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.同心圆与等圆
　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
4.等弧
　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
特别说明：
　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
    ②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的基本概念1．已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．      【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证；（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．   解：（1）连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中， ，∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形；（2）延长AO交BC于点H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2， OA＝4，AB＝6，则 　① BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，则 　② ②－①得： 把代入①得：（舍） ∴BC＝2a＝3．【点拨】本题考查了三角形的全等，等腰三角形的性质，圆的基本性质，勾股定理，方程组的思想，掌握以上知识是解题的关键．举一反三：【变式1】 已知点P、Q，且PQ＝4cm，（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】根据圆的定义即可解决问题； 解：（1）到点P的距离等于2cm的点的集合图中⊙P；到点Q的距离等于3cm的点的集合图中⊙Q．（2）到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有2个，图中C、D．      【点拨】本题主要考查了勾股定理及圆的集合定义，就是到定点的距离等于定长的点的集合．【变式2】如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，=，点E为OD上任意一点(不与O、D重合).求证：AE=BE.【答案】通过证明△AOE≌△BOE 得出AE=BE 解：∵∴∠AOC=∠BOC ∴∠AOE=∠BOE∵OA、OB是⊙O的半径∴OA=OB    又∵OE=OE∴△AOE≌△BOE ∴AE=BE 考点：三角形全等点评：本题考查三角形全等，考生应掌握三角形全等的判定方法，会灵活应用其方法判断三角形全等【变式3】 如图，点E为⊙O的直径AB上一个动点，点C、D在下半圆AB上（不含A、B两点），且∠CED=∠OED=60°，连OC、OD（1）求证：∠C=∠D；（2）若⊙O的半径为r，请直接写出CE+ED的变化范围．【答案】（1）证明见解析；（2）r＜CE+ED＜2r【分析】（1）延长CE交⊙O于D′，连接OD′，由已知求得∠AEC=60°，进而求得∠DEO=∠D′EO=60°，根据圆是轴对称图形即可证得∠D=∠D′，ED=ED′，然后根据等腰三角形的性质求得∠D′=∠C，从而证得结论；
（2）证得∠COD′＞60°，从而证得CD′＞OC=OD′，由CD′＜OC+OD′，CE+ED=CE+ED′=CD′，从而得出r＜CE+ED＜2r．证明：（1）延长CE交⊙O于D′，连接OD′∵∠CED=∠OED=60°，∴∠AEC=60°，∴∠OED′=60°，∴∠DEO=∠D′EO=60°，由轴对称的性质可得∠D=∠D′，ED=ED′，∵OC=OD′，∴∠D′=∠C，∴∠C=∠D；（2）∵∠D′EO=60°，∴∠C＜60°，∴∠C=∠D′＜60°，∴∠COD′＞60°，∴CD′＞OC=OD′，∵CD′＜OC+OD′，∵CE+ED=CE+ED′=CD′，∴r＜CE+ED＜2r．【点拨】本题考查了轴对称的性质，轴对称﹣最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三角形三边之间的关系，圆是轴对称图形是本题的关键．类型二、直径是最长的弦2．如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值.     【答案】的最大值为.  【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求.解：连结，，∵    ∴∴为等边三角形，∵点，分别是，的中点∴，∵ 为的一条弦∴最大值为直径14    ∴的最大值为.【点拨】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.举一反三：【变式1】如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．【答案】【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．   解：点M，N分别是AB，BC的中点，，当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是利用中位线性质将MN的值最大问题转化为AC的最大值问题，难度不大．【变式2】 如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为(3，0)，⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则△AOB的面积的最大值为_____，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于_____°．     【答案】6    90    【分析】由于AB为⊙M的直径，则AB为定值4，要使△AOB的面积的最值，则O点到AB的距离最大，而O点到AB的距离最大为OM的长，根据三角形面积公式可得到△AOB的面积的最大值=×4×3=6，同时得到此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．  解：∵AB为⊙M的直径，∴AB＝4，当O点到AB的距离最大时，△AOB的面积的最大值，即AB⊥x轴于M点，而O点到AB的距离最大为OM的长，∴△AOB的面积的最大值＝×4×3＝6，∠AMO＝90°，即此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于90°．故答案为：6，90．【点拨】本题考查了圆的认识：过圆心的弦叫圆的直径．也考查了坐标与图形的性质．