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专题22.46 《二次函数》中考真题专练（巩固篇）（专项练习2）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题22.46 《二次函数》中考真题专练（巩固篇）（专项练习2）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共58页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题22.46 《二次函数》中考真题专练（巩固篇）（专项练习2）
一、单选题
1．（2020·广东中考真题）把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·山东东营·）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·广西贺州·中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
4．（2021·湖南株洲·中考真题）二次函数的图像如图所示，点 在轴的正半轴上，且，设，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·广东深圳·中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·四川广安·中考真题）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
8．（2021·广东中考真题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
9．（2021·江苏无锡·）设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”．则下列结论：
①函数，在上是“逼近函数”；
②函数，在上是“逼近函数”；
③是函数，的“逼近区间”；
④是函数，的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
10．（2021·湖北鄂州·）二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2021·江苏苏州·中考真题）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
12．（2021·四川遂宁·）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．（2021·四川资阳·）已知A、B两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于、两点．若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（2020·四川广安·中考真题）二次函数y=ax2十bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③c-4a=1；④；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．（2020·辽宁阜新·中考真题）已知二次函数 ，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．图象的顶点坐标是
C．当 时，y随x的增大而减少 D．图象与x轴有唯一交点
16．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C．D．
17．（2020·辽宁大连·中考真题）抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
18．（2020·湖北孝感·中考真题）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
19．（2020·四川眉山·中考真题）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（2019·山东中考真题）如图，是二次函数图象的一部分，下列结论中：
①；②；③有两个相等的实数根；④.其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
21．（2020·辽宁铁岭·中考真题）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：①，②，③，④．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2020·山东威海·中考真题）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点．若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ）
A．二次函数的最大值为
B．
C．
D．
23．（2020·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是边长为1的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接．设，四边形的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2020·山东东营·中考真题）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，其对称轴与轴交于点其中两点的横坐标分别为和下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．当时，随的增大而减小
25．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有以下结论：①；②若点，点是函数图象上的两点，则；③；④可以是等腰直角三形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．（2020·广西玉林·中考真题）把二次函数的图象作关于x轴的对称变换 ，所得图象的解析式为，若，则m的最大值为（ ）
A． B．0 C．2 D．6
27．（2020·贵州毕节·中考真题）已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
28．（2020·山西中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
29．（2020·湖北恩施·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴相交于、两点．则以下结论：①；②二次函数的图象的对称轴为；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
30．（2020·黑龙江朝鲜族学校中考真题）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0). 下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若，是抛物线上的两点，则y1m(am+b) (其中m≠)．其中说法正确的是（ ）
A．①②④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．③④⑤
31．（2020·湖北随州·中考真题）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有2个；④当是直角三角形时，．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
32．（2021·山东济宁·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下面结论：
①；
②；
③；
④方程必有一个根大于且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
33．（2020·黑龙江大庆·）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；
②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_________．
34．（2021·山东泰安·中考真题）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．
35．（2020·四川巴中·中考真题）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径，；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为_________．
36．（2021·山东菏泽·中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
37．（2021·安徽中考真题）设抛物线，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点，则______；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．
38．（2020·广西贺州·中考真题）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．
39．（2018·山东泰安·中考真题）如图，在中，，，，点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为__________．
40．（2020·山东淄博·中考真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是_____个．
41．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．
42．（2020·宁夏中考真题）若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____．
43．（2020·湖北荆州·中考真题）我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．
44．（2020·广东广州·中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当______时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当_____时，最小．
45．（2020·贵州黔东南·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____．
46．（2020·湖北襄阳·中考真题）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝15t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是_______秒．
47．（2018·广西河池·中考真题）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于M，若AB＝6，则OM的长为__．
48．（2019·江苏镇江·中考真题）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是_________.
49．（2019·四川广元·中考真题）如图，抛物线过点，，且顶点在第一象限，设，则M的取值范围是___．
50．（2019·辽宁大连·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于两点，与轴相交于点，点在抛物线上，且．与轴相交于点，过点的直线平行于轴，与拋物线相交于两点，则线段的长为_____．
51．（2019·湖南常德·中考真题）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为P是二次函数的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是_____．（填序号）
三、解答题
52．（2021·辽宁锦州·中考真题）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50＋0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
53．（2021·湖北荆门·中考真题）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
54．（2021·江苏泰州·中考真题）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
55．（2021·河南）如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．
（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
56．（2018·天津中考真题）在平面直角坐标系中，点，点.已知抛物线（是常数），顶点为.
（Ⅰ）当抛物线经过点时，求顶点的坐标；
（Ⅱ）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ） 无论取何值，该抛物线都经过定点.当时，求抛物线的解析式.
