专题15.19 分式知识点分类专题训练（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题15.19 分式知识点分类专题训练（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共30页。试卷主要包含了分式的值，分式的基本性质，分式的运算，整数指数幂，分式的增根，分式的无解，分式方程的应用等内容，欢迎下载使用。

专题15.19 分式知识点分类专题训练（培优篇）（专项练习）
一、 单选题
知识点一、分式的值
1．已知，则的值是（　　）
A．9 B．8 C． D．
2．已知，则分式的值为（ ）
A．8 B． C． D．4
3．若是整数，则使分式的值为整数的值有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
4．若三角形三边分别为a、b、c，且分式的值为0，则此三角形一定是（　　）
A．不等边三角形 B．腰与底边不等的等腰三角形
C．等边三角形 D．直角三角形
知识点二、分式的基本性质
5．轮船从河的上游A地开往河的下游B地的速度为v1,从河的下游B地返回河的上游A地的速度为v2,则轮船在A、B两地间往返一次的平均速度为( )
A． B． C． D．
6．下列等式成立的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
7．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（　　）
A． B． C． D．
8．下列各式从左到右的变形正确的是 (      )
A． B． C． D．
知识点三、分式的运算
9．对于任意的x值都有，则M，N值为（　　）
A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4
10．如图，设k＝（a＞b＞0），则有（　　）

A．k＞2 B．1＜k＜2 C． D．
11．当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…、﹣2、﹣1、0、1、、、…、、、时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
12．甲、乙两人分别从相距8千米的两地同时出发，若同向而行，则t1小时后，快者追上慢者；若相向而行，则t2小时后，两人相遇，那么快者速度是慢者速度的( 　)
A． B． C． D．
知识点四、整数指数幂
13．若=2，则x2+x－2的值是( )
A．4 B． C．0 D．
14．下列计算正确的是（ ）
A．2÷2﹣1=-1 B． C．(﹣2x﹣2)﹣3=6x6 D．
15．已知：（n是自然数）．那么的值是（ ）
A． B． C． D．
16．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（　　）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
知识点五、分式的增根
17．关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
18．若关x的分式方程有增根，则m的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
19．如果方程有增根，那么的值为（ ）
A．０ B．-１ C．3 D．１
20．关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
知识点六、分式的无解
21．若分式方程无解，则的值为（ ）
A．0 B．6 C．0或6 D．0或
22．若关于x的分式方程无解，则实数m的值是（ ）
A．m=0或1 B．m=1或3 C．m=3或7 D．m=0或3
23．若关于x的方程无解，则m的值为　　
A． B． C． D．
24．已知关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或或
知识点七、分式方程的应用
25．某市政工程队准备修建一条长1200米的污水处理管道．在修建完400米后，为了能赶在讯期前完成，采用新技术，工作效率比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天修建管道x米，依题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
26．“”汶川大地震导致某段铁路隧道被严重破坏，为尽快抢修其中一段1200米的铁路，施工队每天比原计划多修10米，结果提前4天开通列车，设原计划每天修x米，则下面列出的方程正确的是　　
A． B． C． D．
27．一项工程，甲单独做要x天完成，乙单独做要y天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为（ ）
A． B． C． D．
28．某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为
A． B．
C． D．

二、 填空题
知识点一、分式的值
29．已知，则_______.
30．当x取_____时，分式有意义．
31．若,则x的取值范围是____________．
32．已知:满足方程,则代数式的值是_____.
知识点二、分式的基本性质
33．若，．则的值为______
34．6月18日晚，苏宁易购发布618全程战报：从6月1日到18日晚6点，苏宁依托线上线下全场景优势，逆势增长.经调查，苏宁易购线上有甲乙两家在销售华为A手机、华为B电脑和华为C耳机.已知每部A手机的利润率为40%，每台B电脑的利润率为60%，每副C耳机的利润率为30%，甲商家售出的B电脑和C耳机的数量都是A手机的数量的一半，获得的总利润为50%，乙商家售出的A手机的数量是B电脑的数量的一半，售出的C耳机的数量是B电脑的数量的，则乙商家获得的总利润率是___________.
