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专题23.2 图形的旋转（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题23.2 图形的旋转（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共67页。试卷主要包含了旋转中心，根据旋转的性质求解，根据旋转的性质证明线段，旋转图形中的旋转角，旋转图形中的坐标，旋转综合题等内容，欢迎下载使用。
专题23.2 图形的旋转（专项练习）
一、 单选题
类型一、旋转中心、旋转角、对应点
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为( )
A．42° B．48°
C．52° D．58°
2．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转90°，得到△M1N1P1，则其旋转中心可以是()
A．点E B．点F C．点G D．点H
3．下列图形中，旋转后可以和原图形重合的是 （ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
4．如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A． B． C． D．
5．第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；
第二次：作点关于轴的对称点；
第三次：将点绕点逆时针旋转得到；
第四次：作点关于轴的对称点…，
按照这样的规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
类型二、根据旋转的性质求解
6．在平面直角坐标系中，点P（a,b）绕点O顺时针旋转45°为一次变换，第2020次变换后得点P′，则点P′的坐标为（ ）
A．（ a, b） B．（-a,-b） C．（b,-a） D．（b,-a）
7．如图，以点为旋转中心，把顺时针旋转得．记旋转角为，连接，为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（ ）
A．90°﹣α B．α C．180°﹣α D．2α
10．如图，在中，,将绕点逆时针旋转,使点落在线段上的点处,点落在点处，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，将绕点C顺时针旋转，使点B落在边上点处，此时点A的对应点恰好落在的延长线上，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
类型三、根据旋转的性质证明线段、角相等
12．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠C′B′B的度数为（ ）
A．40° B．20° C．15° D．30°
13．如图所示，绕着点旋转能够与完全重合，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．若连接，则为等腰三角形
14．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60°
15．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的( )
A． B． C． D．
16．如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
17．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC，若点A、D、E在同一直线上，∠ACB=n°，则∠ADC的度数是（ ）
A． （m﹣n）° B．（90+n－m）° C．（90－n+m）° D．（180﹣2n﹣m）°
类型四、旋转图形中的旋转角
18．如图C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
19．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
20．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（ ）
A．（3，﹣6） B．（﹣3，6）
C．（﹣3，﹣6） D．（3，6）
22．在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（4，-3） B．（-4，3） C．（-3，4） D．（-3，-4）
23．如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是( )
A． B．
C．或 D．或
类型五、旋转图形中的坐标
24．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，边的中点是坐标原点，将正方形绕点按逆时针方向旋转90°后，点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
类型六、旋转综合题
25．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2， 0），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（，1） D．（，2）
27．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去……，若点，.则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
28．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
29．如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上若，，则CD的长为
A． B． C． D．1
30．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A通时针旋转40°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C．4π D．条件不足，无法计算
二、 填空题
类型一、旋转中心、旋转角、对应点
31．在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是____________．．
32．如图，点A、B、C、D分别在正方形网格的格点上，其中A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），小明发现，线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是_____．
33．如图，在△ABC中，∠ACB=120°，按顺时针方向旋转，使得点E在AC上，得到新的三角形记为△DCE．则①旋转中心为点__；②旋转角度为__．
34．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为______．
35．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是_____．
36．如图,在平面角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标_________ ．
类型二、根据旋转的性质求解
37．如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____．
38．如图，将的斜边AB绕点A顺时针旋转得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转得到AF，连结EF．若，，且，则_____．
39．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=_________．
40．如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C'恰好落在斜边AB上，连接BB'，则∠BB'C'＝_______．
41．如图，将一张直角三角板纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是_________．
42．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，则图中另一对全等的三角形是___．
类型三、根据旋转的性质证明线段、角相等
43．一副直角三角尺叠放，如图①所示，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两个三角尺有一组边互相平行．例如图②，当∠BAD=15°时，BC∥DE，当90°<∠BAD<180°时，∠BAD的度数为___．
44．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是_____．
45．如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____
46．如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点．若COD是由AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．
47．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝51°，则∠B′CB的度数是_____．
48．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边CD恰好与边AB平行．
类型四、旋转图形中的旋转角
49．如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为_____．
50．在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为__________．
51．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是__________．
52．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是___________．
53．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点的坐标为 ，点在轴正半轴上，且．将先绕点逆时针旋转，再向左平移3个单位，则变换后点的对应点的坐标为______．
54．如图,正方形的边长为1,点与原点重合,点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置,与相交于点,则的坐标为____________．
类型五、旋转中的规律
55．等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣6，0），点B在原点，CA=CB=5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②…依此规律，第15次翻转后点C的横坐标是_____．
56．如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到，则的直角顶点的坐标为__________．
57．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2019次得到正方形，如果点的坐标为（1，0），那么点的坐标为________．
类型六、旋转综合题
58．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段,连接.若,则四边形的面积为____.
59．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_______度．
60．如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，绕点A旋转后得到，则CE的长度为___．
三、 解答题
61．如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．
(1)指出它的旋转中心；
(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；
(3)分别写出点A，B，C的对应点．
62．综合性学习小组设计了如图1所示四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图2所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（ )
63．问题情景：如图1，在等腰直角三角形ABC中∠ACB＝90°，BC＝a．将AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE．
易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．
简单应用：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．
64．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：EB=DC；
（2）连接DE，若∠BED=50°，求∠ADC的度数．
65．如图，和都是等边三角形.
（1）沿着______所在的直线翻折能与重合；
（2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；
（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.
66．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．
67．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上.
（1） 画出△ABC关于直线MN的对称图形△；
（2） 画出△ABC关于点O的中心对称图形△;
（3） 画出△ABC绕点B逆时针旋转900后的图形△．
68．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，其中点A与点P，点B与点Q，点C与点R是对应的点，在这种变换下：
(1)直接写出下列各点的坐标
①A(____，_____)与P(_____，_____)；B(_____，_____)与Q(______，_____)；C(_____，______)与R(______，______)
②它们之间的关系是：______(用文字语言直接写出)
(2)在这个坐标系中，三角形ABC内有一点M，点M经过这种变换后得到点N，点N在三角形PQR内，其中M、N的坐标M(，6(a+b)﹣10)，N(1﹣，4(b﹣2a)﹣6)，求关于x的不等式﹣＞b﹣1的解集．
69．问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
（发现证明）小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论．
（类比引申）如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD．
（探究应用）如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）
70．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝4．求CD的长．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．故选A．
考点：旋转的性质．
2．C
【详解】
根据旋转的性质，知：旋转中心，一定在对应点所连线段的垂直平分线上．
则其旋转中心是NN1和PP1的垂直平分线的交点，即点G．
故选C．
3．D
【分析】
根据旋转对称图形性质求出各图的中心角，度数若为60°，即为正确答案.
【详解】
A：正三角形旋转的最小角为：，故选项错误；
B：正方形旋转的最小角为：，故选项错误；
C：正五边形旋转的最小角为：，故选项错误；
D：正六边形旋转的最小角为：，故选项正确.
所以答案为D选项.
【点睛】
本题主要考查了旋转对称图形，熟练掌握相关概念是解题关键.
4．C
【分析】
由题意可知，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，小正方形共翻转10次回到起始位置，即可得到它的方向．
【详解】
解：根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下．
故选：C．
【点睛】
本题考查了图形类规律题，关键是得出小正方形共翻转10次回到起始位置．
5．B
【分析】
先根据旋转变换和轴对称变换得出、、、、，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得．
【详解】
由题意可知，、、、、，
∴每4个点的坐标为一周期循环，
∵余1，
∴点的坐标与点的坐标一致，为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了作图-轴对称、旋转变换、找规律等知识，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律．
6．B
【分析】
由图形列出部分点的坐标，根据坐标发现规律“P2（b,-a）, P4（-a，-b）,P6（-b,a），P8（a,b）, P10（b,-a）…”，根据该规律即可求出点P2020的坐标．
【详解】
解：通过观察，可以发现规律：P2（b,-a）, P4（-a，-b）,P6（-b,a），P8（a,b）
, P10（b,-a）….故每8次是一个循环，20208=252……4,故与P4坐标一样,为（-a,-b）.