参考答案
1．C
【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
解：把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点．
2．C
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
解：A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．
3．D
【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
解：与关于y轴对称
抛物线的对称轴为y轴，
因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称
设与交点为，则，
即在点之间的函数图像满足题意
的解集为：
故选D．
【点拨】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键．
4．D
【分析】由图像可得，，当，，并与轴交于之间，得，据悉可得，据此求解即可．
解：由图像可知，图像开口向下，并与轴相交于正半轴，
∴，，
当，，
∵，并由图像可得，二次函数与轴交于之间，
∴
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．
5．A
【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．
解：二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
6．C
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴交点可得a，b，c的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x轴的交点可得当x=-2时，y＞0，可判断②；再根据x=-1时，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，从而判断③；最后根据x=1时，y=a+b+c，结合b=2a，可判断④．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-1，即，
∴b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
则与x轴的另一个交点在-2和-3之间，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误；
∵x=-1时，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，
∴a-b+c≥ax2+bx+c，
∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确；
∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，
∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确；
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
7．C
【分析】先由直线过一、二、三象限，求出，通过判断方程实数解的个数可判断直线与抛物线交点的个数．
解：∵直线过一、二、三象限，
∴．
由题意得：，
即，
∵△，
∴此方程有两个不相等的实数解．
∴直线与抛物线的交点个数为2个．
故选：C．
【点拨】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．
8．C
【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表达式中得：
，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．
解：∵p=5，c=4，
∴a+b=2p-c=6
∴
由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：
设，当取得最大值时，S也取得最大值
∵
∴当a=3时，取得最大值4
∴S的最大值为
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．
9．A
【分析】分别求出的函数表达式，再在各个x所在的范围内，求出的范围，逐一判断各个选项，即可求解．
解：①∵，，
∴，当时，，
∴函数，在上不是“逼近函数”；
②∵，，
∴，当时，，
函数，在上是“逼近函数”；
③∵，，
∴，当时，，
∴是函数，的“逼近区间”；
④∵，，
∴，当时，，
∴不是函数，的“逼近区间”．
故选A
【点拨】本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键．
10．C
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．
解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴为直线x= =1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，
∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；
③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线经过点，
∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点，
∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），
∴一元二次方程的两根分别为，5，
故④正确，
综上，上述结论中正确结论有①③④，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．
11．B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
解：函数向右平移3个单位，得：；
再向上平移1个单位，得：+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴+1即
解得：或
∵抛物线的对称轴在轴右侧
∴＞0
∴＜0
∴
故选：B．
【点拨】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
12．A
【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得，则，根据可得，代入变形可对③进行判断；当时，的值最大，即当时，即>，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
解：①∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点
∴>0
∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴
由图象得，当时，，
∴
∴，故③正确；
④当时，的值最大，
∴当时，>，
∴（），
∵b＞0，
∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
13．C
【分析】先根据题意画出函数的图象，再结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．
解：由题意得：线段（除外）位于第四象限，
过点且平行轴的直线在轴的下方，
抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，
，
画出函数图象如下：
结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，
即，解得，
又，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数与一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质，以及图象法是解题关键．
14．B
【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，从而判断出a、b的符号，判断出与y轴的交点即可求出c的符号，从而判断①；由图象可知：当x=-1时，y＜0，代入解析式即可判断②；根据抛物线的顶点坐标即可判断③；根据抛物线与x轴交点个数即可判断④；根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断最值，从而判断⑤．
解：由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，
∴a＜0，b＞0
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间
∴另一个交点在（0,0）和（1,0）之间
∴抛物线与y轴交于负半轴
∴c＜0
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知：当x=-1时，y＜0
∴，故②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（2,1）
∴
由①，得b=-4a
将b=-4a代入②，得
整理，得c-4a=1，故③正确；
∵抛物线与x轴交于两点
∴
∴，故④正确；
∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2,1）
∴（m为任意实数），故⑤正确．
综上：正确的有3个
故选B．
【点拨】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解题关键．
15．A
【分析】由抛物线的二次项的系数判断A；把抛物线写成顶点式，可判断B；由得抛物线的图像在对称轴的左侧，从而得到y随x的增大而增大，可判断C；利用的值，判断D．
解：∵＜，
∴抛物线的开口向下，故A正确；
∵
∴抛物线的顶点为：，故B错误；
当，即在抛物线的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，故C错误；
∵
∴＞，
∴抛物线与轴有两个交点，故D错误．
故选：A．
【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向，顶点坐标，增减性，及与轴的交点个数的判断方法是解题的关键．
16．B
【分析】根据点N的运动情况，分点N在AD，DC，CB上三种情况讨论，分别写出每种情况x和y之间的函数关系式，即可确定图象．
解：当点N在AD上时，即0≤x＜2
∵AM＝x，AN＝2x，
∴，
此时二次项系数大于0，
∴该部分函数图象开口向上，
当点N在DC上时，即2≤x＜4，
此时底边AM＝x，高AD＝4，
∴y＝＝2x，
∴该部分图象为直线段，
当点N在CB上时，即4≤x＜6时，
此时底边AM＝x，高BN＝12﹣2x，
∴y＝，
∵﹣1＜0，
∴该部分函数图象开口向下，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了函数图像综合，准确分析判断是解题的关键．
17．B
【分析】由函数的对称性可得结论．
解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
∴，解得x=3,
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键．
18．A
【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线的解析式．
解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：;
由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：.
故选：A．
【点拨】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数．
19．D
【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项．
解：
∵图象与x轴有交点，
∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0
解得a≥-2；
∵抛物线的对称轴为直线
抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是-2≤a≤3．
故选：D．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
20．D
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交点为(0,-1)
∴a＞0，c＜0
∵对称轴＞0
∴b＜0
∴
∴①正确；
②对称轴为x=t,1＜t＜2，抛物线与x轴的交点为x1,x2.
其中x1为（m,0）, x2.为(n,0)
由图可知2＜m＜3，可知n>-1，
则当x=-1时，y＞0，
则
则②错误；
③由图可知c=-1
△=b2—4a(c+1)=b2,且b≠0
∴③错误
④由图可知，对称轴x=
且1＜＜2
∴
故④正确；
故选D.
【点拨】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键.