35．下列说法：① 若a＋b＋c＝0，则（a＋b）3＋c3＝0；②若a＋b＝0，则|a|＝|－b|，反之也成立；③若（c≠0），则b－c＝a－c；④若|x＋1|＋x－y＋5＝0，当x≤－1时，y是常数；⑤若|x＋1|＋x－y＋5＝0，则y≥x，其中正确的有_________
36．为落实习总书记“全面推进乡村振兴”的发展理念，重庆某山区扶贫办决定积极发展经济作物，准备将一块土地分成，，三个区域分别来种植平菇、香菇和蘑菇．工人将三个区域的占地面积划分完毕后，发现将原区20%的面积错划分给了区，而原区50%的面积错划分给了区，区面积未出错，造成现区的面积占，两区面积和的比例达到了30%．为了协调三个区域的面积占比，工人重新调整三个区的面积，将区面积的25%分两部分划分给现在的区和区若调整结束后，，，三个区域的面积比变为，那么工人调整时从区划分给区的面积与三个区域总面积的比为______．
知识点三、分式的运算
37．已知x2﹣4x﹣5＝0，则分式的值是_____．
38．下列结论：①不论为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的是________
39．若，则_____．
40．若a2+5ab﹣b2=0，则的值为__．
知识点四、整数指数幂
41．若为整数，且，则=___．
42．对实数a、b，定义运算☆如下：a☆b=，例如：2☆3=2﹣3=，则计算：[2☆（﹣4）]☆1=_____．
43．(m－1) n÷mn=___________．
44．－52×(－5) 2×5－4=_____________．
知识点五、分式的增根
45．如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为_____________．
46．若解分式方程产生增根，则m＝_____．
47．若方程有增根，则增根是____________.
48．关于x的分式方程有增根，则m的值为__________．
知识点六、分式的无解
49．若关于的方程无解．则=________.
50．若关于的分式方程无解，则________．
51．若以x为未知数的方程无解，则______.
52．当m= __________ 时，关于x的分式方程没有实数解.
知识点七、分式方程的应用
53．小明到商场购买某个牌子的铅笔支，用了元（为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价，于是他比上一次多买了支铅笔，用了元钱，那么小明两次共买了铅笔________支．
54．2019年11月1日是重庆城市花博会在重庆江北嘴中央商务区举行，商务区附近的某花店抓住商机，从11月1日开始销售A、B两种花束，A花束每束利润率是40%，B种花束每束利润率是20%，当日，A种花束的销量是B种花束销量的，这两种花束的总利润率是30%；11月2日在A、B两种花束利润率保持不变的情况下，若要想当日的总利润率达到35%，则A花束的销量与B花束的销量之比是____________.
55．甲，乙，丙三管齐开，12分钟可以注满全池，乙，丙，丁三管齐开，15分钟可注满全池．甲，丁两管齐开，20分钟注满全池，如果是四管齐开，需要____分钟可以注满全池．
56．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（2）个多边形由正方形 “扩展”而来，边数记为，…，依此类推，由正边形“扩展”而来的多边形的边数记为（n≥3）．则的值是_____，当的结果是时，n的值________．




参考答案
1．D
【分析】根据 可知 即 ，把 分子、分母同时除以 得 ，把代入即可.
解：由得，即
=，
把代入得= ，
故选D
本题考查利用恒等变形求分式的值，利用分式的性质，找到可以等量代换的代数式是解题关键.
2．A
【分析】由，得，．代入所求的式子化简即可．
解：由，得，
．
故选：A．
【点拨】本题解题关键是用到了整体代入的思想．
3．C
【分析】先将假分式分离可得出，根据题意只需是6的整数约数即可．
解：
由题意可知，是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有：共4个．
故选：C．
【点拨】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到，从而使问题简单．
4．B
解：根据分式等于0的条件，分母不为0，分子等于0，即a-c≠0，ab-ac+bc-b2= ab -b2-ac+bc =b（a-b）-c（a-b）=（a-b）（b-c）=0，所以a≠c，a=b，或b=c，因此可知此三角形一定是腰与底边不等的等腰三角形.