【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3,0），⊙M的半径为2，AB为⊙M的直径，其中点A在第一象限，当OA=AB时，点A的坐标为____________.【答案】【分析】根据题意，有OA=AB=4，AM=2，设点A为（x，y），分别利用点的坐标求出OA和AM，即可得到x、y的值，结合点A在第一象限，即可得到点A的坐标.   解：∵⊙M的半径为2，∴OA=AB=4，AM=2，设点A为（x，y），则有，，∴，，解得：，把代入，解得：，∵点A在第一象限，∴，∴点A为：.故答案为：.【点拨】本题考查了圆的性质，以及了两点之间的距离公式，坐标与图形，解题的关键是利用两点两点之间的距离公式求出x、y的值.类型三、点与圆上距离的最值3、若☉O的半径是12cm,OP=8cm,求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离.【答案】4cm，20cm.【解析】试题分析：依据题意画出图形，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定.试题解析：如图，    点P到圆上各点的距离中最短距离为:12-8=4(cm);最长距离为:12+8=20(cm).点拨：本题考查了点与圆的位置关系，正确进行讨论是关键.举一反三：【变式1】如图所示，在⊙O上有一点C(C不与A、B重合)，在直径AB上有一个动点P(P不与A、B重合)．试判断PA、PC、PB的大小关系，并说明理由．【答案】当点P在OA上时PA＜PC＜PB，OB上时PB＜PC＜PA，当点P在点O处时PA=PB=PC.试题分析：分类讨论：当点P在点O处，易得PA=PB=PC；当点P在OA上，同样方法可得PA＜PC＜PB；连接OC，如图，当点P在OB上，由三角形三边的关系得到OP+OC＞PC，则OA+OP＞PC，所以PA＞PC，再由OC=OB得到∠B=∠OCB，则∠B＞∠PCB，
所以PC＞PB，于是得到PB＜PB＜PA； 试题解析：当点P与点O重合时，PA＝PB＝PC， 当点P在OA上时，PA＜PC＜PB.理由：连接OC， 在△POC中，OC－OP＜PC＜OP＋OC， ∵OA＝OB＝OC， ∴OA－OP＜PC＜OP＋OB，∴PA＜PC＜PB， 同理，当P点在OB上时，PB＜PC＜PA. 【点拨】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念．也考查了三角形三边的关系和分类讨论的思想．【变式2】我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．【答案】【分析】连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可得结果.   解：根据题意可得：点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，连接OA，与圆O交于点B，可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，∵A（2，1），∴OA==，∵圆O的半径为1，∴AB=OA-OB=，∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为，故答案为：.【点拨】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题.【变式3】在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为10cm，最小距离为4cm，则此圆的半径为_________________．【答案】3cm或7cm解：设⊙O的半径为r，
当点P在圆外时，r==3cm；
当点P在⊙O内时，r=cm.
故答案为：3cm或7cm．类型四、圆的周长与面积4、如图所示，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3 cm，AB＝4 cm，AF＝12 cm，求图中半圆的面积．【答案】图中半圆的面积是cm2.【分析】先根据勾股定理求出AO,FO的长，再根据半圆面积计算公式计算半圆面积即可.   解：如图，∵在直角△ABO中，∠B＝90°，BO＝3 cm，AB＝4 cm，∴AO＝＝5 cm.则在直角△AFO中，由勾股定理，得到FO＝＝13 cm，∴图中半圆的面积＝π×2＝π×(cm2)．答：图中半圆的面积是cm2.【点拨】此题重点考察学生对勾股定理的实际应用能力，熟练掌握勾股定理是解题的关键.举一反三：【变式1】两个圆的圆心相同，它们的面积分别是25.12和50.24.求圆环的宽度d.(π取3.14，结果保留小数点后两位)【答案】圆环的宽度d约为1.17.【解析】试题分析：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，根据面积得出方程πR2=50.24，πr2=25.12，求出R=4，r=2，即可得出答案．试题解析：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，∵两个圆的圆心相同，它们的面积分别是50.34和25.12，∴πR2=50.24，πr2=25.12，解得：R=4，r=2，∴圆环的宽度d=4-2≈1.17．【变式2】（1）已知求xy的值。（2）如图，一块半径为a+b的圆形钢板，从中挖去半径分别为a与b的两个圆。①求剩下的钢板的面积。②若a=0.625cm, b=1.6cm,那么剩下的钢板面积为多少呢？（结果用表示）              【答案】（1）；（2）①；②.【分析】（1）根据完全平方公式将两式展开，然后作差即可求出xy；（2）①用大圆面积减去两个小圆面积即可；②将a=0.625cm, b=1.6cm代入①中代数式即可. 解：（1）∵∴①－②得：；（2）①∵一块半径为a+b的圆形钢板，从中挖去半径分别为a与b的两个圆∴剩下的钢板的面积为：②将a=0.625cm, b=1.6cm代入中得：cm2答：剩下的钢板面积为cm2.【点拨】此题考查的是完全平方公式变形、用代数式表示圆的面积和求代数式的值，掌握完全平方公式和圆的面积的求法是解决此题的关键.【变式3】已知圆环的面积为，其中大圆与小圆周长的和为，求圆环的宽度（大圆半径与小圆半径的差）.【答案】0.5 .【分析】设大圆半径为r1，小圆半径为r2，则由大圆与小圆周长的和为可得：2πr1+2πr2=4π；再由圆环面积为π可得：πr12-πr22=π，运用平方差公式即可求解r1-r2.   解：设大圆半径为r1，小圆半径为r2，则由题意可得：2πr1+2πr2=4π，即r1+r2=2；再由题意可得：πr12-πr22=π，即r12-r22=1，则r12-r22=(r1+r2)(r1-r2)=2×(r1-r2)=1，则r1-r2=0.5.故圆环的宽度为0.5 .【点拨】本题考查了平方差公式的实际运用，通过题干条件列出等式并化简后，发现平方差公式的形式是解题关键.