专题24.13 点和圆的位置关系（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

 专题24.13 点和圆的位置关系（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解点和圆的三种位置关系；
2. 理解并掌握点到圆心的距离d与圆的半径r的关系；
3. 运用点和圆的位置关系解决实际问题。
【要点梳理】
由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有　　　　　　　　　　　　
　
　

　　

【典型例题】
　　类型一、判定点和圆的位置关系
　　1．如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．
　　
　　【分析】根据圆的定义进行判断即可，圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，利用直角三角形斜边上的中线可得OB=OA=OC=OD，即可推出A、B、C、D四点在同一个圆上．
　　证明：连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，
　　∵∠B=∠D=90°，
　　∴OB=AC，OD=AC．即OB=OA=OC=OD，
　　∴ A、B、C、D四点在同一圆上．
　　【点拨】本题考查圆的定义，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，构造直角三角形.
　　举一反三：
　　【变式1】如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点，点O为坐标原点．
　　（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为　 　；．
　　（2）根据（1）中的条件填空：
　　①圆D的半径=　 　（结果保留根号）；
　　②点（7，0）在圆D　 　（填“上”、“内”或“外”）；
　　③∠ADC的度数为　 　．
　　
　　【答案】（1）（2，0）；（2）①；②外；③90°；
　　【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，根据勾股定理即可得到圆的半径；根据点到圆心的距离d=5即可判断点与圆的位置关系．
　　解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
　　可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
　　如图所示，
　　
　　则圆心D的坐标为（2，0）；
　　（2）①圆D的半径==2，
　　②∵点（7，0）到圆心的距离d=5，
　　∴d>r,故该点在圆D外；
　　③如图，由A(0,4), C(6,2)可知，∠ADC的度数为90°．
　　故答案为（2，0），2，外，90°．
　　【点拨】本题考查的是垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键．
　　【变式2】已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．
　　
　　【答案】点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上，证明见解析.
　　【分析】根据菱形的对角线互相垂直，以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出E、F、G、H到O点距离都等于定长即可.
　　解：如图，连接AC，BD相交于点O，连接OE，OF，OG，OH，
　　∵四边形ABCD是菱形，
　　∴AB＝AD＝CD＝BC，AC⊥BD，
　　∵点E是AB的中点，
　　∴OE＝AB，
　　同理：OF＝BC，OG＝CD，OH＝AD，
　　∴OE＝OF＝OG＝OH，
　　∴点E、F、G、H四点是以AC，BD的交点O为圆心的同一个圆上．
　　
　　【点拨】本题主要考查了四点共圆的条件，用到了菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键.
　　【变式3】已知：如图，⊙的半径为5，在⊙所在的平面内有A、B、C三点。
　　（1）点A与⊙的位置关系是______________.
　　（2）线段OB的长等于_________.
　　（3）线段OC与OB的大小关系是：OC______OB(填“＜”、“＞”或“＝”).
　　
　　【答案】（1）点A在⊙内；（2）点A在⊙内；（3）＞.
　　【分析】根据点与圆的位置关系，结合图形解答即可.
　　解：（1）由图可知点A在⊙内；
　　 （2）由图可知点线段OB的长等于5；
　　 （3）由图可知OC>OB.
　　【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d