【点睛】
本题是对点的坐标变化规律的考查，找到变化规律是解题的关键．
7．A
【分析】
延长AB交DE于点F，由旋转性质可得相当于将AB以点C为旋转中心，旋转至DE的位置，所以∠DFA等于旋转角α，然后利用三角形外角的性质求解
【详解】
解：延长AB交DE于点F
由以点为旋转中心，把顺时针旋转得．记旋转角为，
∴∠DFA=α
又∵为，则的度数为
故选：A
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
8．D
【分析】
利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确
再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC
=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可．
【详解】
解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=,
∴选项A、C不一定正确
∴∠A =∠EBC
∴选项D正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴选项B不一定正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
9．C
【详解】
分析：根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．
详解：由题意可得，
∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，
∵∠EDB＋∠ADB＝180°，
∴∠ADB＋∠ACB＝180°，
∵∠ADB＋∠DBC＋∠BCA＋∠CAD＝360°，∠CBD＝α，
∴∠CAD＝180°−α，
故选C．
点睛：本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．A
【分析】
先利用勾股定理计算出AB，再在Rt△BDE中，求出BD即可；
【详解】
解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，
∴AE=AC=4，DE=BC=3，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
在Rt△DBE中，BD=，
故选A.
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
11．C
【分析】
首先由旋转的性质得出边角相等，然后进行等量变换即可判定A、B、D错误，C正确.
【详解】
由旋转的性质得，，AC=A′C，，∠BAC=∠B′A′B，A、B选项错误，
∴.AC+B′C=A′B，D选项错误，
∵，
∴.C选项正确，
故选：C.
【点睛】
此题属于中等难度题，主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内外角的关系.失分的原因有2个：（1）不能熟练运用旋转及等腰三角形的性质；（2）不能熟练运用三角形的内外角关系.
12．B
【分析】
先由旋转的性质得AB=A B′，∠BA B′=40°，∠A C′B′=90°，进而可求得∠AB B′=70°，由∠C′B′B=90°﹣∠AB B′即可求解．
【详解】
解：∵把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，
∴AB=A B′，∠BA B′=40°，∠A C′B′=90°，
∴在△AB B′中，∠AB B′==70°，
∴在Rt△B′C′B中，
∠C′B′B=90°﹣∠AB B′=90°﹣70°=20°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．
13．C
【解析】
【分析】
根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合，
∴△ABC≌△ADE，∴AE=AC，故选项A正确；
∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB=∠EAD，AB=AD，
∴∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB，
∴∠EAC=∠BAD，故选项B正确；
连接BD，
∵AB=AD，
∴△ABD为等腰三角形，故选项D正确，
∵BC不一定平行AD，故选项C错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．
14．B
【解析】
试题分析：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴B′C=4，∠B′A′C=60°，
∴BB′=6﹣4=2，
∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°
故选B．
考点：1、平移的性质；2、旋转的性质；3、等边三角形的判定
15．C
【解析】
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB，∠OCB=∠OBA=45°，∠BOC=90°.
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴∠A1OC1=90°.
∵∠BOC=∠A1OC1=90°，∠BOC1=∠BOC1，
∴∠A1OB=∠C1OC.
∵∠OCB=∠OBA，OC=OB，∠A1OB=∠C1OC，
∴△EOB≌△FOC，
∴S△EOB=S△FOC，
∴S四边形OEBF= S△EOB+S△OBF=S△FOC+S△OBF= S△OBC.
根据正方形的性质可得S△OBC=S正方形ABCD，
∴S四边形OMBN=S正方形ABCD，
即重叠部分的面积总是等于一个正方形面积的.
故选C.
16．C
【分析】
根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．
【详解】
解：作AM⊥BC于M，如图：
重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，
∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，
∴AM＝BM＝，
∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝，
∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键．
17．B
【解析】
【分析】
根据旋转的性质即可得到∠ACD和∠CAD的度数，再根据三角形内角和定理进行解答即可．
【详解】
解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=n°，∠ACE=m°，AC=CE，
∴∠ACD=m°-n°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠CAD=（180°-m°），
∵在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
∴∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=180°-（180°-m°）-（m°-n°）=90°+n°-m°=（90+n-m）°，
故选B．
【点睛】
此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
18．C
【分析】
分别证明△ACD≌△BCE、△ACF≌△BCG、△GEC≌△FDC，即可解决问题．
【详解】
∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60∘，AC=BC，CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD,∠ACE=180°-120°=60°；
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAF=∠CBG，∠CEG=∠CDF；
在△ACF与△BCG中，
∴△ACF≌△BCG(ASA)，
同理可证△GEC≌△FDC，
∴以点C为旋转中心，可通过旋转而相互得到的三角形有：△ACD与△BCE、△ACF与△BCG、△GEC与△FDC，共三对.
故选：C.
【点睛】
本题考查了旋转的性质, 等边三角形的性质，掌握三角形全等的判定是解题的关键.
19．B
【分析】
如图，作轴于．解直角三角形求出，即可．
【详解】
如图，作轴于．
由题意：，，
，
，，
，
，
故选B．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．B
【分析】
根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，即可得到点Q所在的象限．
【详解】
解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，
得点Q所在的象限为第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
21．A
【详解】
由图知A点的坐标为（6，3），
根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，
点A′的坐标是（3，﹣6）．故选A．
22．B
【解析】
【分析】
如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，由点A坐标则可得OC=3，AC=4，再根据把点A（3，4）逆时针旋转90°得到点B，可得△AOC≌△OBD，根据全等三角形对应边相等则可得OD=AC=4，BD=OC=3，由此即可得点B坐标.
【详解】
如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵A（3，4），
∴OC=3，AC=4，
∵把点A（3，4）逆时针旋转90°得到点B，
∴OA=OB，且∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
在△AOC和△OBD中
，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OD=AC=4，BD=OC=3，
∴B（-4，3），
故选B．
【点睛】
考查了图形的旋转，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.
23．C
【分析】
先根据正方形的性质求出BD、BC的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性质求解即可得．
【详解】
四边形OABC是正方形，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图，把逆时针旋转，此时旋转后点B的对应点落在y轴上，旋转后点D的对应点落在第一象限
由旋转的性质得：
点的坐标为
（2）如图，把顺时针旋转，此时旋转后点B的对应点与原点O重合，旋转后点D的对应点落在x轴负半轴上
由旋转的性质得：
点的坐标为
综上，旋转后点D的对应点的坐标为或
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
24．C
【分析】
根据旋转可得：CB'=CB=2，∠BCB'=90°，可得B'的坐标．
【详解】
如图所示，
由旋转得：CB'=CB=2，∠BCB'=90°，
∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点，
∴OB=1，
∴B'（2+1，2），即B'（3，2），
故选C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
25．D
【解析】
试题分析：根据题意，点A、A′关于点C对称，设点A的坐标是（x，y），则，解得，∴点A的坐标是．故选D．
考点：坐标与图形变化-旋转．
26．A
【分析】
作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，2），再利用旋转的性质得BC=BA=2，∠ABC=60°，则∠CBH=30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=BC=，BH=CH=3，所以OH=BH-OB=3-2=1，于是可写出C点坐标．
【详解】
作CH⊥x轴于H，如图，
∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，
∴A点横坐标为2，
当x=2时，y=x=2，
∴A（2，2），
∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，
∴BC=BA=2，∠ABC=60°，
∴∠CBH=30°，
在Rt△CBH中，CH=BC=，
BH=CH=3，
OH=BH-OB=3-2=1，
∴C（-1，）．
故选A．
27．C
【分析】
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…，即可得每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2019的坐标.
【详解】
解:
∵A(,B(0,2),
∴Rt△AOB中，AB=，
∴OA+AB1+B1C2==6
∴B2的横坐标为6，且B2C2=2,即B2(6,2),
∴B4的横坐标为;2=12,
∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6=6054，纵坐标为：2，即B2018的坐标是(6054,2),
∴点B2019的横坐标为6054+=6058，
∴点B2019的坐标为(6058,0).
故选C.
【点睛】
本题的考点是坐标与图形变化-旋转，规律型：点的坐标.方法是先根据图形的变化求出已知三角形三边长度，再根据规律求出点的坐标.
28．C
【分析】
此题涉及的知识点是旋转的性质，由旋转的性质，再根据∠BAC=30°，旋转60°，可得到∠BAC1=90°，结合勾股定理即可求解.
【详解】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴∠BAC1=∠BAC+∠CAC1=30°+60°=90°，
AC1=AC=6，
在RtBAC1中，∠BAC=90°，AB=8，AC1=6,
∴，
故本题选择C.
【点睛】
此题重点考查学生对于旋转的性质的理解，也考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
29．D
【分析】
解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC-BD计算即可得解．
【详解】
∵∠B=60°，
∴∠C=90°-60°=30°，
∵AC=，
∴AB=AC•tan30°=×=1，
∴BC=2AB=2，
由旋转的性质得，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC-BD=2-1=1．
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．
30．C
【解析】
【分析】
由旋转的性质可知S△ADE＝S△ABC，阴影部分的面积＝S△ADE+S扇形DAB﹣S△ABC，即S扇形DAB，再根据扇形的面积公式求出即可.