故选B.
点拨：此题主要考查了分式的值为0的条件，解题关键是明确分式的值为0的条件为分母不为0，分子为0，然后根据结果，由边的关系判断三角形的形状.
5．D
【解析】设从A地到B地的路程为s，那么轮船从A地到B地所用的时间为，从B地返回A地所用的时间为，往返一次总路程为2s，总时间为,所以平均速度为：.
故选D.
6．C
【解析】试题分析：根据分式的化简求值，可知：
A. =，故不正确；
B. 已是最简分式，不能化简，故不正确；
C. =，故正确；
D. =-，故不正确.
故选：C.
7．D
解：根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以6，得
原式=，
故选D.
8．C
解：A. ，故原选项错误；
B. ，故原选项错误；
C. ，故此选项正确；
D.，故原选项错误，
故选C．
9．B
【分析】先计算= ,根据已知可得关于M、N的二元一次方程组 ，解之可得．
解：
=
=
∴=
∴，
解得：，
故选B．
【点拨】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M、N的方程组．
10．C
解：由题意可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，即.
故选C.
11．A
解：设a为负整数．∵当x=a时，分式的值=，当x=﹣时，分式的值==，∴当x=a时与当x=-时，两分式的和=+=0，∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0，∴所得结果的和==﹣1．故选A．
【点拨】本题主要考查的是分式的加减，发现当x的值互为负倒数时，两分式的和为0是解题的关键．
12．D
【分析】设甲的速度为a，乙的速度为b，且a＞b；根据题意可得方程组，解方程组求得a、b的值，再计算的值即可.
解：设甲的速度为a，乙的速度为b，且a＞b；根据题意得，
，即 ，
解得 ，
∴.
故选D.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用及分式的化简，读懂题意，找到所求的量的等量关系是解决本题的关键．
13．B
【解析】
试题分析：根据倒数的意义，求出x=，然后代入后根据负整指数幂可求解得原式=.
故选B.
14．D
【解析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知2÷2﹣1=21-（-1）=22=4，故不正确；
根据单项式除以单项式，可知=，故不正确；
根据积的乘方，可知(﹣2x﹣2)﹣3=-x6，故不正确；
根据合并同类项法则和负整指数幂的性质，可知=7x-2=，故正确.
故选D
15．D
【分析】先计算 再求解 再化简 再计算即可得到答案.
解：由题意得：，
∴
，
则

∴．
故选D．
【点拨】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数幂的含义，幂的运算，熟知以上运算的运算法则是解题的关键.
16．B
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2•26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2•211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2•26•2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14．
故选：B．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
17．C
【解析】根据分式方程增根的意义，求得m的值，然后把分式方程化为整式方程，代入可求出m的值.
详解：∵关于的分式方程有增根
∴x-1=0
解得x=1
原方程两边同乘以x-1可得m-3=x-1
把x=1代入可得m=3.
故选：C.
点拨：此题主要考查了分式方程的解，关键是明确分式方程产生增根的条件是分母为0，难度一般.
18．D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
解：去分母得：2x-x+3=m，
由分式方程有增根，得到x-3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=6，
故选D．
【点拨】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
19．D
解：试题分析：由题意分析可知，



故选D
考点：增根的性质
点评：本题属于对增根的基本知识的考查以及增根的定义的判断
20．A
【解析】
【分析】先判断出增根是x=1,然后把分式方程化为整式方程，由增根的概念可知x=1是这个整式方程的根，代入后即可求出m．
解：∵x的分式方程有增根，
∴增根是x=1,
分式方程去分母化为整式方程得5x+3(x-1)=2m+1，
把x=1代入上面的方程得：5=2m+1,
解得m=2．
故选：A．
【点拨】本题考查了分式方程的解法和增根．理解增根产生的原因是解决本题的关键．增根满足两条：1．增根是分式方程所化成的整式方程的根；2. 增根使最简公分母为0.