21．B
【分析】由开口方向，对称轴方程，与轴的交点坐标判断的符号，从而可判断①②，利用与轴的交点位置得到＞，结合＜ 可判断③，利用当 结合图像与对称轴可判断④．
解：由函数图像的开口向下得＜
由对称轴为＞ 所以＞
由函数与轴交于正半轴，所以＞
＜ 故①错误；
，
故②正确；
由交点位置可得：＞，
＜
＞，
＜
＜ 故③错误；
由图像知：当
此时点在第三象限，
＜
＜ 故④正确；
综上：正确的有：②④，
故选B．
【点拨】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号，掌握以上知识是解题的关键．
22．D
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．
解：抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（−4，0），对称轴为直线x＝−1，
因此有：x＝−1＝−，即2a−b＝0，因此选项D符合题意；
当x＝−1时，y＝a−b＋c的值最大，选项A不符合题意；
由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2−4ac＞0，故选项C不符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．
23．B
【分析】连接DG，根据已知条件证明所求得四边形是平行四边形，从而可得，再分类讨论即可得到结果；
解：连接DG，如图所示，
由题可得DE=GE，AE=AF，∠DAE=∠BAF=90°,
∴△DAE≌△BAF，
∴DE=BF,∠EDA=∠FBA,又∵DE=EG,
∴GE=BF,
∵∠GEB+∠DEA=∠EDA+∠DEA =90°,
∴∠GEB=∠EDA，
∴∠GEB=∠FBA，
∴GE//BF,且GE=BF，
∴四边形GEFB是平行四边形，
∵，
当
∴，，
，
∴，
当x＞1时，
∴，，
，
∴，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了函数图像的判断，准确根据图象进行分析是解题的关键．
24．B
【分析】根据开口方向、对称轴、与轴交点即可分别判断符号，进而判断A选项；由两点的横坐标分别为和可得两个方程，判断B选项；由当时判断C选项；由二次函数对称轴及增减性判断D选项.
解：∵开口向下，与轴交点在正半轴
∴
∵两点的横坐标分别为和
∴
∴
∴，故A选项正确，B选项错误
∵两点的横坐标分别为和
∴B点横坐标为3
∴当时，故C选项正确
∵当时，随的增大而减小
∴当时，随的增大而减小，故D选项正确
故选：B.
【点拨】本题考查二次函数的图像和性质，重点考查二次函数系数符号与图象的关系，熟记二次函数图象性质是解题的关键.
25．B
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x=− ＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②由于＜2＜，且（，y1）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y1），
∵＜，
∴y1＜y2，故②正确，
③∵−=2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴，故③正确
④根据抛物线的对称性可知，AB=6，
∴，
假定抛物线经过（0，2），（-1，0），（5，0），
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，则a=-，
∴y=-(x-2)2+
∵＞3
∴不可以是等腰直角三形．故④错误．
所以正确的是②③，共2个．
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
26．D
【分析】先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为，再根据对称轴、与y轴的交点问题可求出，，然后代入解一元一次不等式即可得．
解：由二次函数图形的变换规律得：把二次函数的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为
则与相同
由对称轴得：，解得
当时，由函数得；由函数得
则，即
将，代入得：
整理得：
解得
则m的最大值为6
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与y轴的交点）、一元一次不等式等知识点，依据二次函数的图象与性质求出b、c与a的关系等式是解题关键．
27．B
【分析】利用函数图象对称轴位置及抛物线与轴交点的位置，分别判断四个结论正确性．
解：，是一元二次方程的两个根，
、是抛物线与轴交点的横坐标，
抛物线的对称轴为，
，即，故选项错误；
由图象可知，，
，
解得：，故选项正确；
抛物线与轴有两个交点，
，故选项错误；
由对称轴可知，可知，故选项错误．
故选：．
【点拨】主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
28．C
【分析】将=，=代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
解：依题意得：=，=，
把=，=代入得
当时，
故小球达到的离地面的最大高度为：
故选：C
【点拨】本题考查了二次函数的性质的应用利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键属于基础题．
29．C
【分析】根据二次函数的图像性质逐个分析即可．
解：对于①：二次函数开口向下，故a<0，与y轴的交点在y的正半轴，故c>0，故ac<0，故①错误；
对于②：二次函数的图像与轴相交于、，由对称性可知，其对称轴为：，故②错误；
对于③：设二次函数的交点式为，比较一般式与交点式的系数可知：，故，故③正确；
对于④：当时对应的，观察图像可知时对应的函数图像的值在轴上方，故，故④正确．
∴只有③④是正确的．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图像性质是解决此类题的关键．
30．A
【分析】根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与轴的交点在轴上方得到，则，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出，则得到，于是可对②进行判断；由于经过点，则得到，则可对③进行判断；通过点，和点，离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线，开口向下，得到当时，有最大值，所以（其中，由代入则可对⑤进行判断．
解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以①正确；
对称轴为，且经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
，所以②正确；
抛物线经过点，
时，，
，所以③错误；
点，离对称轴要比点，离对称轴要远，
，所以④正确．
抛物线的对称轴为直线，
当时，有最大值，
（其中，
（其中，
，
，
，所以⑤正确；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）．抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
31．B
【分析】根据二次函数对称轴的位置可判断；②把两个点代入解析式可得到方程组，解出B与C的关系即可；③由图象可知，，从而得以判断；④根据直角三角形的
解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴二次函数的对称轴为，
即，
∴．
故①正确；
∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故②错误；
由图象可知，当是等腰三角形时，
，只能是或，故a有两个值，
故③正确；
∵是直角三角形，
∴分两种情况或，
得到的a有两个值，
故④错误；
故答案选B．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，准确分析判断是解题的关键．
32．①②④．
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．
解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；
∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴y=a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③错误；
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
33．①③④
【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
解：根据题意，∵一元二次方程，
∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；
抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；
由，则，解得：或；故④正确；
∴正确的结论有①③④；
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．
34．②④
【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．
解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣=1，即b=﹣2a＞0
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故②正确；
根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由得，
根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点，
∴有实数根，故④正确，
综上，正确的为②④，
故答案为：②④．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键．
35．
【分析】记AB与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径AB＝2，OE＝2得出点B（1，1），由点B坐标求出直线BC解析式，据此得出点C坐标，继而得出点D坐标，将点D坐标代入右侧抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+1，求出a的值即可得出答案．
解：记AB与y轴的交点为F，
∵AB＝2，且半圆关于y轴对称，
∴FA＝FB＝FE＝1，
∵OE＝2，
∴，
则右侧抛物线的顶点B坐标为，
将点代入得，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴，
则，
设右侧抛物线解析式为，
将点代入解析式得，
解得，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据轴对称图形的性质得出点B坐标及熟练运用待定系数法求函数解析式．
36．①②③．
【分析】利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．
解：当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；
当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，
当时，，函数图象过原点，故②正确；
函数
当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；
当时，函数图像开口向下，
对称轴为：
∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故答案是：①②③．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．
37．0 2
【分析】（1）直接将点代入计算即可
（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值
解：（1）将代入得：
故答案为：0
（2）根据题意可得新的函数解析式为：
由抛物线顶点坐标
得新抛物线顶点的纵坐标为：
∵
∴当a=1时，有最大值为8，
∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是
故答案为：2
【点拨】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法
38．10．
【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令y=0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．