【详解】
解：由旋转的性质可知，S△ADE＝S△ABC，
则阴影部分的面积＝S△ADE+S扇形DAB﹣S△ABC
＝S扇形DAB
＝
＝4π，
故选：C．
【点睛】
本题考查旋转，旋转后图形面积相等的性质和扇形的面积计算S扇形=.
31．90°
【分析】
根据旋转角的概念找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数即可．
【详解】
根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，
故答案为90°．
【点睛】
本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角．
32．（1，1）或（4，4）．
【分析】
分点A的对应点为C或D两种情况考虑:①当点A的对应点为点C时, 连接AC、 BD, 分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E, 点E即为旋转中心;②当点A的对应点为点D时, 连接AD、 BC, 分别作线段AD、 BC的垂直平分线交于点M, 点M即为旋转中心. 此题得解.
【详解】
解：①当点A的对应点为点C时,连接AC、BD,分别作线段AC、BD 的垂直平分线交于点E,如图1所示,
A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),
E点的坐标为(1,1);
②当点A的对应点为点D时,连接AD,BC,分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M,
如图②所示,
A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),M点的坐标为(4,4).
综上所述: 这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4).
故答案为:(1,1)或(4,4).
【点睛】
本题主要考查坐标与图形的变化-旋转.
33．C 240°
【解析】
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB=120°，按顺时针方向旋转，使得点E在AC上，得到新的三角形记为△DCE，
∴旋转中心为点C，旋转角度为：360°-120°=240°．
故答案为①C；②240°．
34．
【分析】
根据图形的翻转，分别得出、、的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可．
【详解】
解：由题意可知、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是
依此类推下去，、的横坐标是2017，的横坐标是2018.5，的横坐标是2020，
的坐标是，
故答案为．
【点睛】
本题考查翻折变换，等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出、、的横坐标，得出规律是解答此题的关键．
35．22020
【分析】
根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【详解】
∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为 =，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，
…
则第2020个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
36．（22017，-22017）
【分析】
根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点B2017的坐标位置，进而得出答案．
【详解】
∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1，
∴AB=OA=1，
∴B（1，1），
将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，-2），B2（-4，-4），B3（-8，8），B4（16，16），
∵2017÷4=504…1，
∴点B2017与B1同在一个象限内，
∵-4=-22，8=23，16=24，
∴点B2017（22017，-22017）．
故答案为（22017，-22017）．
【点睛】
此题考查点的坐标变化规律，旋转的性质，得出B点坐标变化规律是解题关键．
37．17°
【详解】
解：∵∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB′C′，
∴∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°，
∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°.
故答案为17°.
38．
【分析】
由旋转的性质可得，，由勾股定理可求EF的长．
【详解】
解：由旋转的性质可得，，
，且，
故答案为
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
39．．
【解析】
【详解】
∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，
∴AB=AD=1,∠BAD=∠CAE=90°，
∴BD===.
故答案为:.
40．20°
【解析】
【分析】
根据旋转性质得AB= AB', ∠A BB'=∠B B'A,利用三角形内角和定理得,∠B B'A即可求解.
【详解】
解：由题可知,AB= AB',∠BA B'=40°,故∠A BB'=∠B B'A,
由三角形内角和定理得,∠B B'A=
在Rt△BC' B'中,
∠BB'C'=90°-70°=20°.
【点睛】
本题考查了图形的旋转和等腰三角形,属于简单题,熟悉旋转的性质和内角和定理是解题关键.
41．平行四边形．
【分析】
四边形ACE′E的形状是平行四边形；首先根据三角形中位线的性质可得DE∥AC，DE=AC，再根据旋转可得DE=DE′，然后可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．
【详解】
解：∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥AC，DE=AC
∵将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E'位置
∴DE=DE'
∴EE'=2DE=AC
∴四边形ACE'E是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
42．△AFE≌△ADE
【解析】
【分析】
首先根据等腰直角三角形的性质，可求得顶角与底角的度数；根据旋转的性质，可得对应角与对应边相等；根据全等三角形的判定定理即可．
【详解】
∵△AFB是△ADC绕点A顺时针旋转90°得到的，
∴AD=AF，∠FAD=90°，
又∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=90°-∠DAE=90°-45°=45°=∠DAE，
又AE=AE，
在△ADE与△AFE中，
，
∴△ADE≌△AFE（SAS）．
故答案为△AFE≌△ADE．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定定理，关键是根据等腰直角直角三角形的性质以及旋转的性质分析．
43．105°或135°
【分析】
根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】
解：如图（1），当AC∥DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
如图（2），当BC∥AD时，∠DAB=∠B=60°；
如图（3），当BC∥AE时，
∵∠EAB=∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
如图（4），当AB∥DE时，
∵∠E=∠EAB=90°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°．
∴当90°<∠BAD<180°时，
∠BAD=105°或135°．
故答案为：105°或135°．
【点睛】
本题考查的是旋转的性质，平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
44．
【详解】
解：连接D′C，
∵绕顶点A顺时针旋转45°，
∴∠D′CE=45°，
∵ED′⊥AC，
∴∠CD′E=90°，
∵AC==，
∴CD′=﹣1，
∴正方形重叠部分的面积是×1×1﹣×（﹣1）（﹣1）=﹣1
故答案为：．
【点睛】
本题考查正方形的性质；旋转的性质．
45．或
【分析】
分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，则问题可求解．
【详解】
解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图所示：
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴点E的坐标为；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，如图所示：
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴点N的坐标为，
综上所述：这个旋转中心的坐标为或；
故答案为或．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
46．90
【分析】
由△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案
【详解】
解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，
∴OB=OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD=90°，
∴旋转的角度为90°，
故答案为： 90．
【点睛】
本题考查了旋转的性质．解题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．
47．39°
【解析】
【分析】
由∠BCA＝∠BCA′，推出∠BCB′＝∠ACA′＝39°，求出∠ACA′即可解决问题．
【详解】
解：∵AC⊥A′B，
∴∠CDA′＝90°，
∵∠A＝∠A′＝51°，
∴∠ACA′＝39°，
∵∠BCA＝∠BCA′，
∴∠BCB′＝∠ACA′＝39°，
故答案为39°．
【点睛】
本题考查了旋转变换，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
48．10或28.
【详解】
试题解析：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，
∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°，
∵每秒旋转10°，
∴时间为100°÷10°=10秒；
②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，
∴旋转角为270°+10°=280°，
∵每秒旋转10°，
∴时间为280°÷10°=28秒；
综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行．
考点：平行线的判定．
49．y=﹣x或y=-4x
【详解】
分析：直接利用旋转的性质结合平移的性质得出对应点位置，再利用待定系数法求出正比例函数解析式．
详解：当点A绕坐标原点O逆时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，
则A′（-3，4），
设过点A′的正比例函数的解析式为：y=kx，
则4=-3k，
解得：k=-，
则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-x，
同理可得：点A绕坐标原点O顺时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，此时A′（1，-4），
设过点A′的正比例函数的解析式为：y=k′x，
则-4=k′，
则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-4x.
故答案为y=﹣x或y=-4x.
点睛：此题主要考查了旋转的性质、平移的性质、待定系数法求出正比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键．
50．（-4，3）
【分析】
建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点B的坐标即可．
【详解】
如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（-4，3）．
故答案为（-4，3）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
51．（﹣4，3）．
【解析】
试题分析：
解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，
∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，
∴OA=OA′，∠AOA′=90°，
∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠A′OB′，
在△AOB和△OA′B′中，
，
∴△AOB≌△OA′B′（AAS），
∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3，
∴点A′的坐标为（﹣4，3）．
故答案为（﹣4，3）．
考点：坐标与图形变化-旋转
52．（2，10）或（﹣2，0）
【解析】
∵点D（5，3）在边AB上，∴BC=5，BD=5﹣3=2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，所以，D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
53．
【分析】
先求出点A的坐标，然后根据旋转的性质求出旋转后点A的对应点的坐标，继而根据平移的性质即可求得答案.
【详解】
∵点的坐标为，，
∴点的坐标为，
如图所示，将先绕点逆时针旋转90°，
则点的坐标为，
再向左平移3个单位长度，则变换后点的对应点坐标为，
故答案为．
【点睛】本题考查了平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质以及旋转的性质是解题的关键.
