专题23.3 中心对称（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题23.3  中心对称（知识讲解）

【学习目标】

1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；

2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；

3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．

【要点梳理】

要点一、中心对称和中心对称图形

1.中心对称：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
　　这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .

2.中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.

3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：

要点二、关于原点对称的点的坐标特征

关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.

要点三、中心对称、轴对称、旋转对称

1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：

2.中心对称图形与轴对称图形比较：

特别说明：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.

【典型例题】

类型一、中心对称求线段、角、面积

1．如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．

【答案】见解析.

【分析】根据关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心作图.

解：连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，

则点O即为对称中点．

【点拨】本题考查的是中心对称的性质，掌握关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键.

举一反三：

【变式1】 如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点．已知AC=4，BC=6.

(1)画出△BCD关于点D的中心对称图形；

(2)根据图形说明线段CD长的取值范围.

【答案】(1)所画图形如图所示见解析； (2) 1<CD<5.

【分析】

（1）根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据三角形的三边关系求解即可．

解：(1)所画图形如下所示：

ΔADE就是所作的图形.

(2)由(1)知：△ADE≌△BDC，

则CD=DE，AE=BC

∴AE-AC<2CD<AE+AC，

即BC-AC<2CD<BC+AC

∴2<2CD<10

解得：1<CD<5.

【点拨】本题考查了中心对称图形及三角形三边关系的知识，难度适中，解答第（2）问的关键是通过△ADE≌△BDC，将2CD放在△ACE中求解．

【变式2】如图，在中，D为BC上任一点，交AB于点交AC于点F，求证：点关于AD的中点对称．

【答案】证明见解析

【解析】试题分析：根据题意推知四边形AEDF是平行四边形，则该四边形关于点O对称．

 证明：如图，连接EF交于点O．

交AB与交AC于F，

四边形AEDF是平行四边形，

点关于AD的中点对称．  

 类型二、中心对称图形

2．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．

（1）作点A关于点O的对称点；

（2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段；

（3）连接，求出四边形的面积．

【答案】作图见解析；（2）作图见解析；（3）24．

【分析】

（1）连接AO并延长一倍即可得到；

（2）由于是一个正方形对角线，再找一个以为顶点的正方形，与相对的点即为，连接线段；

（3）连接，由求出四边形面积．

解：如图所示

（1）作出点A关于点O的对称点；

（2）连接，画出线段；

（3）连接，过点A作于点E，过点作于点F；                

．

∴四边形的面积是24．

【点拨】此题主要考查了图象的旋转以及中心对称，同时考查在网格中的面积计算问题，熟练掌握旋转变换和中心对称变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键．

举一反三：

【变式1】已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．

（1）求证：AC=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

【答案】见解析

【分析】

（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；

（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．

   (1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，

∴△ABM≌△ACM，

∴AB=AC，

又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，

∴△ABE≌△DCE，

∴AB=CD，

∴AC=CD；

(2)∠F=∠MCD.

理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，

∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，

∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，

设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，

∴∠F=∠CPM−∠PMF=α−β，

∠MCD=∠CDE−∠DMC=α−β，

∴∠F=∠MCD.

【点拨】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中心对称的性质得出全等三角形的判定条件是解题的关键.

【变式2】 如果一条抛物线（）与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是     三角形；若抛物线（）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则          ．

（2）如图，△OAB是抛物线（）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

（3）若抛物线与直线交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）等腰，2；（2）存在，y＝x2＋2x；（3）抛物线与直线y＝3交点的横坐标均为整数时m＝2或m＝0

【分析】

(1)抛物线的顶点必在抛物线与x 轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定 是等腰三角形。观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于 b＞0，那么其顶点在第一象限，而 这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b；

(2)由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA=OB，结合(1)的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE 通过OAB 这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B 的坐标，即可确定C、D 的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D 的抛物线的解析式；

（3）联立两个函数的解析式，通过所得方程先求出这个方程的两个根，然后通过这两个根都是整数确定m的整数值．

解：(1)等腰．b＝2．

(2)存在．如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．当OA＝OB时，平行四边形ABCD是矩形，又∵AO＝AB，∴△OAB为等边三角形．

∴∠AOB＝60°，作AE⊥OB，垂足为E，∴AE＝OE．

∴(b′＞0)．

∴b′＝2．

∴A(，3)，B(2，0)．

∴C(－，－3)，D(－2，0)．

设过点O、C、D的抛物线为y＝mx2＋nx，则

解得

故所求抛物线的表达式为y＝x2＋2x．

(3)由－x2＋4mx－8m＋4＝3，x＝＝2m±，

当x为整数时，须 4m2－8m＋1为完全平方数，设 4m2－8m＋1＝n2 (n是整数)整理得：

(2m－2)2－n2＝3，即 (2m－2＋n)(2m－2－n)＝3，

两个整数的积为3，∴或或或

解得：或或或

综上，得：m＝2或m＝0；

根据题意，抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长，

当m＝2时，抛物线方程为y＝－x2＋8x－12＝－(x－4)2＋4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；

当m＝0时，抛物线方程为y＝－x2＋4，满足抛物线三角形的底边长等于这边的中线长；

∴抛物线与直线y＝3交点的横坐标均为整数时m＝2或m＝0．

【点拨】此题是关于二次函数综合题，主要考查新定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中心对称的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用知识点是解题关键．

类型三、中心对称图形的性质运用

3、如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、.