解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：
由题意可知，点，点，代入，得：
，
解得．
∴，
当时，，
解得，（不符合题意，舍去）．
∴该学生推铅球的成绩为10m．
故答案为：10．
【点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
39．
【解析】
分析：由=，CD=x，得到DE=，CE=，则BE=10－，由ΔDEB的面积S等于△BDE面积的一半，即可得出结论．
详解：∵DE⊥BC，垂足为E，∴tan∠C==，CD=x，∴DE=，CE=，则BE=10－，∴S=S△BED=（10－）•
化简得：．
故答案为．
点睛：本题考查了动点问题的函数解析式，解题的关键是设法将BE与DE都用含有x的代数式表示．
40．210
解：根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．
【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号
在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1
n﹣1
2
（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3
2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4
3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5
4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
…
…
n
0
由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的最值在x＝﹣时取得．
41．
【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决．
解：点的坐标为，点的坐标为，
，
抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
抛物线，
解得，．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
42．
【分析】根据二次函数的图象与x轴有两个交点，可知判别式△﹥0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．
解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=﹥0，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．
43．或或
【分析】将关联数为代入函数得到：，由题意将y=0和x=0代入即可．
解：将关联数为代入函数得到：
，
∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），
∴y=0，即，
因式分解得，
又∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点，
即
∴m=1，
∴，
与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，
即坐标为或，
与y轴交点即x=0解得y=2，
即坐标为，
∴这个函数图象上整交点的坐标为或或；
故答案为：或或．
【点拨】此题考查二次函数相关知识，涉及一元二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴交点的求解办法，难度一般，计算较多．
44．10.0； ．
【分析】（1）把整理得：，设，利用二次函数性质求出当时有最小值；
（2）把整理得：， 设，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时的值．
解：（1）整理得：，
设，
由二次函数的性质可知：当时，函数有最小值，
即：当时，的值最小，
故答案为：10.0；
（2）整理得：，
设，由二次函数性质可知：
当时，有最小值，
即：当时，的值最小，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数模型的应用，关键是设，整理成二次函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可．
45．﹣3＜x＜1
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点拨】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
46．1.25
【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，
∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．
故答案为：1.25．
【点拨】考核知识点:二次函数应用.理解函数最值是关键.
47．9
【分析】先根据“与x轴只有一个交点”求出b和c的关系式，设点A、B的坐标分别为和，则m和n可以看成是关于x的方程的两个根，又因，结合方程的根即可求解出h的值，即OM的长.
解：抛物线与x轴只有一个交点，则
设，A、B点的横坐标分别为m、n，则A和B的坐标为和
由题意得：m和n是关于x的方程的两个根
则
又
解得：
即OM的长为9.
【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题关键.
48．
【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把x=代入代数式即可求得．
解：∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，
∴，顶点为（-2,1）
∴由题意可知a>0,
∵线段AB的长不大于4，
∴4a+1≥3
∴a≥
∴a2+a+1的最小值为：（）2++1=；
故答案为．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．
49．.
【分析】将（-1，0）与（0，2）代入y=ax2+bx+c，可知b=a+2，利用对称轴可知：a＞-2，从而可知M的取值范围．
解：将与代入，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为.
【点拨】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
50．
【解析】
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C，D的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P，Q的坐标，进而可求出线段PQ的长．
解：由图可知，
当时，，
解得：，，
∴点的坐标为；
当时，，
∴点的坐标为(0，2)；
当时，，
解得：，，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
∴直线的解析式为．
当时，，
∴点的坐标为．
当时，，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点P，Q的坐标是解题的关键．
51．①②④
【解析】
【分析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点，则，由勾股定理可得，和，所以四边形PMNQ是广义菱形．④正确；
解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点，则，
∴，，
∵点P在第一象限，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形PMNQ是广义菱形．
④正确；
故答案为：①②④；
【点拨】本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．
52．（1）；（2）；（3）原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元
【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式；
（3）设销售总利润为W，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为，
将（20，15），（30，12.5）代入，
可得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）设销售收入为P（万元），
∴，
∴P与x之间的函数关系式为；
（3）设销售总利润为W，
∴，
整理，可得：，
∵﹣＜0，
∴当时，W有最大值为，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学思想，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．
53．（1）；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）
【分析】（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，再由表格数据求出，得到，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；
（3）根据题意得，由于对称轴是直线，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）设，由题意有
，解得，
所以y关于x的函数解析式为；
（2）由（1），又由表可得：
，，
．
所以售价时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意，
其对称轴，时上述函数单调递增，
所以只有时周销售利润最大，．
．
【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
54．（1）；（2）p=-1；（3）1＜2．
【分析】（1）根据顶点坐标公式即可得答案；
（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；
（3）利用（2）的结果可得抛物线与x轴的交点坐标，根据顶点在y轴右侧，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方可得关于a的不等式，解不等式即可得答案．
解：（1）∵二次函数解析式y＝﹣x2+（a﹣1）x+a，
∴顶点横坐标为=．
（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a==﹣（x﹣p）（x﹣a），
∴p=-1．
（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（a，0），
∵-1＜0，
∴该二次函数的图象开口向下，
∵图象的顶点在y轴右侧，
∴＞0，
∴，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，
∴-1＜m＜a，
∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，
∴≤3，
解得：，
∴a的范围为1＜≤2．
【点拨】本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题关键．
55．（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或．
【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值；
（2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
解：（1）∵点A(2，0)同时在与上，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为，
解方程，得：．
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方，
∴不等式>的解集为或；
（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
此时，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点，
此时点M1的纵坐标为-1，则，解得，
综上，点M的横坐标的取值范围是：或．
．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．
56．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.