54．
【解析】
分析：连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．
详解：如图，连接AM，
∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，
∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，
∴∠B′AD=60°，
在Rt△ADM和Rt△AB′M中，
∵，
∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），
∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，
∴DM=ADtan∠DAM=1×=，
∴点M的坐标为（-1，），
故答案为（-1，）．
点睛：本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用．
55．77
【解析】
【详解】
由题意可得，每翻转三次与初始位置的形状相同，15÷3=5，故第15次翻转后点C的横坐标是：（5+5+6）×5﹣3=77.
考点：1.坐标与图形变化-旋转；2.等腰三角形的性质．
56．
【分析】
根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2019除以3，根据商为673可知第2019个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．
【详解】
解：∵点A（-3，0）、B（0，4），
∴AB==5，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，
∵2019÷3=673，
∴△2019的直角顶点是第673个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
∵673×12=8076，
∴△2019的直角顶点的坐标为（8076，0）．
故答案为（8076，0）.
【点睛】
本题主要考查了点的坐标变化规律，仔细观察图形得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
57．
【分析】
根据图形可知：点B在以O为圆心,以OB为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45∘，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论.
【详解】
∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B(1,1),连接OB，
由勾股定理得：OB=，
由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45∘,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45∘，
∴B1(0,),B2(−1,1),B3(−,0)，…，
发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3，
∴点B2019的坐标为(−,0)
【点睛】
本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转角，也考查了坐标与图形的变化、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法.
58．24+9．
【详解】
解：如图，连结PQ，
根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，
再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠PAQ=60°，
即可判定△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6；
在△APC和△ABQ中，AB=AC，∠CAP=∠BAQ，AP=PQ，
利用SAS判定△APC≌△ABQ，
根据全等三角形的性质可得PC=QB=10；
在△BPQ中，已知PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，即PB2+PQ2=BQ2，
所以△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，
所以S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9．
故答案为：24+9．
【点睛】
本题考查旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．
59．15
【分析】
根据旋转的性质知∠DFC=60°，再根据EF=CF，EC⊥CF知∠EFC=45°，故∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°.
【详解】
∵△DCF是△BCE旋转以后得到的图形，
∴∠BEC=∠DFC=60°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE．
又∵∠ECF=90°，
∴∠EFC=∠FEC=（180°﹣∠ECF）=（180°﹣90°）=45°，
故∠EFD=∠DFC﹣∠EFC=60°﹣45°=15°．
【点睛】
此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知等腰直角三角形与正方形的性质.
60．2
【解析】
等边三角形的性质，旋转的性质．
由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形三边相等的性质，即可求得 BD=BC= AB =2．由旋转的性质，即可求得CE=BD=2．
61．(1)A;(2) 旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；(3) A，E，F.
【解析】
试题分析：(1)因为△ABC经过旋转后到达△AEF的位置,则A点的对应点为A,于是可判断旋转中心为点A; (2)根据旋转的性质求解; (3)根据旋转的性质求解.
解：（1）它的旋转中心为点A；
（2）它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；
（3）点A，B，C的对应点分别为点A，E，F.
62．B
【解析】
【分析】
根据车轮中心在运动过程中中心位置的变化情况判断即可.
【详解】
解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每循环一次，五边形中心的变化每循环一次，六边形中心的变化每循环一次，用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为，故该轨迹对应的车轮为正方形的.
故答案为B
【点睛】
本题考查了图形中心的运动轨迹问题，正确理解图形中心的变化规律是解题的关键.
63．△BCD的面积为．
【分析】
根据问题情景的解题思路，如下图2，根据旋转的对应关系，可得△ABC≌△BDE（AAS），进而求出线段DE的长，根据三角形的面积公式计算即可.
【详解】
解：△BCD的面积为 ．
理由如下：
过点D作△BCD的BC边上的高DE．如图2，
∵边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴BA＝BD，∠ABD＝90°，
∵∠ABC+∠DBE＝90°，∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴DE＝BC＝a，
∴△BCD的面积＝BC•DE＝．
【点睛】
本题主要考查了学生对新提出的问题情境的理解能力，学会和已有的知识（三角形全等）相结合是解答本题的关键.
64．（1）证明见解析；（2）110°
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质可得∠DAE＝60°，AE＝AD，利用SAS即可证出≌，从而证出结论；
（2）根据等边三角形的判定定理可得为等边三角形，从而得出∠AED=60°，由（1）中全等可得∠AEB＝∠ADC，求出∠AEB即可求出结论．
【详解】
解：（1）∵是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在和中，
∵，
∴≌．
∴EB＝DC．
（2）如图，
由（1）得∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴为等边三角形．
∴∠AED＝60°，
由（1）得≌，
∴∠AEB＝∠ADC．
∵∠BED＝50°，
∴∠AEB=∠AED+∠BED=110°，
∴∠ADC=110°．
【点睛】
此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解决此题的关键．
65．（1）；（2）.点、点或者线段的中点；（3）
【分析】
(1) 因为和有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180.
【详解】
(1)∵和都是等边三角形，
∴和是全等三角形，
∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合.
故填AC;
(2)将△ABC旋转后与重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60或以点C为旋转中心顺时针旋转60，或以AC的中点为旋转中心旋转180即可；
（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180.
【点睛】
此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可.
66．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）是，y=x．
【解析】
试题分析：（1）根据平移变换点的坐标的变化规律在网格中确定出点A1、B1、C1位置顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质在网格中确定出点D1、E1、F1位置顺次连接即可；
（3）根据轴对称图形的概念确定对称轴，然后再求对称轴所在直线的解析式．
试题解析：（1）见下图；（2）见下图；△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线y=x和直线y=-x-2．
考点：平移变换；旋转变换；轴对称图形．
67．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【分析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于点O中心对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据网格结构找出点A、C绕点B逆时针旋转90°后的对应点A3、C3的位置，再与点C顺次连接即可．
【详解】
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；
（3）如图所示：△A3BC3即为所求．
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换作图，利用中心对称作图，利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.
68．(1)①4，3，﹣4，﹣3，3，1，﹣3，﹣1，1，2，﹣1，﹣2；②两个三角形各顶点横、纵坐标互为相反数；(2)x＜﹣1．
【分析】
（1）根据点的位置写出坐标，再根据坐标的特征写出规律即可；
（2）利用（1）中规律，构建方程组，求出a、b的值，解不等式即可；
【详解】
解：(1)由图可得，①A(4，3)与P(﹣4，﹣3)； B(3，1)与Q(﹣3，﹣1)； C(1，2)与R(﹣1，﹣2)．
②由①可得：两个三角形各顶点横、纵坐标互为相反数．
故答案为4，3，﹣4，﹣3，3，1，﹣3，﹣1，1，2，﹣1，﹣2；
(2)∵M、N关于原点对称，
∴M、N两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
∴+1﹣＝0，6(a+b)﹣10+4(b﹣2a)﹣6＝0，
解得a＝2，b＝2，
∴﹣＞2﹣1
∴6x+4﹣7x+3＞8
∴x＜﹣1．
【点睛】
本题考查几何变换﹣中心对称，不等式，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
69．【发现证明】证明见解析；【类比引申】∠BAD=2∠EAF；【探究应用】109．2米．
【解析】
【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．
【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；
【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可得出EF=BE+FD．
解：如图（1），
∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．
【类比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
AB=AD，∠ABM=∠D，BM=DF，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
AE=AE，∠FAE=∠MAE，AF=AM，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°．
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上．
易得，△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAG=∠BAD=150°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴EF=BE+DF=80+40（﹣1）≈109.2（米），即这条道路EF的长约为109.2米．
“点睛”此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．
70．（1）见解析；（2）．
【分析】
(1)根据AC=BC、∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD、CE=CD证△ACE≌△BCD即可；
(2)连接DE，可得△DCE是等边三角形，即∠CDE=60°、DC=DE，继而在Rt△ADE中，由勾股定理可得DE的长，即可求得CD．
【详解】
(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
由旋转的性质可得：
CE=CD，∠DCE=60°，
∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
∵，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD；
(2)连接DE．
∵CD=CE，∠DCE=60°，
∴△DCE是等边三角形．
∴∠CDE=60°，DC=DE．
∵∠ADC=30°，∴∠ADC+∠CDE=90°．
∵AD=3，BD=4，
∴AE=BD=4．
在Rt△ADE中，由勾股定理，
可得．
∴DC=DE=．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，连接DE发现等边三角形与直角三角形是解题的关键．
专题23.2 图形的旋转（专项练习）
一、 单选题
类型一、旋转中心、旋转角、对应点
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为( )
A．42° B．48°
C．52° D．58°
2．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转90°，得到△M1N1P1，则其旋转中心可以是()
A．点E B．点F C．点G D．点H
3．下列图形中，旋转后可以和原图形重合的是 （ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
4．如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A． B． C． D．
5．第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；
第二次：作点关于轴的对称点；
第三次：将点绕点逆时针旋转得到；
第四次：作点关于轴的对称点…，
按照这样的规律，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
类型二、根据旋转的性质求解
6．在平面直角坐标系中，点P（a,b）绕点O顺时针旋转45°为一次变换，第2020次变换后得点P′，则点P′的坐标为（ ）
A．（ a, b） B．（-a,-b） C．（b,-a） D．（b,-a）
7．如图，以点为旋转中心，把顺时针旋转得．记旋转角为，连接，为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（ ）
A．90°﹣α B．α C．180°﹣α D．2α
10．如图，在中，,将绕点逆时针旋转,使点落在线段上的点处,点落在点处，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，将绕点C顺时针旋转，使点B落在边上点处，此时点A的对应点恰好落在的延长线上，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
类型三、根据旋转的性质证明线段、角相等
12．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠C′B′B的度数为（ ）
A．40° B．20° C．15° D．30°