21．C
【分析】存在两种情况会无解：
（1）分式方程无解，则得到的解为方程的增根；
（2）分式方程转化为一元一次方程后，方程无解
解：情况一：解是方程的增根
分式方程转化为一元一次方程为：mx=6x－18
移项并合并同类项得：(6－m)x=18
解得：
∵分式方程无解，∴这个解为分式方程的增根
要想是分式方程的增根，则x=3或x=0
显然不可能为0，则
解得：m=0
情况二：转化的一元一次方程无解
由上知，分式方程可转化为：(6－m)x=18
要使上述一元一次方程无解，则6－m=0
解得：m=6
故选：C
【点拨】本题考查分式无解的情况：（1）解分式方程的过程中，最常见的错误是遗漏检验增根，这一点需要额外注意；（2）一元一次方程ax+b=0中，当a=0，b≠0时，方程无解．
22．C
解：试题解析：方程去分母得：7+3（x-1）=mx，
整理，得（m-3）x=4，
当整式方程无解时，m-3=0，m=3；
当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，
∴m-3=4，m=7，
∴m的值为3或7．
故选C.
点拨：分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
23．B
【分析】先去分母方程两边同乘以，根据无解的定义即可求出m．
解：方程去分母得，，
则，
当分母即时，方程无解，
所以即时方程无解，
故选B．
【点拨】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
24．D
【分析】先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.
解：由得x=
∵分式方程无解
∴=±2或m+4=0
∴m=0或m=-8或
∴或或
故答案为D.
【点拨】本题考查了分式的解和分式方程的解法，解答的关键在于解分式方程和分式无解的条件.另外，让分式的解有意义是本题的易错点.
25．B
【分析】设原计划每天修建管道x米,则原计划修建天数为天.实际前面400米,每天修建管道x米,需要天,剩下的1200-400=800米,每天修建管道x (1+25％)米,需要天. 根据实际天数比原计划提前4天完成任务即可得出数量关系.
解：设原计划每天修建管道x米,
根据题意的– =4,
- - =4,
- =4,
选项B正确.
【点拨】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；难点是得到实际修建的天数.
26．C
【解析】
【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
，
故选：C．
【点拨】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
27．A
【解析】
根据工程问题的关系：工作量=工作效率×工作时间，把总工作量看作单位“1”，可知甲的工作效率为，乙的工作效率为，因此甲乙合作完成工程需要：1÷（+）=.
故选A.
28．B
解：试题分析：由设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．根据关键描述语：“共用了18天完成任务”得等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．从而，列方程．故选B．
29．
【解析】
【分析】先根据绝对值的非负性求出a和b的值，代入代数式中根据分数的性质对原式进行变形即可求出答案.
解：∵，
所以，
∴a=1，b=2，
∴原式=
=
=
=
【点拨】本题考查非负数的性质，绝对值.本题解题关键有两个，①任意数的绝对值都大于或等于0，而两个非负数（或式）的和要等于0，那么这两个数（或式）都要为0；②注意分数的等量变形.
30．x≠0且x≠±1
【解析】
分析：要想使分式有意义，那么分式的分母就不能为0，据此列出关于x的不等式组，解不等式组即可求得x的取值范围．
详解：由题意可知，只有当：时，原分式才有意义，解得：，即当x≠0且x≠±1时，原分式有意义．
故答案为：x≠0且x≠±1．
点拨：本题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握．对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可．
本题的难点在于，题中是一个繁分式，需一层一层分析，x是的分母，所以x≠0；
x﹣是的分母，所以x﹣≠0；1﹣又是整个分式的分母，因此1﹣≠0．繁分式的有关知识超出初中教材大纲要求，只在竞赛中出现．
31．x＜1
【解析】
根据x-1的绝对值与本身的比为-1，说明绝对值与本身互为相反数，故可知x-1＜0，即x＜1.
故答案为：x＜1.
