专题15.8 分式的加减（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题15.8 分式的加减（知识讲解）

 【学习目标】

1．能利用分式的基本性质通分．

2．会进行同分母分式的加减法．

3．会进行异分母分式的加减法．

【要点整理】

要点一、同分母分式的加减

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

上述法则可用式子表为：

.

特别说明：

（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，

当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.

 （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.

要点二、异分母分式的加减

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.

上述法则可用式子表为：

.

特别说明：

（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分

式的加减法.

（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.

【典型例题】

类型一、同分母分式的加减

1、计算：．

华华的计算过程如下：

解：原式．

请问华华的计算结果正确吗？如果不正确，请说明理由．

【答案】不正确，理由见解析

【分析】按照同分母的减法法则计算即可．

解：华华的计算结果不正确，

理由：减式的分子是一个多项式，没有注意分数线的括号作用；

正确的运算是：

原式．

【点拨】本题考查了分式的加减，掌握运算法则是解本题的关键．注意： 减式的分子是一个多项式，运算时要注意分数线的括号作用，防止出现的错误．

举一反三：

【变式】计算：

（1）

【答案】（1）；（2）m-n；（3）1；（4）-1

【分析】首先通分，然后再依照“分母不变，分子相加减”的规则进行运算，计算过程中要合理运用因式分解相关公式，注意结果要约分化为最简形式.

解：

（1）原式=；

（2）原式=；

（3）原式=；

（4）原式=.

【点拨】分式加减运算中，通分是关键环节，要学会寻找最简公分母，同时注意最后结果的约分.

类型二、异分母分式的加减 

2、阅读材料，并回答问题：

小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下：

解：

①

②

③

④

问题：（1）上述计算过程中，从      步开始出现错误（填序号）；

（2）发生错误的原因是：                              ；

（3）在下面的空白处，写出正确解答过程：

【答案】（1）③；（2）分式加法法则运用错误；（3）见解析

【分析】观察整个运算过程，根据分式的加法运算法则，找出错误的步骤并正确求解即可．

解：（1）③；

（2）同分母分式相加时，分母不变，分子相加，不能去掉分母；

（3）原式，

，

，

．

【点拨】本题考查了分式的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

举一反三：

【变式】计算下列各题

（1）   

（2）

【答案】（1）0；（2）

【分析】

（1）先通分，可化成同分母分式，根据同分母分式的加减，可得答案；
（2）从左到右依次通分相减即可．

解：（1）原式.

    （2）原式.

【点拨】本题考查了分式的加减，异分母分式通分是解答此题的关键．

类型三、分式的加减乘除混合运算

3、先化简，再求值：，其中．

【答案】；

【分析】分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里的，然后代入求值即可．

   解：

=

=

当时，原式．

【点拨】本题考查分式的混合运算，分式的化简求值，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．

举一反三：

【变式1】 先化简，再求值：，其中

【答案】；

【分析】分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里面的，然后代入求值即可

 解：

把代入上式，得：

【点拨】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序正确计算是解题关键．

 【变式2】先化简：，然后从，，中选择一个合适的数代入求值．

【答案】；1

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从0，2，3中选择一个使得原分式有意义值，代入化简后的式子即可解答本题．

解：

∵当或时，原式没有意义，

∴当时，原式．

【点拨】本题考查分式的化简求值，明确分式化简求值的方法和分式有意义的条件是解答本题的关键．

类型四、分式的加减乘除运算的应用

4．探索：（1）如果，则m=        

（2）如果 ，则m=      

总结：如果（其中a.b.c为常数），则m=      

应用：利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值．

【答案】（1）m=﹣13；（2）m=﹣5；（3）m=b﹣ac；（4）x=2或0

 【分析】

（1）根据分式的性质把5化出来，再根据等式的性质求出m的值；

（2）根据分式的性质把3化出来，再根据等式的性质求出m的值；

总结：根据分式的性质把a化出来，再根据等式的性质求出m的值，先把代数式的4化出来即可求解.

解：（1）∵

∴m=﹣13；

（2）∵

∴m=﹣5；

总结：∵

∴m=b﹣ac；

应用：∵=

又∵代数式的值为整数，

∴为整数，∴x﹣1=1或x﹣1=﹣1，∴x=2或0

【点拨】此题主要考查分式的运算，解题的关键是根据已知等式进行求解，再得出规律进行解答.

举一反三：

【变式】 阅读下列 材料，并解答总题：

材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．

解：由分母x+1，可设

则

=

∵对于任意上述等式成立

∴，

解得，

∴

这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．

（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为___________；

（2）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数=________．

【答案】（1）；（2）4、16、2、-10

【分析】

（1）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
  （2）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，根据整除运算解答；

 解：（1）由分母x-1，可设x2+6x-3=（x-1）（x+a）+b
则x2+6x-3=（x-1）（x+a）+b=x2+ax-x-a+b=x2+（a-1）x-a+b
∵对于任意x上述等式成立，

解得：，

拆分成x+7+

故答案为：x+7+

（2）由分母x-3，可设2x2+5x-20=（x-3）（2x+a）+b
则2x2+5x-20=（x-3）（2x+a）+b=2x2+ax-6x-3a+b=2x2+（a-6）x-3a+b
∵对于任意x上述等式成立，

，解得

拆分成2x+11+

∵整数使分式的值为整数，

∴为整数，

则满足条件的整数x=4、16、2、-10，
故答案为：4、16、2、-10；

【点拨】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂材料掌握方法是解题的关键．

5、已知，求A，B的值.

【答案】A=3，B=-2.

 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用分式相等的条件求出A与B的值即可．

解：

可得，,

解得：A=3，B=-2.

【点拨】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．