13．如图所示，绕着点旋转能够与完全重合，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．若连接，则为等腰三角形
14．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4，30° B．2，60° C．1，30° D．3，60°
15．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的( )
A． B． C． D．
16．如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
17．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC，若点A、D、E在同一直线上，∠ACB=n°，则∠ADC的度数是（ ）
A． （m﹣n）° B．（90+n－m）° C．（90－n+m）° D．（180﹣2n﹣m）°
类型四、旋转图形中的旋转角
18．如图C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
19．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
20．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（ ）
A．（3，﹣6） B．（﹣3，6）
C．（﹣3，﹣6） D．（3，6）
22．在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（4，-3） B．（-4，3） C．（-3，4） D．（-3，-4）
23．如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是( )
A． B．
C．或 D．或
类型五、旋转图形中的坐标
24．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，边的中点是坐标原点，将正方形绕点按逆时针方向旋转90°后，点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
类型六、旋转综合题
25．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2， 0），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（，1） D．（，2）
27．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去……，若点，.则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
28．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
29．如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上若，，则CD的长为
A． B． C． D．1
30．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A通时针旋转40°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C．4π D．条件不足，无法计算
二、 填空题
类型一、旋转中心、旋转角、对应点
31．在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是____________．．
32．如图，点A、B、C、D分别在正方形网格的格点上，其中A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），小明发现，线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是_____．
33．如图，在△ABC中，∠ACB=120°，按顺时针方向旋转，使得点E在AC上，得到新的三角形记为△DCE．则①旋转中心为点__；②旋转角度为__．
34．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为______．
35．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是_____．
36．如图,在平面角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上，且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2017OB2017，则点B2017的坐标_________ ．
类型二、根据旋转的性质求解
37．如图，在△ABC中，∠BAC＝33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为____．
38．如图，将的斜边AB绕点A顺时针旋转得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转得到AF，连结EF．若，，且，则_____．
39．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=_________．
40．如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C'恰好落在斜边AB上，连接BB'，则∠BB'C'＝_______．
41．如图，将一张直角三角板纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′位置，则四边形ACE′E的形状是_________．
42．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，则图中另一对全等的三角形是___．
类型三、根据旋转的性质证明线段、角相等
43．一副直角三角尺叠放，如图①所示，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两个三角尺有一组边互相平行．例如图②，当∠BAD=15°时，BC∥DE，当90°<∠BAD<180°时，∠BAD的度数为___．
44．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是_____．
45．如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____
46．如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点．若COD是由AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．
47．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝51°，则∠B′CB的度数是_____．
48．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边CD恰好与边AB平行．
类型四、旋转图形中的旋转角
49．如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为_____．
50．在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为__________．
51．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是__________．
52．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是___________．
53．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点的坐标为 ，点在轴正半轴上，且．将先绕点逆时针旋转，再向左平移3个单位，则变换后点的对应点的坐标为______．
54．如图,正方形的边长为1,点与原点重合,点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置,与相交于点,则的坐标为____________．
类型五、旋转中的规律
55．等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣6，0），点B在原点，CA=CB=5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②…依此规律，第15次翻转后点C的横坐标是_____．
56．如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到，则的直角顶点的坐标为__________．
57．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2019次得到正方形，如果点的坐标为（1，0），那么点的坐标为________．
类型六、旋转综合题
58．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段,连接.若,则四边形的面积为____.
59．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_______度．
60．如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，绕点A旋转后得到，则CE的长度为___．
三、 解答题
61．如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．
(1)指出它的旋转中心；
(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；
(3)分别写出点A，B，C的对应点．
62．综合性学习小组设计了如图1所示四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图2所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（ )
63．问题情景：如图1，在等腰直角三角形ABC中∠ACB＝90°，BC＝a．将AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE．
易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．
简单应用：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．
64．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：EB=DC；
（2）连接DE，若∠BED=50°，求∠ADC的度数．
65．如图，和都是等边三角形.
（1）沿着______所在的直线翻折能与重合；
（2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______；
（3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______.
66．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．
67．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上.
（1） 画出△ABC关于直线MN的对称图形△；
（2） 画出△ABC关于点O的中心对称图形△;
（3） 画出△ABC绕点B逆时针旋转900后的图形△．
68．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，其中点A与点P，点B与点Q，点C与点R是对应的点，在这种变换下：
(1)直接写出下列各点的坐标
①A(____，_____)与P(_____，_____)；B(_____，_____)与Q(______，_____)；C(_____，______)与R(______，______)
②它们之间的关系是：______(用文字语言直接写出)
(2)在这个坐标系中，三角形ABC内有一点M，点M经过这种变换后得到点N，点N在三角形PQR内，其中M、N的坐标M(，6(a+b)﹣10)，N(1﹣，4(b﹣2a)﹣6)，求关于x的不等式﹣＞b﹣1的解集．
69．问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
（发现证明）小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,从而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论．
（类比引申）如图(2)，四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足 关系时，仍有EF=BE+FD．
（探究应用）如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）
70．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．
（1）求证：AE＝BD；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝4．求CD的长．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．故选A．
考点：旋转的性质．
2．C
【详解】
根据旋转的性质，知：旋转中心，一定在对应点所连线段的垂直平分线上．
则其旋转中心是NN1和PP1的垂直平分线的交点，即点G．
故选C．
3．D
【分析】
根据旋转对称图形性质求出各图的中心角，度数若为60°，即为正确答案.
【详解】
A：正三角形旋转的最小角为：，故选项错误；
B：正方形旋转的最小角为：，故选项错误；
C：正五边形旋转的最小角为：，故选项错误；
D：正六边形旋转的最小角为：，故选项正确.
所以答案为D选项.
【点睛】
本题主要考查了旋转对称图形，熟练掌握相关概念是解题关键.
4．C
【分析】
由题意可知，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，小正方形共翻转10次回到起始位置，即可得到它的方向．
【详解】
解：根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下．
故选：C．
【点睛】
本题考查了图形类规律题，关键是得出小正方形共翻转10次回到起始位置．
5．B
【分析】
先根据旋转变换和轴对称变换得出、、、、，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得．
【详解】
由题意可知，、、、、，
∴每4个点的坐标为一周期循环，
∵余1，
∴点的坐标与点的坐标一致，为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了作图-轴对称、旋转变换、找规律等知识，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律．
6．B
【分析】
由图形列出部分点的坐标，根据坐标发现规律“P2（b,-a）, P4（-a，-b）,P6（-b,a），P8（a,b）, P10（b,-a）…”，根据该规律即可求出点P2020的坐标．
【详解】
解：通过观察，可以发现规律：P2（b,-a）, P4（-a，-b）,P6（-b,a），P8（a,b）
, P10（b,-a）….故每8次是一个循环，20208=252……4,故与P4坐标一样,为（-a,-b）.
【点睛】
本题是对点的坐标变化规律的考查，找到变化规律是解题的关键．
7．A
【分析】
延长AB交DE于点F，由旋转性质可得相当于将AB以点C为旋转中心，旋转至DE的位置，所以∠DFA等于旋转角α，然后利用三角形外角的性质求解
【详解】
解：延长AB交DE于点F
由以点为旋转中心，把顺时针旋转得．记旋转角为，
∴∠DFA=α
又∵为，则的度数为
故选：A
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
8．D
【分析】
利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确
再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC
=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可．
【详解】
解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=,
∴选项A、C不一定正确
∴∠A =∠EBC
∴选项D正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴选项B不一定正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
9．C
【详解】
分析：根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．
详解：由题意可得，
∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，
∵∠EDB＋∠ADB＝180°，
∴∠ADB＋∠ACB＝180°，
∵∠ADB＋∠DBC＋∠BCA＋∠CAD＝360°，∠CBD＝α，
∴∠CAD＝180°−α，
故选C．
点睛：本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．A
【分析】
先利用勾股定理计算出AB，再在Rt△BDE中，求出BD即可；
【详解】
解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，
∴AE=AC=4，DE=BC=3，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
在Rt△DBE中，BD=，
故选A.