32．
【解析】
因为，则 .
故答案：.
33．
【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出.
解：2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，
将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．
①+③得: 10x+ 5y= 0，
∴y= -2x，
将y= - 2x代入①中
得:2x- (-2x)+4z=0
∴z=-x
将y= -2x，z=-x，代入上式

=

=

=
=

故答案为：
【点拨】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简.
34．56%
【解析】
【分析】设A手机的成本价为a，B电脑的成本价为b，C耳机的成本价为c，甲商家售出A手机2x部，则售出B电脑x台，C耳机x副，乙商家售出A手机y部，则售出B电脑2y台，C耳机副，根据甲商家的数据可得b=2a+2c，继而根据利润率公式列式计算乙商家的即可得.
解：设A手机的成本价为a，B电脑的成本价为b，C耳机的成本价为c，甲商家售出A手机2x部，则售出B电脑x台，C耳机x副，乙商家售出A手机y部，则售出B电脑2y台，C耳机副，
由甲商家的总利润为50%，则有
40%•a•2x+60%•b•x+30%•c•x=50%(2xa+bx+cx)，
整理得，b=2a+2c，
则乙商家的总利润率为：

=
=
=
=
=56%，
故答案为：56%.
【点拨】本题考查了销售问题——商品的利润率，弄清题意，理清各量间的关系，掌握运算技巧是解题的关键.
35．①③④⑤
【分析】由乘方的运算，绝对值的意义，分式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案．
解：① 若a＋b＋c＝0，则a＋b＝，则（a＋b）3＋c3＝0；故①正确；
②若a＋b＝0，则|a|＝|－b|；但反之不成立；故②错误；
③若（c≠0），则b=a，则b－c＝a－c；故③正确；
④若|x＋1|＋x－y＋5＝0，当x≤－1时，
，则y是常数；故④正确；
⑤若|x＋1|＋x－y＋5＝0，
，
则y≥x，故⑤正确；
故答案为：①③④⑤．
【点拨】本题考查了乘方的运算，绝对值的意义，分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行判断．
36．．
【分析】设计划分成A，，三个区域的面积分别为,b,c，根据原区20%的面积分给B区，原区50%的面积错划分给了区，造成现区的面积占，两区面积和的比例达到了30%．列方程b+20%-50%b=30%(+b)，可得=2b，A区面积 2.1b，区的面积0.9b，由2（A区面积+B区面积）=C区面积，列方程2(2.1b+0.9b+25%c)=c-25%c，解得c=8b，设C区面积的25%分别给A 区的面积m, 划分给区面积为2b-m，A，两个区域的面积比变为可得m=即可．
解：解:设计划分成A，，三个区域的面积分别为，b，c，
原A区20%的面积分给B区，原区50%的面积错划分给了A区，造成现区的面积占A，两区面积和的比例达到了30%．
∴b+20%-50%b=30%(+b)，
解得=2b，
将原A区20%的面积错划分给了区，而原区50%的面积错划分给了A区，
-20%+50%b=0.8+0.5b=2.1b，
造成现区的面积b+20%-50%b=0.9b,
将区面积的25%分两部分划分给现在的A区和区, A，，三个区域的面积比变为，
2（A区面积+B区面积）=C区面积，
∴2(2.1b+0.9b+25%c)=c-25%c，
解得c=8b，
最后区划后面积为:c-25%c=6b，
原C区面积的25%为2b，
设C区面积的25%分别给A 区的面积m, 划分给区面积为2b-m，
∵A，两个区域的面积比变为，
由题意得2.1b+m=2（0.9b+2b-m），
解得m=，
工人调整时从区划分给区的面积与三个区域总面积的比为．
故答案为．
【点拨】本题考查列代数式，一元一次方程的应用，关键是理解题意找出等量关系，正确列出一元一次方程．
37．2
解：根据分式的特点，可变形为，
然后整体代入可得.
故答案为2.
