专题21.17 《一元二次方程》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.17 《一元二次方程》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1.了解一元二次方程及有关概念；
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；
3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．
【知识要点】
要点一、一元二次方程的有关概念
1. 一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
　
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
特别说明：
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
要点二、一元二次方程的解法
1．基本思想
一元二次方程一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
特别说明：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解
　 法，再考虑用公式法．
要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，.
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
特别说明：
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
　　(1)不解方程判定方程根的情况；
　　(2)根据参系数的性质确定根的范围；
　　(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
要点四、列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
　　一是整体地、系统地审题；
　　二是把握问题中的等量关系；
　　三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
　　　答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
　　数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
特别说明：
　　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.
【典型例题】
类型一、一元二次方程的有关概念
1、若是一元二次方程的根，求的值．
【答案】
【分析】依题意，是方程的根，则可得，然后对进行整体代入代数式中求解即可．
解：由题可得：是方程的根，
∴；
∴，将其代入代数式中：
∴原式＝
＝
＝．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的性质，关键在于构造整体代入的等式．
举一反三：
【变式1】 向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【答案】（1）m=1，解得x1=1，x2=﹣；（2）m=0时解得x=﹣1;m=﹣1时，解得x=﹣．
【试题分析】
（1）根据一元二次方程的定义，要求含有二次项，且二次项系数不为0，即，解得m=1，将m=1代入（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0，此时方程为2x2-x-1=0，解得x1=1，x2=-；
（2）根据一元一次方程的定义，要求未知数的最高次为1，该题目分类讨论：当（m+1）存在的话，则m2+1=1解得m=0，此时方程为-x-1=0，解得x=-1；当（m+1）不存在的话，则m+1=0时，解得m=-1，此时方程为-3x-1=0，解得x=-．
【试题解析】
（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m=1，此时方程为2x2-x-1=0，解得x1=1，x2=-；
（2）由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为-x-1=0，解得x=-1，
当m+1=0时，解得m=-1，此时方程为-3x-1=0，解得x=-．
【变式2】 先化简，再求值：¸+2m，其中m是方程的根．
【答案】，-5
【分析】首先根据分式的混合运算法则化简，然后根据m是方程x2-x-5=0的根，代入即可得到关于m的式子，代入分式化简后的结果即可求解．
解：
=
=
=
=
=
∵m是方程的根，
∴，
∴==-5．
【点拨】此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
类型二、一元二次方程的解法
2、解一元二次方程
① ②
③ ④．
【答案】（1），（2），（3），（4），
【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用直接开平方法解方程；（3）利用配方法解方程；
（4）先变形得到，然后利用因式分解法解方程.
解：
或，
所以，；
，
，
所以，；
，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次 ，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.也考查了配方法和公式法解一元二次方程.
举一反三：
【变式1】 解一元二次方程

【答案】（1）x1＝1，x2＝3，（2）
【分析】
（1）根据因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法求一元二次方程即可．
解：（1）

即
∴或
∴
（2）



【点拨】本题主要考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法并灵活应用是解题的关键．
【变式2】若关于的一元二次方程的解为，，则关于的一元二次方程的解为________．
【答案】，
【分析】令，直接利用换元法即可得．
解：令
则方程可变形为
由题意得：关于t的方程的解为，
即，
解得，
则关于的一元二次方程的解为，
故答案为：，．
【点拨】本题考查了利用换元法解一元二次方程，掌握换元法是解题关键．
【变式3】 关于的一元二次方程的解是，则方程的解是_______．
【答案】x1＝0，x2＝2
【分析】根据一元二次方程a（x+2）2+b=0的解是x1=-3，x2=-1，求出二次函数y=a（x+2）2+b与x轴的交点坐标，从而得出二次函数y=a（x-1）2+b与x轴的交点坐标，即可得出方程a（x-1）2+b=0的解．
解：∵一元二次方程a（x+2）2+b=0的解是x1=-3，x2=-1，
∴二次函数y=a（x+2）2+b与x轴的交点坐标是（-3，0）（-1，0），
∴二次函数y=a（x-1）2+b与x轴的交点坐标是（0，0）（2，0），
∴方程a（x-1）2+b=0的解是x1=0，x2=2，
故答案为：x1=0，x2=2．
【点拨】此题主要考查了解一元二次方程，用到的知识点是二次函数的移动、二次函数与一元二次方程的关系，关键是掌握一元二次方程的解与二次函数的关系．
类型三、一元二次方程根的判别式的应用
3、关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）直接利用根的判别式，判断△≥0即可；（2）利用求根公式求得两个，根据有一个根小于1列出不等式求解即可．
（1）证明：，