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
11．C
【分析】
首先由旋转的性质得出边角相等，然后进行等量变换即可判定A、B、D错误，C正确.
【详解】
由旋转的性质得，，AC=A′C，，∠BAC=∠B′A′B，A、B选项错误，
∴.AC+B′C=A′B，D选项错误，
∵，
∴.C选项正确，
故选：C.
【点睛】
此题属于中等难度题，主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内外角的关系.失分的原因有2个：（1）不能熟练运用旋转及等腰三角形的性质；（2）不能熟练运用三角形的内外角关系.
12．B
【分析】
先由旋转的性质得AB=A B′，∠BA B′=40°，∠A C′B′=90°，进而可求得∠AB B′=70°，由∠C′B′B=90°﹣∠AB B′即可求解．
【详解】
解：∵把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，
∴AB=A B′，∠BA B′=40°，∠A C′B′=90°，
∴在△AB B′中，∠AB B′==70°，
∴在Rt△B′C′B中，
∠C′B′B=90°﹣∠AB B′=90°﹣70°=20°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．
13．C
【解析】
【分析】
根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵△ABC绕着点A旋转能够与△ADE完全重合，
∴△ABC≌△ADE，∴AE=AC，故选项A正确；
∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB=∠EAD，AB=AD，
∴∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB，
∴∠EAC=∠BAD，故选项B正确；
连接BD，
∵AB=AD，
∴△ABD为等腰三角形，故选项D正确，
∵BC不一定平行AD，故选项C错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．
14．B
【解析】
试题分析：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴B′C=4，∠B′A′C=60°，
∴BB′=6﹣4=2，
∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°
故选B．
考点：1、平移的性质；2、旋转的性质；3、等边三角形的判定
15．C
【解析】
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB，∠OCB=∠OBA=45°，∠BOC=90°.
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴∠A1OC1=90°.
∵∠BOC=∠A1OC1=90°，∠BOC1=∠BOC1，
∴∠A1OB=∠C1OC.
∵∠OCB=∠OBA，OC=OB，∠A1OB=∠C1OC，
∴△EOB≌△FOC，
∴S△EOB=S△FOC，
∴S四边形OEBF= S△EOB+S△OBF=S△FOC+S△OBF= S△OBC.
根据正方形的性质可得S△OBC=S正方形ABCD，
∴S四边形OMBN=S正方形ABCD，
即重叠部分的面积总是等于一个正方形面积的.
故选C.
16．C
【分析】
根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．
【详解】
解：作AM⊥BC于M，如图：
重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．
∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，
∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，
∴AM＝BM＝，
∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝，
∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键．
17．B
【解析】
【分析】
根据旋转的性质即可得到∠ACD和∠CAD的度数，再根据三角形内角和定理进行解答即可．
【详解】
解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=n°，∠ACE=m°，AC=CE，
∴∠ACD=m°-n°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠CAD=（180°-m°），
∵在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
∴∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=180°-（180°-m°）-（m°-n°）=90°+n°-m°=（90+n-m）°，
故选B．
【点睛】
此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．
18．C
【分析】
分别证明△ACD≌△BCE、△ACF≌△BCG、△GEC≌△FDC，即可解决问题．
【详解】
∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60∘，AC=BC，CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD,∠ACE=180°-120°=60°；
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAF=∠CBG，∠CEG=∠CDF；
在△ACF与△BCG中，
∴△ACF≌△BCG(ASA)，
同理可证△GEC≌△FDC，
∴以点C为旋转中心，可通过旋转而相互得到的三角形有：△ACD与△BCE、△ACF与△BCG、△GEC与△FDC，共三对.
故选：C.
【点睛】
本题考查了旋转的性质, 等边三角形的性质，掌握三角形全等的判定是解题的关键.
19．B
【分析】
如图，作轴于．解直角三角形求出，即可．
【详解】
如图，作轴于．
由题意：，，
，
，，
，
，
故选B．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．B
【分析】
根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，即可得到点Q所在的象限．
【详解】
解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，
得点Q所在的象限为第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
21．A
【详解】
由图知A点的坐标为（6，3），
根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，
点A′的坐标是（3，﹣6）．故选A．
22．B
【解析】
【分析】
如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，由点A坐标则可得OC=3，AC=4，再根据把点A（3，4）逆时针旋转90°得到点B，可得△AOC≌△OBD，根据全等三角形对应边相等则可得OD=AC=4，BD=OC=3，由此即可得点B坐标.
【详解】
如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，
∵A（3，4），
∴OC=3，AC=4，
∵把点A（3，4）逆时针旋转90°得到点B，
∴OA=OB，且∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
在△AOC和△OBD中
，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OD=AC=4，BD=OC=3，
∴B（-4，3），
故选B．
【点睛】
考查了图形的旋转，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.
23．C
【分析】
先根据正方形的性质求出BD、BC的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性质求解即可得．
【详解】
四边形OABC是正方形，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图，把逆时针旋转，此时旋转后点B的对应点落在y轴上，旋转后点D的对应点落在第一象限
由旋转的性质得：
点的坐标为
（2）如图，把顺时针旋转，此时旋转后点B的对应点与原点O重合，旋转后点D的对应点落在x轴负半轴上
由旋转的性质得：
点的坐标为
综上，旋转后点D的对应点的坐标为或
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
24．C
【分析】
根据旋转可得：CB'=CB=2，∠BCB'=90°，可得B'的坐标．
【详解】
如图所示，
由旋转得：CB'=CB=2，∠BCB'=90°，
∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点，
∴OB=1，
∴B'（2+1，2），即B'（3，2），
故选C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
25．D
【解析】
试题分析：根据题意，点A、A′关于点C对称，设点A的坐标是（x，y），则，解得，∴点A的坐标是．故选D．
考点：坐标与图形变化-旋转．
26．A
【分析】
作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，2），再利用旋转的性质得BC=BA=2，∠ABC=60°，则∠CBH=30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=BC=，BH=CH=3，所以OH=BH-OB=3-2=1，于是可写出C点坐标．
【详解】
作CH⊥x轴于H，如图，
∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，
∴A点横坐标为2，
当x=2时，y=x=2，
∴A（2，2），
∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，
∴BC=BA=2，∠ABC=60°，
∴∠CBH=30°，
在Rt△CBH中，CH=BC=，
BH=CH=3，
OH=BH-OB=3-2=1，
∴C（-1，）．
故选A．
27．C
【分析】
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…，即可得每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2019的坐标.
【详解】
解:
∵A(,B(0,2),
∴Rt△AOB中，AB=，
∴OA+AB1+B1C2==6
∴B2的横坐标为6，且B2C2=2,即B2(6,2),
∴B4的横坐标为;2=12,
∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6=6054，纵坐标为：2，即B2018的坐标是(6054,2),
∴点B2019的横坐标为6054+=6058，
∴点B2019的坐标为(6058,0).
故选C.
【点睛】
本题的考点是坐标与图形变化-旋转，规律型：点的坐标.方法是先根据图形的变化求出已知三角形三边长度，再根据规律求出点的坐标.
28．C
【分析】
此题涉及的知识点是旋转的性质，由旋转的性质，再根据∠BAC=30°，旋转60°，可得到∠BAC1=90°，结合勾股定理即可求解.
【详解】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴∠BAC1=∠BAC+∠CAC1=30°+60°=90°，
AC1=AC=6，
在RtBAC1中，∠BAC=90°，AB=8，AC1=6,
∴，
故本题选择C.
【点睛】
此题重点考查学生对于旋转的性质的理解，也考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
29．D
【分析】
解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC-BD计算即可得解．
【详解】
∵∠B=60°，
∴∠C=90°-60°=30°，
∵AC=，
∴AB=AC•tan30°=×=1，
∴BC=2AB=2，
由旋转的性质得，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC-BD=2-1=1．
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．
30．C
【解析】
【分析】
由旋转的性质可知S△ADE＝S△ABC，阴影部分的面积＝S△ADE+S扇形DAB﹣S△ABC，即S扇形DAB，再根据扇形的面积公式求出即可.