【分析】（Ⅰ）把点A（1，0）代入求出m的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点P的坐标；
（Ⅱ）先由函数解析式得出顶点坐标为.再结合已知条件可知，从而求出，.再进行分类讨论得到抛物线解析式为；
（Ⅲ）由 可知，定点H的坐标为，过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则可证.得点的坐标为或.然后进行分类讨论即可求解.
解：（Ⅰ）∵抛物线经过点，
∴，解得.
∴抛物线的解析式为.
∵ ，
∴顶点的坐标为.
（Ⅱ）抛物线的顶点的坐标为.
由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限.
过点作轴于点，则.
可知，即，解得，.
当时，点不在第四象限，舍去.
∴.
∴抛物线解析式为.
（Ⅲ）由 可知，
当时，无论取何值，都等于4.
得点的坐标为.
过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则.
∵，，
∴.∴.
∵ ，
∴.
∴.
∴，.
可得点的坐标为或.
当点的坐标为时，可得直线的解析式为.
∵点在直线上，
∴.解得，.
当时，点与点重合，不符合题意，∴.
当点的坐标为时，
可得直线的解析式为.
∵点在直线上，
∴ .解得（舍），.
∴.
综上，或.
故抛物线解析式为或.
【点拨】这是一道关于二次函数的综合题. 解题的关键是学会用待定系数法求二次函数关系式以及用分类讨论的思想思考问题.
专题22.46 《二次函数》中考真题专练（巩固篇）（专项练习2）
一、单选题
1．（2020·广东中考真题）把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·山东东营·）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·广西贺州·中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
4．（2021·湖南株洲·中考真题）二次函数的图像如图所示，点 在轴的正半轴上，且，设，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·广东深圳·中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·四川广安·中考真题）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
8．（2021·广东中考真题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
9．（2021·江苏无锡·）设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”．则下列结论：
①函数，在上是“逼近函数”；
②函数，在上是“逼近函数”；
③是函数，的“逼近区间”；
④是函数，的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
10．（2021·湖北鄂州·）二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2021·江苏苏州·中考真题）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
12．（2021·四川遂宁·）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．（2021·四川资阳·）已知A、B两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于、两点．若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（2020·四川广安·中考真题）二次函数y=ax2十bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③c-4a=1；④；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．（2020·辽宁阜新·中考真题）已知二次函数 ，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．图象的顶点坐标是
C．当 时，y随x的增大而减少 D．图象与x轴有唯一交点
16．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C．D．
17．（2020·辽宁大连·中考真题）抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
18．（2020·湖北孝感·中考真题）将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
19．（2020·四川眉山·中考真题）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（2019·山东中考真题）如图，是二次函数图象的一部分，下列结论中：
①；②；③有两个相等的实数根；④.其中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
21．（2020·辽宁铁岭·中考真题）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：①，②，③，④．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2020·山东威海·中考真题）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点．若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ）
A．二次函数的最大值为
B．
C．
D．
23．（2020·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是边长为1的正方形，点是射线上的动点（点不与点，点重合），点在线段的延长线上，且，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接．设，四边形的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2020·山东东营·中考真题）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，其对称轴与轴交于点其中两点的横坐标分别为和下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．当时，随的增大而减小
25．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有以下结论：①；②若点，点是函数图象上的两点，则；③；④可以是等腰直角三形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．（2020·广西玉林·中考真题）把二次函数的图象作关于x轴的对称变换 ，所得图象的解析式为，若，则m的最大值为（ ）
A． B．0 C．2 D．6
27．（2020·贵州毕节·中考真题）已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
28．（2020·山西中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
29．（2020·湖北恩施·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴相交于、两点．则以下结论：①；②二次函数的图象的对称轴为；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
30．（2020·黑龙江朝鲜族学校中考真题）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为，且经过点（2，0). 下列说法：①abc<0；②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若，是抛物线上的两点，则y1
A．①②④⑤ B．①②④ C．①④⑤ D．③④⑤
31．（2020·湖北随州·中考真题）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有2个；④当是直角三角形时，．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
32．（2021·山东济宁·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下面结论：
①；
②；
③；
④方程必有一个根大于且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
33．（2020·黑龙江大庆·）已知关于的一元二次方程，有下列结论：
①当时，方程有两个不相等的实根；
②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_________．
34．（2021·山东泰安·中考真题）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．
35．（2020·四川巴中·中考真题）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径，；两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为_________．
36．（2021·山东菏泽·中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
37．（2021·安徽中考真题）设抛物线，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点，则______；
（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．
38．（2020·广西贺州·中考真题）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．
39．（2018·山东泰安·中考真题）如图，在中，，，，点是边上的动点（不与点重合），过作，垂足为，点是的中点，连接，设，的面积为，则与之间的函数关系式为__________．
40．（2020·山东淄博·中考真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是_____个．
41．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．
42．（2020·宁夏中考真题）若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____．
43．（2020·湖北荆州·中考真题）我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．
44．（2020·广东广州·中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当______时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当_____时，最小．
45．（2020·贵州黔东南·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是_____．
46．（2020·湖北襄阳·中考真题）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝15t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是_______秒．
47．（2018·广西河池·中考真题）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于M，若AB＝6，则OM的长为__．
48．（2019·江苏镇江·中考真题）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是_________.