∵无论m取何值时，，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解：，
．
．
∵此方程有一个根小于1，且．
．
．
【点拨】本题考查根的判别式和用公式法解一元二次方程．解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法求出一元二次方程的根．
举一反三：
【变式1】 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若且，试求整数的值．
【答案】（1），且；（2）
【分析】（1）由题意根据方程有两个不相等的实数根，其根的判别式大于0进行分析计算即可；
（2）根据题意先求出关于的一元二次方程的解，进而代入且进行分析计算得出整数的值．
解：判别式

由题意
同时，二次项系数

的取值范围是，且 .
由，当时，方程的根





又



取整数
【点拨】本题考查一元二次方程相关，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程的解法是解题的关键.
【变式2】已知关于的一元二次方程
⑴说明该方程根的情况．
⑵若（为整数），且方程有两个整数根，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）12
【分析】
（1）先计算判别式的值得到△＝4（m－3）2－4（m2－8m＋8），化简后得到△＝8m＋4，再根据8m＋4的正负性即可判断方程根的情况；
（2）由于4＜m＜24且m为整数，则根据求根公式得到2m＋1为完全平方数时，方程可能有整数根，则2m＋1＝16或25或36，再根据m为整数可求得m＝12时，方程有两个整数根．
（1）解：∵a＝1，b＝－2(m－3)，c＝m2－8m＋8，
∴△＝4（m－3）2－4（m2－8m＋8）
＝8m＋4，
当8m＋4＞0时，m＞，此时方程有两个不相等的实数根，
当8m＋4＝0时，m＝，此时方程有两个相等的实数根，
当8m＋4＜0时，m＜，此时方程没有实数根；
（2）解：∵a＝1，b＝－2(m－3)，c＝m2－8m＋8，△＝8m＋4，
∴


∵方程有两个整数根，
∴2m＋1为完全平方数
∵4＜m＜24，
∴9＜2m＋1＜49，
∴2m＋1＝16或25或36，
∴m＝7.5或12或17.5，
又∵m为整数，
∴m＝12．
【点拨】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2－4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【变式3】 阅读理解：
如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BDE的三边长，易知，这时我们把形如的方程称为关于x的“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）判断方程是不是“勾系一元二次方程”？ ．（填“是”或“不是”）
（2）写出一个“勾系一元二次方程” ；
（3）证明：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根．

【答案】（1）是；（2） (答案不唯一)；（3）详见解析
【分析】
（1）根据“勾系一元二次方程”的定义判断即可；
（2）根据勾股定理，找出一组勾股数，再根据“勾系一元二次方程”的定义即可写出结论；
（3）求出，然后根据勾股定理和平方的非负性即可证出结论．
解：(1) 由方程可知：a=，b=
由勾股定理可得c=
则
∴方程是“勾系一元二次方程”
故答案为：是；
(2) 当a=3，b=4，c=5时，
勾系一元二次方程为；
故答案为： (答案不唯一)
(3)证明：