【详解】
解：由旋转的性质可知，S△ADE＝S△ABC，
则阴影部分的面积＝S△ADE+S扇形DAB﹣S△ABC
＝S扇形DAB
＝
＝4π，
故选：C．
【点睛】
本题考查旋转，旋转后图形面积相等的性质和扇形的面积计算S扇形=.
31．90°
【分析】
根据旋转角的概念找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数即可．
【详解】
根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，
故答案为90°．
【点睛】
本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角．
32．（1，1）或（4，4）．
【分析】
分点A的对应点为C或D两种情况考虑:①当点A的对应点为点C时, 连接AC、 BD, 分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E, 点E即为旋转中心;②当点A的对应点为点D时, 连接AD、 BC, 分别作线段AD、 BC的垂直平分线交于点M, 点M即为旋转中心. 此题得解.
【详解】
解：①当点A的对应点为点C时,连接AC、BD,分别作线段AC、BD 的垂直平分线交于点E,如图1所示,
A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),
E点的坐标为(1,1);
②当点A的对应点为点D时,连接AD,BC,分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M,
如图②所示,
A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3),M点的坐标为(4,4).
综上所述: 这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4).
故答案为:(1,1)或(4,4).
【点睛】
本题主要考查坐标与图形的变化-旋转.
33．C 240°
【解析】
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB=120°，按顺时针方向旋转，使得点E在AC上，得到新的三角形记为△DCE，
∴旋转中心为点C，旋转角度为：360°-120°=240°．
故答案为①C；②240°．
34．
【分析】
根据图形的翻转，分别得出、、的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可．
【详解】
解：由题意可知、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是
依此类推下去，、的横坐标是2017，的横坐标是2018.5，的横坐标是2020，
的坐标是，
故答案为．
【点睛】
本题考查翻折变换，等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出、、的横坐标，得出规律是解答此题的关键．
35．22020
【分析】
根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【详解】
∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为 =，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，
…
则第2020个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
36．（22017，-22017）
【分析】
根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点B2017的坐标位置，进而得出答案．
【详解】
∵△AOB是等腰直角三角形，OA=1，
∴AB=OA=1，
∴B（1，1），
将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，
再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，
∴每4次循环一周，B1（2，-2），B2（-4，-4），B3（-8，8），B4（16，16），
∵2017÷4=504…1，
∴点B2017与B1同在一个象限内，
∵-4=-22，8=23，16=24，
∴点B2017（22017，-22017）．
故答案为（22017，-22017）．
【点睛】
此题考查点的坐标变化规律，旋转的性质，得出B点坐标变化规律是解题关键．
37．17°
【详解】
解：∵∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB′C′，
∴∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°，
∴∠B′AC的度数=50°−33°=17°.
故答案为17°.
38．
【分析】
由旋转的性质可得，，由勾股定理可求EF的长．
【详解】
解：由旋转的性质可得，，
，且，
故答案为
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
39．．
【解析】
【详解】
∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，
∴AB=AD=1,∠BAD=∠CAE=90°，
∴BD===.
故答案为:.
40．20°
【解析】
【分析】
根据旋转性质得AB= AB', ∠A BB'=∠B B'A,利用三角形内角和定理得,∠B B'A即可求解.
【详解】
解：由题可知,AB= AB',∠BA B'=40°,故∠A BB'=∠B B'A,
由三角形内角和定理得,∠B B'A=
在Rt△BC' B'中,
∠BB'C'=90°-70°=20°.
【点睛】
本题考查了图形的旋转和等腰三角形,属于简单题,熟悉旋转的性质和内角和定理是解题关键.
41．平行四边形．
【分析】
四边形ACE′E的形状是平行四边形；首先根据三角形中位线的性质可得DE∥AC，DE=AC，再根据旋转可得DE=DE′，然后可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．
【详解】
解：∵DE是△ABC的中位线
∴DE∥AC，DE=AC
∵将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E'位置
∴DE=DE'
∴EE'=2DE=AC
∴四边形ACE'E是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
42．△AFE≌△ADE
【解析】
【分析】
首先根据等腰直角三角形的性质，可求得顶角与底角的度数；根据旋转的性质，可得对应角与对应边相等；根据全等三角形的判定定理即可．
【详解】
∵△AFB是△ADC绕点A顺时针旋转90°得到的，
∴AD=AF，∠FAD=90°，
又∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=90°-∠DAE=90°-45°=45°=∠DAE，
又AE=AE，
在△ADE与△AFE中，
，
∴△ADE≌△AFE（SAS）．
故答案为△AFE≌△ADE．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定定理，关键是根据等腰直角直角三角形的性质以及旋转的性质分析．
43．105°或135°
【分析】
根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
【详解】
解：如图（1），当AC∥DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
如图（2），当BC∥AD时，∠DAB=∠B=60°；
如图（3），当BC∥AE时，
∵∠EAB=∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
如图（4），当AB∥DE时，
∵∠E=∠EAB=90°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°．
∴当90°<∠BAD<180°时，
∠BAD=105°或135°．
故答案为：105°或135°．
【点睛】
本题考查的是旋转的性质，平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
44．
【详解】
解：连接D′C，
∵绕顶点A顺时针旋转45°，
∴∠D′CE=45°，
∵ED′⊥AC，
∴∠CD′E=90°，
∵AC==，
∴CD′=﹣1，
∴正方形重叠部分的面积是×1×1﹣×（﹣1）（﹣1）=﹣1
故答案为：．
【点睛】
本题考查正方形的性质；旋转的性质．
45．或
【分析】
分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，则问题可求解．
【详解】
解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图所示：
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴点E的坐标为；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，如图所示：
∵点A坐标为，点B坐标为，
∴点N的坐标为，
综上所述：这个旋转中心的坐标为或；
故答案为或．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
46．90
【分析】
由△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案
【详解】
解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，
∴OB=OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD=90°，
∴旋转的角度为90°，
故答案为： 90．
【点睛】
本题考查了旋转的性质．解题的关键是理解△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得的含义，找到旋转角．
47．39°
【解析】
【分析】
由∠BCA＝∠BCA′，推出∠BCB′＝∠ACA′＝39°，求出∠ACA′即可解决问题．
【详解】
解：∵AC⊥A′B，
∴∠CDA′＝90°，
∵∠A＝∠A′＝51°，
∴∠ACA′＝39°，
∵∠BCA＝∠BCA′，
∴∠BCB′＝∠ACA′＝39°，
故答案为39°．
【点睛】
本题考查了旋转变换，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
48．10或28.
【详解】
试题解析：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，
∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°，
∵每秒旋转10°，
∴时间为100°÷10°=10秒；
②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，
∴旋转角为270°+10°=280°，
∵每秒旋转10°，
∴时间为280°÷10°=28秒；
综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行．
考点：平行线的判定．
49．y=﹣x或y=-4x
【详解】
分析：直接利用旋转的性质结合平移的性质得出对应点位置，再利用待定系数法求出正比例函数解析式．
详解：当点A绕坐标原点O逆时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，
则A′（-3，4），
设过点A′的正比例函数的解析式为：y=kx，
则4=-3k，
解得：k=-，
则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-x，
同理可得：点A绕坐标原点O顺时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，此时A′（1，-4），
设过点A′的正比例函数的解析式为：y=k′x，
则-4=k′，
则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-4x.
故答案为y=﹣x或y=-4x.
点睛：此题主要考查了旋转的性质、平移的性质、待定系数法求出正比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键．
50．（-4，3）
【分析】
建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点B的坐标即可．
【详解】
如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（-4，3）．
故答案为（-4，3）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
51．（﹣4，3）．
【解析】
试题分析：
解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，
∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，
∴OA=OA′，∠AOA′=90°，
∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠A′OB′，
在△AOB和△OA′B′中，
，
∴△AOB≌△OA′B′（AAS），
∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3，
∴点A′的坐标为（﹣4，3）．
故答案为（﹣4，3）．
考点：坐标与图形变化-旋转
52．（2，10）或（﹣2，0）
【解析】
∵点D（5，3）在边AB上，∴BC=5，BD=5﹣3=2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，所以，D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
53．
【分析】
先求出点A的坐标，然后根据旋转的性质求出旋转后点A的对应点的坐标，继而根据平移的性质即可求得答案.
【详解】
∵点的坐标为，，
∴点的坐标为，
如图所示，将先绕点逆时针旋转90°，
则点的坐标为，
再向左平移3个单位长度，则变换后点的对应点坐标为，
故答案为．
【点睛】本题考查了平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质以及旋转的性质是解题的关键.