49．（2019·四川广元·中考真题）如图，抛物线过点，，且顶点在第一象限，设，则M的取值范围是___．
50．（2019·辽宁大连·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于两点，与轴相交于点，点在抛物线上，且．与轴相交于点，过点的直线平行于轴，与拋物线相交于两点，则线段的长为_____．
51．（2019·湖南常德·中考真题）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为P是二次函数的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是_____．（填序号）
三、解答题
52．（2021·辽宁锦州·中考真题）某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50＋0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
53．（2021·湖北荆门·中考真题）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
54．（2021·江苏泰州·中考真题）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
55．（2021·河南）如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．
（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
56．（2018·天津中考真题）在平面直角坐标系中，点，点.已知抛物线（是常数），顶点为.
（Ⅰ）当抛物线经过点时，求顶点的坐标；
（Ⅱ）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ） 无论取何值，该抛物线都经过定点.当时，求抛物线的解析式.
参考答案
1．C
【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
解：把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点．
2．C
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
解：A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．
3．D
【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
解：与关于y轴对称
抛物线的对称轴为y轴，
因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称
设与交点为，则，
即在点之间的函数图像满足题意
的解集为：
故选D．
【点拨】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键．
4．D
【分析】由图像可得，，当，，并与轴交于之间，得，据悉可得，据此求解即可．
解：由图像可知，图像开口向下，并与轴相交于正半轴，
∴，，
当，，
∵，并由图像可得，二次函数与轴交于之间，
∴
∴，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．
5．A
【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．
解：二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
6．C
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴交点可得a，b，c的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x轴的交点可得当x=-2时，y＞0，可判断②；再根据x=-1时，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，从而判断③；最后根据x=1时，y=a+b+c，结合b=2a，可判断④．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-1，即，
∴b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
则与x轴的另一个交点在-2和-3之间，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误；
∵x=-1时，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，
∴a-b+c≥ax2+bx+c，
∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确；
∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，
∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确；
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
7．C
【分析】先由直线过一、二、三象限，求出，通过判断方程实数解的个数可判断直线与抛物线交点的个数．
解：∵直线过一、二、三象限，
∴．
由题意得：，
即，
∵△，
∴此方程有两个不相等的实数解．
∴直线与抛物线的交点个数为2个．
故选：C．
【点拨】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．
8．C
【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表达式中得：
，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．
解：∵p=5，c=4，
∴a+b=2p-c=6
∴
由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：
设，当取得最大值时，S也取得最大值
∵
∴当a=3时，取得最大值4
∴S的最大值为
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．
9．A
【分析】分别求出的函数表达式，再在各个x所在的范围内，求出的范围，逐一判断各个选项，即可求解．
解：①∵，，
∴，当时，，
∴函数，在上不是“逼近函数”；
②∵，，
∴，当时，，
函数，在上是“逼近函数”；
③∵，，
∴，当时，，
∴是函数，的“逼近区间”；
④∵，，
∴，当时，，
∴不是函数，的“逼近区间”．
故选A
【点拨】本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键．
10．C
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．
解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴为直线x= =1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，
∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；
③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线经过点，
∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点，
∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），
∴一元二次方程的两根分别为，5，
故④正确，
综上，上述结论中正确结论有①③④，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．
11．B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
解：函数向右平移3个单位，得：；
再向上平移1个单位，得：+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴+1即
解得：或
∵抛物线的对称轴在轴右侧
∴＞0
∴＜0
∴
故选：B．
【点拨】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
12．A
【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得，则，根据可得，代入变形可对③进行判断；当时，的值最大，即当时，即>，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
解：①∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点
∴>0
∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴
由图象得，当时，，
∴
∴，故③正确；
④当时，的值最大，
∴当时，>，
∴（），
∵b＞0，
∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
13．C
【分析】先根据题意画出函数的图象，再结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．
解：由题意得：线段（除外）位于第四象限，
过点且平行轴的直线在轴的下方，
抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，
，
画出函数图象如下：
结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，
即，解得，
又，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数与一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质，以及图象法是解题关键．
14．B
【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，从而判断出a、b的符号，判断出与y轴的交点即可求出c的符号，从而判断①；由图象可知：当x=-1时，y＜0，代入解析式即可判断②；根据抛物线的顶点坐标即可判断③；根据抛物线与x轴交点个数即可判断④；根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断最值，从而判断⑤．
解：由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，
∴a＜0，b＞0
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间
∴另一个交点在（0,0）和（1,0）之间
∴抛物线与y轴交于负半轴
∴c＜0
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知：当x=-1时，y＜0
∴，故②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（2,1）
∴
由①，得b=-4a
将b=-4a代入②，得
整理，得c-4a=1，故③正确；
∵抛物线与x轴交于两点
∴
∴，故④正确；
∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2,1）
∴（m为任意实数），故⑤正确．
综上：正确的有3个
故选B．
【点拨】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解题关键．
15．A
【分析】由抛物线的二次项的系数判断A；把抛物线写成顶点式，可判断B；由得抛物线的图像在对称轴的左侧，从而得到y随x的增大而增大，可判断C；利用的值，判断D．
解：∵＜，
∴抛物线的开口向下，故A正确；
∵
∴抛物线的顶点为：，故B错误；
当，即在抛物线的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，故C错误；
∵
∴＞，
∴抛物线与轴有两个交点，故D错误．
故选：A．
【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向，顶点坐标，增减性，及与轴的交点个数的判断方法是解题的关键．
16．B
【分析】根据点N的运动情况，分点N在AD，DC，CB上三种情况讨论，分别写出每种情况x和y之间的函数关系式，即可确定图象．
解：当点N在AD上时，即0≤x＜2
∵AM＝x，AN＝2x，
∴，
此时二次项系数大于0，
∴该部分函数图象开口向上，
当点N在DC上时，即2≤x＜4，
此时底边AM＝x，高AD＝4，
∴y＝＝2x，
∴该部分图象为直线段，
当点N在CB上时，即4≤x＜6时，
此时底边AM＝x，高BN＝12﹣2x，
∴y＝，
∵﹣1＜0，
∴该部分函数图象开口向下，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了函数图像综合，准确分析判断是解题的关键．
17．B
【分析】由函数的对称性可得结论．
解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
∴，解得x=3,
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键．
18．A
【分析】利用平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式，再因为关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数，由此可直接得出抛物线的解析式．
解：抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线：，即抛物线：;
由于抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为：.