38．①③
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件对各式进行逐一分析即可．
解：①正确．∵a不论为何值不论a2+2＞0，∴不论a为何值都有意义；
②错误．∵当a=﹣1时，a2﹣1=1﹣1=0，此时分式无意义，∴此结论错误；
③正确．∵若的值为负，即x﹣1＜0，即x＜1，∴此结论正确；
④错误，根据分式成立的意义及除数不能为0的条件可知，若有意义，则x的取值范围是即，x≠﹣2，x≠0且x≠﹣1，故此结论错误．
故答案为：①③．
【点拨】本题考查的是分式有意义的条件，解答此题要注意④中除数不能为0，否则会造成误解．
39．6
【解析】
试题分析：∵，
∴．
∴．
40．5
【解析】
试题分析：先根据题意得出b2﹣a2=5ab，再由分式的减法法则把原式进行化简﹣===5．
故答案为：5．
点拨：本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
41．0或4或6
【分析】分3种情况讨论：1的任何次幂；-1的偶次幂；非0数的0次幂
解：∵
当m-5=1时,m=6；
当m-5=-1时，m=4；
当m=0时，m-5≠0
故答案为0或4或6
【点拨】本题考查乘方等于1的情况，分3种情况讨论：1的任何次幂；-1的偶次幂；非0数的0次幂是关键.
42．16
【分析】判断算式a☆b中，a与b的大小，转化为对应的幂运算即可求得答案.
解：由题意可得：
[2☆（﹣4）]☆1
=2﹣4☆1
=☆1
=（）﹣1
=16，
故答案为16．
【点拨】本题考查了新定义运算、负整数指数幂，弄清题意，理解新定义运算的规则是解决此类题目的关键.
43．
【解析】
试题分析：根据幂的乘方和同底数幂相除，可得(m－1) n÷mn===.
44．-1
【解析】
试题分析：根据乘方的意义和同底数幂相乘，以及负整指数幂的性质，计算为：－52×(－5) 2×5－4=－52×5 2×5－4==-1.
45．或．
【分析】分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
解：原方程变形为，
方程去分母后得：，
整理得：，分以下两种情况：
令，，；
令，，，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
【点拨】本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于的方程是解题关键．
46．-5
解：试题分析：根据分式方程增根的产生的条件，可知x+4=0，解得x=-4，然后把分式方程化为整式方程x-1=m，解得m=-5
故答案为-5.
47．7
解：∵分式方程有增根,
∴x-7=0,
∴原方程增根为x=7,
故答案是7.
48．4．
【解析】
去分母得：7x+5(x-1)=2m-1，
因为分式方程有增根，所以x-1=0，所以x=1，
把x=1代入7x+5(x-1)=2m-1，得：7=2m-1，
解得：m=4，
故答案为4.
49．3
【分析】先去分母得到整式方程x=2（x-3）+m，整理得x+m=6，由于关于x的方程无解，则x-3=0，即x=3，然后把x=3代入x+m=6即可求出m的值．
解：去分母得x=2(x−3)+m，
整理得x+m=6，
∵关于x的方程无解.
∴x−3=0，即x=3，
∴3+m=6，
∴m=3.
故答案为3.
【点拨】此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答.
50．1或-2．
【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个a值，再根据分式方程无解的条件得出另外的a值即可．
解：，
去分母得： x(x-a)﹣x(x-1)＝3( x-1)，
整理得：（a+2）x＝3，
∴当a+2＝0，即a＝-2时，方程无解；
当a+2≠0，由分式方程无解即有增根，可得x﹣1＝0或x＝0，
把x＝1代入（a+2）x＝3，
解得：a＝1，
把x＝0代入（a+2）x＝3，
方程无解；
综上，a的值为1或-2．
故答案为：1或-2．
【点拨】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．
51．或或.
【解析】
【分析】首先解方程求得x的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或2，据此即可求解a的值．
解：去分母得，
整理得，①
当时，方程①无解，此时原分式方程无解；
当时，原方程有增根为或.
当增根为时，，解得；
当增根为时，，解得.
综上所述，或或.