(1)画出关于点成中心对称的△；平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的△；

(2)△和△关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　 　．

【答案】(1)画图见解析；（2）（2，-1）.

【解析】

试题分析：(1)、根据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置，再与点A顺次连接即可；根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；(2)、根据中心对称的性质，连接两组对应点的交点即为对称中心．

试题解析：(1)、△A1B1C如图所示， △A2B2C2如图所示； (2)、如图，对称中心为（2，﹣1）．

考点：(1)、作图-旋转变换；(2)、作图-平移变换．

举一反三：

【变式1】物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．

（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；

（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．

【答案】见解析

【解析】

（1）根据平行四边形的性质可知：重心是两条对角线的交点．

（2）把模块分成两个矩形（用两种不同方法），得到连接各自中心的两条线段，交点就是重心．

解：（1）平行四边形的重心是两条对角线的交点．

如图，平行四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是对称中心，

经过点O与对边相交的任何一条线段都以点O为中点（如图中线段PQ），

因此点O是各条线段的公共重心，也是▱ABCD的重心．

（2）把模板分成两个矩形，连接各自的中心；

把模板重新分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，指出重心．

【变式2】如图，在平面直角坐标系中，三角形②、③是由三角形①依次旋转后所得的图形．

（1）在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标；

（2）在图上画出再次旋转后的三角形④．

【答案】（1）旋转中心点P位置见解析，点P的坐标为（0，1）；（2）画图见解析.

解：解：（1）旋转中心点P位置如图所示，

点P的坐标为（0，1）；

（2）旋转后的三角形④如图所示．

【点评】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，看图是关键．

类型四、平面直角坐标系中的中心对称

4、如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.

(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC；

(2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC；

(3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标.

【答案】（1）图形见解析；

（2）图形见解析；

（3）图形见解析，点P的坐标为：（2，0）

【分析】(1)按题目的要求平移就可以了关于原点对称的点的坐标变化是:横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可  (3)AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直线一侧的两点，在直线上找一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与另一点．

解：

（1）△A1B1C1如图所示；

（2）△A2B2C2如图所示；

（3）△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）

【点拨】1、图形的平移；2、中心对称；3、轴对称的应用

举一反三：

【变式1】如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合．

旋转中心是点________，旋转了________度；

如果，，求：四边形的面积．

【答案】（1）,；（2）详见解析.

【分析】

(1)根据正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90,则根据旋转的定义得到△ADE绕点A顺时针旋转90后与△ABF重合;

(2)根据旋转的性质得BF=DE,=,利用CF=CB+BF=8得到BC+DE=8,再加上

CE=CD-DE=BC-DE=4,于是可计算出BC=6,所以==36.

解：解:(1)四边形ABCD为正方形,

AB=AD,∠BAD=90,

△ADE绕点A顺时针旋转90后与△ABF重合,

即旋转中心是点A,旋转了90度;

故答案为A,90;

(2) △ADE绕点A顺时针旋转90后与△ABF重合,

BF=DE, =,

而CF=CB+BF=8,

BC+DE=8,

CE=CD-DE=BC-DE=4,

BC=6,

==6=36

【点拨】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.旋转有三要素:旋转中心; 旋转方向; 旋转角度.也考查了正方形的性质.

【变式2】如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，平行四边形ABCD的顶点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：

（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°，画出对应线段AE；

（2）过点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；

（3）过点D画格点线段DP，使得DP⊥BC于点M，垂足为M；

（4）过点M画线段MN，使得MN//AB，MN=AB．

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解

【分析】

（1）根据旋转的性质直接作图即可；

（2）连接AC、BD，交于一点O，然后连接EO即可得出图形；

（3）把线段AD绕点D顺时针旋转90°，即可得到线段DP⊥BC，与BC交于一点M，即可得出答案；

（4）根据平行四边形是中心对称图形，点O是对称中心，设EO与D点所在网格线交于点Q，连接MQ并延长交于AD于点N，MN即为所求．

   解：（1）（2）（3）如图所示：

（4）根据平行四边形是中心对称图形，点O是对称中心，设EO与D点所在网格线交于点Q，连接MQ并延长交于AD于点N，MN即为所求，如图所示：

【点拨】本题主要考查旋转的性质、平行四边形的性质及中心对称图形，熟练掌握旋转的性质、平行四边形的性质及中心对称图形是解题的关键．