关于的“勾系一元二次方程”必有实数根
【点拨】此题考查的是勾股定理的应用、一元二次方程根的情况和完全平方公式，掌握勾股定理、一元二次方程根的情况与△的关系和完全平方公式是解决此题的关键．
类型四、一元二次方程的根与系数的关系
4、已知、是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．
【答案】的值为1.
【分析】由题意先根据根与系数的关系得到，，再变形已知条件得到，解得，然后根据判别式的意义确定k的值．
解：由已知定理得：，，
∴，
即，解得：，
当时，△=，
∴舍去；
当时， △=，
∴的值为1．
【点拨】本题考查根与系数的关系与根的判别式，注意掌握若、是一元二次方程的两根时，．
举一反三：
【变式1】 （1）解方程；
（2）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰有点在函数的图象上，求满足条件的k的值．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）利用公式法求解；
（2）根据“x1、x2为横坐标、纵坐标的点（x1，x2）恰有点在函数y=x+6的图象上”，得到x1和x2的关系式，根据根与系数的关系，列出关于k的方程，解之，结合（1）中k得取值范围，即可得到答案．
【详解】
解：（1），
∵a=1，b=-1，c=-1，
∴，
∴，
∴，；
（2）根据题意得：
x2=x1+6，x2-x1=6，
整理得：（x1+x2）2-4x1x2=36，
∴x1+x2=2（k-3），x1x2=k2-4k-1，
则4（k-3）2-4（k2-4k-1）=36，
整理得：-2k+1=0，
解得：k=（符合题意），
即满足条件的k的值为．
【点拨】题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确掌握根与系数的关系和代入法．
【变式2】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果符合条件的最大整数k是关于y的一元二次方程的一个根，求该方程的另一个根．
【答案】（1）k＜4且k≠2；（2）-1
【分析】
（1）根据题意可得根的判别式△＞0，列出不等式求解即可；
（2）根据k的最大值为3，根据题意先求出m的值，然后解一元二次方程即可求得答案．
解：（1）由该一元二次方程有两个不相等的实数根得
且△
解得：k < 4
由二次项系数不为0得
，即；
∴；
（2）由题意的，
把y = 3 代入得
，
解得：；
把带入得
，
解得：，
∴该方程另一根；
【点拨】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．
【变式3】 已知，关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是负数，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，解不等式求得的取值范围即可．
（1）证明：，
无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴ ，
∴ ，，
方程有一个根是负数，
，
解得，．
的取值范围为．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，熟记一元二次方程的求根公式是解题的关键．
类型五、一元二次方程的应用
5、近日，海南省三亚市某饭店海鲜欺客宰客事件引起社会广泛关注，三亚市政府高度重视，每天公布海鲜排档鲜活海鲜的调控价格，对市场进行有效监管，杜绝此类事件再次发生．某海鲜排档购进一批大龙虾和海胆，它们的进货单价之和是360元．大龙虾零售单价比进货单价多40元，海胆零售单价比进货单价的1.5倍少60元，按零售单价购买大龙虾2只和海胆4个，共需要1200元．
（1）求大龙虾和海胆的进货单价；
（2）该海鲜排档平均每天卖出大龙虾20只和海胆12个．经调查发现，大龙虾零售单价每降低1元，平均每天就可多售出大龙虾2只，海鲜排档决定把大龙虾的零售单价下降a（a＞0）元，海胆的零售单价和销量都不变，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元？
【答案】（1）大龙虾进货单价为200元，海胆的进货单价为160元；（2）15
【分析】
（1）设大龙虾进货单价为元，海胆的进货单价为元，由它们的进货单价之和是360元和按零售单价购买大龙虾2只和海胆4个，共需要1200元，列出方程组，即可求解；
（2）由海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元，列出方程可求解．
解：（1）设大龙虾进货单价为元，海胆的进货单价为元，依题意有
，
解得．
答：大龙虾进货单价为200元，海胆的进货单价为160元；
（2）依题意有，
解得．
故当为15时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
举一反三：
【变式1】 如图1，中，于，且，