【点拨】本题主要考查了方程增根产生的条件，如果方程有增根，则增根一定是能使方程的分母等于0的值．
52．4或-6
【解析】
【分析】先将分式方程化为整式方程，根据方程没有实数解会产生增根判断增根是x=3或x=-2，再把增根x=3或x=-2代入整式方程即可求出m的值．
解：方程变形为，
方程两边同时乘以去分母得：x+m+3+x-3=0；
整理得：2x+m=0
∵关于x的分式方程没有实数解.
∴分式方程有增根x=3或x=-2.
把x=3和x=-2分别代入2x+m=0中
得m=-6或m=4.
【点拨】分式方程无解问题或增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．但也要注意，有时分式方程转化成的整式方程本身没有实数根，也是导致分式方程没有实数根的一种情况，所以要考虑全面，免得漏解.
53．或
【分析】因y元买了x只铅笔，则每只铅笔元；降价20%后，每只铅笔的价格是元，依题意得（x+10）=4，变形可得x=，即可得y＜5；再由x、y均是正整数，确定y只能取3或4，由此求得x的值，即可得小明两次所买铅笔的数量.
解：因y元买了x只铅笔，则每只铅笔元；降价20%后，每只铅笔的价格是 （1-20%）元，即 元，依题意得：（x+10）=4，
∴y（x+10）=5x
∴x=，
∴5-y＞0，即y＜5；
又∵x、y均是正整数，
∴y只能取3和4；
①当y=3时， x=15，小明两次共买了铅笔：15+15+10=40（支）
②当y=4时， x=40，小明两次共买了铅笔：40+（40+10）=90（支）
故答案为40或90．
【点拨】本题考查了方程的应用，解决根据题意列出方程（x+10）=4确定x、y的值是解决问题的关键.
54．3:2.
【分析】首先设A进价为a元，则售出价为1.4a元，则每件的利润为0.4a元；B的进价为b元，则售出价为1.2b元，则每一束的利润为0.2b元；若售出B：x束，则售出A：x束，可表示出两种花的利润和进价，根据利润率=利润÷成本可列出，整理可得a=2b，再设11月2日A的数量为m束，B的数量为n束，表示出利润率为，再把a=2b代入即可得到答案．
解：设A进价为a元，则售出价为1.4a元；B的进价为b元，则售出价为1.2b元；
若售出B：x束，则售出A：x件．
∴，
解得a=2b，
设11月2日售出A的数量为m束，B的数量为n束，则有

∵a=2b，代入上式得，
解得，，即m:n=3:2.
故答案为3:2.
【点拨】此题主要考查了分式方程的应用，关键是表示出两种商品的利润和进价，表示出利润率．
55．10
【分析】设分别打开甲，乙，丙，丁四个进水管，注满全池所用的时间分别为a分钟，b分钟，c分钟，d分钟；根据题意，结合分式加法运算性质，通过列分式方程并求解，即可得到答案．
解：设分别打开甲，乙，丙，丁四个进水管，注满全池所用的时间分别为a分钟，b分钟，c分钟，d分钟；
根据题意得：
三式相加得：
∴
∴四管齐开，需要10分钟可以注满全池
故答案为：10．
【点拨】本题考查分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加法运算和分式方程的性质，并运用到实际问题中，从而完成求解．
56．30， 999
解：结合图形观察数字，发现：a3=12=3×4，a4=20=4×5，a5=5×6=30，…进一步得到an=n(n+1)；在计算的时候，根据=-，=-…进行简便计算得出关于n的方程求解即可．
解：观察图形可得：
图（1）总边数为a3=12=3×4，
图（2）总边数为a4=20=4×5，
……
以此类推可得规律：图形总边数=(基础图形的边数)×(基础图形的边数+1)，
即an=n×(n+1)；
当n=5时，a5=5×6=30，
又，
所以
=
=
=，
所以n=999．
故答案为30，999．
点拨：此题考查了图形的变化规律题，注意从特殊推广到一般，解方程时能够利用分数的加减法进行简便计算．