专题24.15 直线和圆的位置关系（1）（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

 专题24.15 直线和圆的位置关系（1）（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解直线与圆的三种位置关系,
2. 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系；
【要点梳理】
1．直线和圆的三种位置关系：
　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
2．直线与圆的位置关系的判定和性质．
　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
　　　　　　　　
　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么
　　
特别说明：
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．

【典型例题】
类型一、判定直线和圆的位置关系
1．在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆，
（1）当r 时，圆O与坐标轴有1个交点；
（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；
（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；
（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；
【答案】（1）；（2）；（3）或5；（6）且
【分析】分别根据直线与圆相切、相交的关系进行逐一解答即可．
解：（1）圆心的坐标为，
当时，圆与坐标轴有1个交点；
（2）圆心的坐标为，
当时，圆与坐标轴有2个交点；
（3）圆心的坐标为，
当或5时，圆与坐标轴有3个交点；
（4）圆心的坐标为，
当且时，圆与坐标轴有4个交点．
故答案为：（1）；（2）；（3）或5；（6）且．
【点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系，解答此题时要考虑到圆过原点的情况，这是此题易遗漏的地方．
举一反三：
【变式1】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线．

（1）请尺规作图：作⊙O，使圆心O在AB上，且AD为⊙O的一条弦．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断直线BC与所作⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）直线BC与所作⊙O相切，理由见解析
【分析】（1）作AD的垂直平分线交AB于点O，以OA为半径画圆即可；
（2）连接OD，通过等边对等角和角平分线的定义可得出∠CAD＝∠ODA，从而有OD∥AC，∠ODB＝∠C＝90°所以BC为⊙O的切线
解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）直线BC与所作⊙O相切．
理由如下：连接OD，如图，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC为⊙O的切线．
【点拨】本题主要考查垂直平分线和圆的作法以及直线与圆的位置关系，掌握切线的判定方法是解题的关键.
【变式2】如图，，点在上，且，以为圆心，为半径作圆．

（1）讨论射线与公共点个数，并写出对应的取值范围；
（2）若是上一点，，当时，求线段与的公共点个数．
【答案】（1）见解析 （2）0个
【分析】(1) 作于点,由，可得点到射线的距离,根据直线与圆的位置关系的定义即可判断射线OA与圆M的公共点个数；
(2) 连接．可得,由可得,得到,故当时，可判断线段与的公共点个数．
解：（1）如图，作于点．
，
∴点到射线的距离．
∴当时，与射线只有一个公共点；
当时，与射线没有公共点；
当时，与射线有两个公共点；
当时，与射线只有一个公共点．
（2）如图，连接．

．

,
.
∴当时，线段与的公共点个数为0．

【点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离判断位置关系是解题的关键.
【变式3】如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系.

【答案】相切
【解析】利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可
试题解析：相切，理由如下：
过点C作CD⊥AO于点D，

∵∠O=30°，OC=6，
∴DC=3，
∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．
类型二、由直线和圆的位置关系求半径的取值范围
2．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
(2)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．

【答案】（1）AB＝AC（2）≤r