故选：A．
【点拨】主要考查了函数图象的平移、对称，要求熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.并用规律求函数解析式以及关于x轴对称的两个抛物线，自变量x的取值相同，函数值y互为相反数．
19．D
【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项．
解：
∵图象与x轴有交点，
∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0
解得a≥-2；
∵抛物线的对称轴为直线
抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是-2≤a≤3．
故选：D．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
20．D
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交点为(0,-1)
∴a＞0，c＜0
∵对称轴＞0
∴b＜0
∴
∴①正确；
②对称轴为x=t,1＜t＜2，抛物线与x轴的交点为x1,x2.
其中x1为（m,0）, x2.为(n,0)
由图可知2＜m＜3，可知n>-1，
则当x=-1时，y＞0，
则
则②错误；
③由图可知c=-1
△=b2—4a(c+1)=b2,且b≠0
∴③错误
④由图可知，对称轴x=
且1＜＜2
∴
故④正确；
故选D.
【点拨】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键.
21．B
【分析】由开口方向，对称轴方程，与轴的交点坐标判断的符号，从而可判断①②，利用与轴的交点位置得到＞，结合＜ 可判断③，利用当 结合图像与对称轴可判断④．
解：由函数图像的开口向下得＜
由对称轴为＞ 所以＞
由函数与轴交于正半轴，所以＞
＜ 故①错误；
，
故②正确；
由交点位置可得：＞，
＜
＞，
＜
＜ 故③错误；
由图像知：当
此时点在第三象限，
＜
＜ 故④正确；
综上：正确的有：②④，
故选B．
【点拨】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号，掌握以上知识是解题的关键．
22．D
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．
解：抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A（−4，0），对称轴为直线x＝−1，
因此有：x＝−1＝−，即2a−b＝0，因此选项D符合题意；
当x＝−1时，y＝a−b＋c的值最大，选项A不符合题意；
由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2−4ac＞0，故选项C不符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．
23．B
【分析】连接DG，根据已知条件证明所求得四边形是平行四边形，从而可得，再分类讨论即可得到结果；
解：连接DG，如图所示，
由题可得DE=GE，AE=AF，∠DAE=∠BAF=90°,
∴△DAE≌△BAF，
∴DE=BF,∠EDA=∠FBA,又∵DE=EG,
∴GE=BF,
∵∠GEB+∠DEA=∠EDA+∠DEA =90°,
∴∠GEB=∠EDA，
∴∠GEB=∠FBA，
∴GE//BF,且GE=BF，
∴四边形GEFB是平行四边形，
∵，
当
∴，，
，
∴，
当x＞1时，
∴，，
，
∴，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了函数图像的判断，准确根据图象进行分析是解题的关键．
24．B
【分析】根据开口方向、对称轴、与轴交点即可分别判断符号，进而判断A选项；由两点的横坐标分别为和可得两个方程，判断B选项；由当时判断C选项；由二次函数对称轴及增减性判断D选项.
解：∵开口向下，与轴交点在正半轴
∴
∵两点的横坐标分别为和
∴
∴
∴，故A选项正确，B选项错误
∵两点的横坐标分别为和
∴B点横坐标为3
∴当时，故C选项正确
∵当时，随的增大而减小
∴当时，随的增大而减小，故D选项正确
故选：B.
【点拨】本题考查二次函数的图像和性质，重点考查二次函数系数符号与图象的关系，熟记二次函数图象性质是解题的关键.
25．B
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x=− ＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②由于＜2＜，且（，y1）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y1），
∵＜，
∴y1＜y2，故②正确，
③∵−=2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴，故③正确
④根据抛物线的对称性可知，AB=6，
∴，
假定抛物线经过（0，2），（-1，0），（5，0），
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，则a=-，
∴y=-(x-2)2+
∵＞3
∴不可以是等腰直角三形．故④错误．
所以正确的是②③，共2个．
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
26．D
【分析】先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为，再根据对称轴、与y轴的交点问题可求出，，然后代入解一元一次不等式即可得．
解：由二次函数图形的变换规律得：把二次函数的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为
则与相同
由对称轴得：，解得
当时，由函数得；由函数得
则，即
将，代入得：
整理得：
解得
则m的最大值为6
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与y轴的交点）、一元一次不等式等知识点，依据二次函数的图象与性质求出b、c与a的关系等式是解题关键．
27．B
【分析】利用函数图象对称轴位置及抛物线与轴交点的位置，分别判断四个结论正确性．
解：，是一元二次方程的两个根，
、是抛物线与轴交点的横坐标，
抛物线的对称轴为，
，即，故选项错误；
由图象可知，，
，
解得：，故选项正确；
抛物线与轴有两个交点，
，故选项错误；
由对称轴可知，可知，故选项错误．
故选：．
【点拨】主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
28．C
【分析】将=，=代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案．
解：依题意得：=，=，
把=，=代入得
当时，
故小球达到的离地面的最大高度为：
故选：C
【点拨】本题考查了二次函数的性质的应用利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键属于基础题．
29．C
【分析】根据二次函数的图像性质逐个分析即可．
解：对于①：二次函数开口向下，故a<0，与y轴的交点在y的正半轴，故c>0，故ac<0，故①错误；
对于②：二次函数的图像与轴相交于、，由对称性可知，其对称轴为：，故②错误；
对于③：设二次函数的交点式为，比较一般式与交点式的系数可知：，故，故③正确；
对于④：当时对应的，观察图像可知时对应的函数图像的值在轴上方，故，故④正确．
∴只有③④是正确的．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图像性质是解决此类题的关键．
30．A
【分析】根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与轴的交点在轴上方得到，则，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出，则得到，于是可对②进行判断；由于经过点，则得到，则可对③进行判断；通过点，和点，离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线，开口向下，得到当时，有最大值，所以（其中，由代入则可对⑤进行判断．
解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以①正确；
对称轴为，且经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
，所以②正确；
抛物线经过点，
时，，
，所以③错误；
点，离对称轴要比点，离对称轴要远，
，所以④正确．
抛物线的对称轴为直线，
当时，有最大值，
（其中，
（其中，
，
，
，所以⑤正确；
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）．抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
31．B
【分析】根据二次函数对称轴的位置可判断；②把两个点代入解析式可得到方程组，解出B与C的关系即可；③由图象可知，，从而得以判断；④根据直角三角形的
解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴二次函数的对称轴为，
即，
∴．
故①正确；
∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故②错误；
由图象可知，当是等腰三角形时，
，只能是或，故a有两个值，
故③正确；
∵是直角三角形，
∴分两种情况或，
得到的a有两个值，
故④错误；
故答案选B．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，准确分析判断是解题的关键．
32．①②④．
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．
解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；
∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴y=a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③错误；