54．
【解析】
分析：连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．
详解：如图，连接AM，
∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，
∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，
∴∠B′AD=60°，
在Rt△ADM和Rt△AB′M中，
∵，
∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），
∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，
∴DM=ADtan∠DAM=1×=，
∴点M的坐标为（-1，），
故答案为（-1，）．
点睛：本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用．
55．77
【解析】
【详解】
由题意可得，每翻转三次与初始位置的形状相同，15÷3=5，故第15次翻转后点C的横坐标是：（5+5+6）×5﹣3=77.
考点：1.坐标与图形变化-旋转；2.等腰三角形的性质．
56．
【分析】
根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2019除以3，根据商为673可知第2019个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．
【详解】
解：∵点A（-3，0）、B（0，4），
∴AB==5，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，
∵2019÷3=673，
∴△2019的直角顶点是第673个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
∵673×12=8076，
∴△2019的直角顶点的坐标为（8076，0）．
故答案为（8076，0）.
【点睛】
本题主要考查了点的坐标变化规律，仔细观察图形得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
57．
【分析】
根据图形可知：点B在以O为圆心,以OB为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45∘，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论.
【详解】
∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B(1,1),连接OB，
由勾股定理得：OB=，
由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45∘,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45∘，
∴B1(0,),B2(−1,1),B3(−,0)，…，
发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3，
∴点B2019的坐标为(−,0)
【点睛】
本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转角，也考查了坐标与图形的变化、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法.
58．24+9．
【详解】
解：如图，连结PQ，
根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，
再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠PAQ=60°，
即可判定△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6；
在△APC和△ABQ中，AB=AC，∠CAP=∠BAQ，AP=PQ，
利用SAS判定△APC≌△ABQ，
根据全等三角形的性质可得PC=QB=10；
在△BPQ中，已知PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，即PB2+PQ2=BQ2，
所以△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，
所以S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9．
故答案为：24+9．
【点睛】
本题考查旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．
59．15
【分析】
根据旋转的性质知∠DFC=60°，再根据EF=CF，EC⊥CF知∠EFC=45°，故∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°.
【详解】
∵△DCF是△BCE旋转以后得到的图形，
∴∠BEC=∠DFC=60°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE．
又∵∠ECF=90°，
∴∠EFC=∠FEC=（180°﹣∠ECF）=（180°﹣90°）=45°，
故∠EFD=∠DFC﹣∠EFC=60°﹣45°=15°．
【点睛】
此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知等腰直角三角形与正方形的性质.
60．2
【解析】
等边三角形的性质，旋转的性质．
由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形三边相等的性质，即可求得 BD=BC= AB =2．由旋转的性质，即可求得CE=BD=2．
61．(1)A;(2) 旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；(3) A，E，F.
【解析】
试题分析：(1)因为△ABC经过旋转后到达△AEF的位置,则A点的对应点为A,于是可判断旋转中心为点A; (2)根据旋转的性质求解; (3)根据旋转的性质求解.
解：（1）它的旋转中心为点A；
（2）它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；
（3）点A，B，C的对应点分别为点A，E，F.
62．B
【解析】
【分析】
根据车轮中心在运动过程中中心位置的变化情况判断即可.
【详解】
解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每循环一次，五边形中心的变化每循环一次，六边形中心的变化每循环一次，用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为，故该轨迹对应的车轮为正方形的.
故答案为B
【点睛】
本题考查了图形中心的运动轨迹问题，正确理解图形中心的变化规律是解题的关键.
63．△BCD的面积为．
【分析】
根据问题情景的解题思路，如下图2，根据旋转的对应关系，可得△ABC≌△BDE（AAS），进而求出线段DE的长，根据三角形的面积公式计算即可.
【详解】
解：△BCD的面积为 ．
理由如下：
过点D作△BCD的BC边上的高DE．如图2，
∵边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴BA＝BD，∠ABD＝90°，
∵∠ABC+∠DBE＝90°，∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴DE＝BC＝a，
∴△BCD的面积＝BC•DE＝．
【点睛】
本题主要考查了学生对新提出的问题情境的理解能力，学会和已有的知识（三角形全等）相结合是解答本题的关键.
64．（1）证明见解析；（2）110°
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，AB＝AC，由旋转的性质可得∠DAE＝60°，AE＝AD，利用SAS即可证出≌，从而证出结论；
（2）根据等边三角形的判定定理可得为等边三角形，从而得出∠AED=60°，由（1）中全等可得∠AEB＝∠ADC，求出∠AEB即可求出结论．
【详解】
解：（1）∵是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在和中，
∵，
∴≌．
∴EB＝DC．
（2）如图，
由（1）得∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴为等边三角形．
∴∠AED＝60°，
由（1）得≌，
∴∠AEB＝∠ADC．
∵∠BED＝50°，
∴∠AEB=∠AED+∠BED=110°，
∴∠ADC=110°．
【点睛】
此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质，掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解决此题的关键．
65．（1）；（2）.点、点或者线段的中点；（3）
【分析】
(1) 因为和有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180.
【详解】
(1)∵和都是等边三角形，
∴和是全等三角形，
∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合.
故填AC;
(2)将△ABC旋转后与重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60或以点C为旋转中心顺时针旋转60，或以AC的中点为旋转中心旋转180即可；
（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180.
【点睛】
此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可.
66．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）是，y=x．
【解析】
试题分析：（1）根据平移变换点的坐标的变化规律在网格中确定出点A1、B1、C1位置顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质在网格中确定出点D1、E1、F1位置顺次连接即可；
（3）根据轴对称图形的概念确定对称轴，然后再求对称轴所在直线的解析式．
试题解析：（1）见下图；（2）见下图；△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线y=x和直线y=-x-2．
考点：平移变换；旋转变换；轴对称图形．
67．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【分析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于点O中心对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据网格结构找出点A、C绕点B逆时针旋转90°后的对应点A3、C3的位置，再与点C顺次连接即可．
【详解】
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；
（3）如图所示：△A3BC3即为所求．
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换作图，利用中心对称作图，利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.
68．(1)①4，3，﹣4，﹣3，3，1，﹣3，﹣1，1，2，﹣1，﹣2；②两个三角形各顶点横、纵坐标互为相反数；(2)x＜﹣1．
【分析】
（1）根据点的位置写出坐标，再根据坐标的特征写出规律即可；
（2）利用（1）中规律，构建方程组，求出a、b的值，解不等式即可；
【详解】
解：(1)由图可得，①A(4，3)与P(﹣4，﹣3)； B(3，1)与Q(﹣3，﹣1)； C(1，2)与R(﹣1，﹣2)．
②由①可得：两个三角形各顶点横、纵坐标互为相反数．
故答案为4，3，﹣4，﹣3，3，1，﹣3，﹣1，1，2，﹣1，﹣2；
(2)∵M、N关于原点对称，
∴M、N两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
∴+1﹣＝0，6(a+b)﹣10+4(b﹣2a)﹣6＝0，
解得a＝2，b＝2，
∴﹣＞2﹣1
∴6x+4﹣7x+3＞8
∴x＜﹣1．
【点睛】
本题考查几何变换﹣中心对称，不等式，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
69．【发现证明】证明见解析；【类比引申】∠BAD=2∠EAF；【探究应用】109．2米．
【解析】
【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．
【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；
【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可得出EF=BE+FD．
解：如图（1），
∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF．
【类比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
AB=AD，∠ABM=∠D，BM=DF，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
AE=AE，∠FAE=∠MAE，AF=AM，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°．
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上．
易得，△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAG=∠BAD=150°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
AG=AE，∠GAF=∠FAE，AF=AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF=EF．
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴EF=BE+DF=80+40（﹣1）≈109.2（米），即这条道路EF的长约为109.2米．
“点睛”此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．
70．（1）见解析；（2）．
【分析】
(1)根据AC=BC、∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD、CE=CD证△ACE≌△BCD即可；
(2)连接DE，可得△DCE是等边三角形，即∠CDE=60°、DC=DE，继而在Rt△ADE中，由勾股定理可得DE的长，即可求得CD．
【详解】
(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
由旋转的性质可得：
CE=CD，∠DCE=60°，
∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
∵，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD；
(2)连接DE．
∵CD=CE，∠DCE=60°，
∴△DCE是等边三角形．
∴∠CDE=60°，DC=DE．
∵∠ADC=30°，∴∠ADC+∠CDE=90°．
∵AD=3，BD=4，
∴AE=BD=4．
在Rt△ADE中，由勾股定理，
可得．
∴DC=DE=．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，连接DE发现等边三角形与直角三角形是解题的关键．
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