（1）试说明是等腰三角形；
（2）已知，如图2，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为（秒），
①若的边与平行，求的值；
②若点是边的中点，问在点运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①t值为5或6；②9或10或
【分析】
（1）设CD=2x，BD=3x，AD=4x，则BC=5x，由勾股定理求出AB，即可得出结论；
（2）由△ABC的面积求出CD、BD、AD、AB；①当MN∥AC时，BM=BN；当DM∥AC时，BD=BM；得出方程，解方程即可；
②由直角三角形的性质得出DE=5，根据题意得出当点N在DA上，即4＜t≤10时，△NDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DN；如果ED=EN；如果ND=NE；分别得出方程，解方程即可．
解：（1）证明：设CD=2x，BD=3x，AD=4x，
则BC=5x，
在Rt△ABD中，AB==5x，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）①S△ABC=×5x×4x=40cm2，而x＞0，
∴x=2cm，
则CD=4cm，BD=6cm，AD=8cm，AB=10cm．
①当MN∥AC时，BM=BN，
即10-t=t，
∴t=5；
当DM∥AC时，BD=BM，
得：t=6；
∴若△DMN的边与AC平行时，t值为5或6．
②∵点E是边AB的中点，AD⊥BC，
∴DE=AB=5，
当点N在CD上，即0≤t≤4时，△NDE为钝角三角形，但DN＜DE；
当点N在BD上，即4＜t≤10时，△NDE为等腰三角形，有3种可能．
如果DE=DN，则t-4=5，
∴t=9；
如果ED=EN，则点N运动到点B，
∴t=10；
如果ND=NE=t-4，
过点E作EF⊥BC于F，如图所示：
∵ED=EB，
∴DF=BF=BD=3，
在Rt△BEF中，EF==4；
∵CN=t，CF=7，
∴FN=t-7，
则在Rt△EFN中，（t-4）2-（t-7）2=42，
∴t=，
综上所述，符合要求的t值为9或10或．

【点拨】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．
【变式2】每年的“双十二”接近寒冬，各商家抓住这一季节交替之际，许多商家利用这一契机进行了打折销售活动．某淘宝网店推出了甲、乙两款取暖器，已知甲款取暖器每台的进价为40元，标价为60元；乙款取暖器每台的进价为120元，标价为160元．
（1）若该网店在去年“双十二”当天按标价销售，共卖了200台甲、乙两款取暖器，结果发现利润不低于6400元，求乙款取暖器至少卖了多少台？
（2）现在正值销售旺季，为减少乙款取暖器的库存，该网店决定今年的“双十二”当天进行促销活动．甲款取暖器的售价每台在标价的基础上提高，乙款取暖器售价每台在标价的基础上降低，在实际销售过程中甲款取暖器销售量比（1）中的甲款最多销售量增加了；乙款取暖器销售量比（1）中的乙款最少销售量增加了，最终乙款取暖器的销售额是甲款取暖器的销售额4倍，求m的值．
【答案】（1）120台；（2）
【分析】
（1）设乙款取暖器卖了x台，则甲款取暖器卖了（200-x）台，根据总利润=每台的利润×销售数量，结合总利润不低于6400元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（2）利用销售总额=销售单价×销售数量，结合乙款取暖器的销售额是甲款取暖器的销售额4倍，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）设乙款取暖器卖了x台，则甲款取暖器卖了（200-x）台，
依题意得：（60-40）（200-x）+（160-120）x≥6400，
解得：x≥120．
答：乙款取暖器至少卖了120台．
（2）依题意得：160（1-m%）×120（1+2m%）=4×60（1+m%）×（200-120）（1+m%），
整理得：m2-m=0，
解得：m1=，m2=0（不合题意，舍去）．
答：m的值为．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式3】 阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．
∵x为实数，
∴△＝＝﹣y+4≥0，
∴y≤4．因此，y的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．
【答案】
【分析】根据材料内容，可将原函数转换为，继而根据△≥0，即可得出y的最小值．
解：将原函数转化成x的一元二次方程，得，
∵x为实数，
∴ ，
∴，
因此y的最小值为．
【点拨】此题考查一元二次方程的应用，正确理解材料中的解题方法和思路是解题的关键．