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
33．①③④
【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
解：根据题意，∵一元二次方程，
∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；
抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；
由，则，解得：或；故④正确；
∴正确的结论有①③④；
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．
34．②④
【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．
解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣=1，即b=﹣2a＞0
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故②正确；
根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由得，
根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点，
∴有实数根，故④正确，
综上，正确的为②④，
故答案为：②④．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键．
35．
【分析】记AB与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径AB＝2，OE＝2得出点B（1，1），由点B坐标求出直线BC解析式，据此得出点C坐标，继而得出点D坐标，将点D坐标代入右侧抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+1，求出a的值即可得出答案．
解：记AB与y轴的交点为F，
∵AB＝2，且半圆关于y轴对称，
∴FA＝FB＝FE＝1，
∵OE＝2，
∴，
则右侧抛物线的顶点B坐标为，
将点代入得，
解得，
∴，
当时，，
解得，
∴，
则，
设右侧抛物线解析式为，
将点代入解析式得，
解得，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据轴对称图形的性质得出点B坐标及熟练运用待定系数法求函数解析式．
36．①②③．
【分析】利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．
解：当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；
当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，
当时，，函数图象过原点，故②正确；
函数
当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；
当时，函数图像开口向下，
对称轴为：
∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故答案是：①②③．
【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．
37．0 2
【分析】（1）直接将点代入计算即可
（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值
解：（1）将代入得：
故答案为：0
（2）根据题意可得新的函数解析式为：
由抛物线顶点坐标
得新抛物线顶点的纵坐标为：
∵
∴当a=1时，有最大值为8，
∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是
故答案为：2
【点拨】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法
38．10．
【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令y=0，得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可．
解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：
由题意可知，点，点，代入，得：
，
解得．
∴，
当时，，
解得，（不符合题意，舍去）．
∴该学生推铅球的成绩为10m．
故答案为：10．
【点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
39．
【解析】
分析：由=，CD=x，得到DE=，CE=，则BE=10－，由ΔDEB的面积S等于△BDE面积的一半，即可得出结论．
详解：∵DE⊥BC，垂足为E，∴tan∠C==，CD=x，∴DE=，CE=，则BE=10－，∴S=S△BED=（10－）•
化简得：．
故答案为．
点睛：本题考查了动点问题的函数解析式，解题的关键是设法将BE与DE都用含有x的代数式表示．
40．210
解：根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．
【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号
在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1
n﹣1
2
（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3
2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4
3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5
4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
…
…
n
0
由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的最值在x＝﹣时取得．
41．
【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决．
解：点的坐标为，点的坐标为，
，
抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，
设点的坐标为，则点的坐标为，，
抛物线，
解得，．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
42．
【分析】根据二次函数的图象与x轴有两个交点，可知判别式△﹥0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．
解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=﹥0，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．
43．或或
【分析】将关联数为代入函数得到：，由题意将y=0和x=0代入即可．
解：将关联数为代入函数得到：
，
∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），
∴y=0，即，
因式分解得，
又∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点，
即
∴m=1，
∴，
与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，
即坐标为或，
与y轴交点即x=0解得y=2，
即坐标为，
∴这个函数图象上整交点的坐标为或或；
故答案为：或或．
【点拨】此题考查二次函数相关知识，涉及一元二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴交点的求解办法，难度一般，计算较多．
44．10.0； ．
【分析】（1）把整理得：，设，利用二次函数性质求出当时有最小值；
（2）把整理得：， 设，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时的值．
解：（1）整理得：，
设，
由二次函数的性质可知：当时，函数有最小值，
即：当时，的值最小，
故答案为：10.0；
（2）整理得：，
设，由二次函数性质可知：
当时，有最小值，
即：当时，的值最小，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数模型的应用，关键是设，整理成二次函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可．
45．﹣3＜x＜1
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
【点拨】本题考查了二次函数的性质和数形结合能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
46．1.25
【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，
∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．
故答案为：1.25．
【点拨】考核知识点:二次函数应用.理解函数最值是关键.
47．9
【分析】先根据“与x轴只有一个交点”求出b和c的关系式，设点A、B的坐标分别为和，则m和n可以看成是关于x的方程的两个根，又因，结合方程的根即可求解出h的值，即OM的长.
解：抛物线与x轴只有一个交点，则
设，A、B点的横坐标分别为m、n，则A和B的坐标为和
由题意得：m和n是关于x的方程的两个根
则
又
解得：
即OM的长为9.
【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题关键.
48．
【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a≥，把x=代入代数式即可求得．
解：∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，
∴，顶点为（-2,1）
∴由题意可知a>0,
∵线段AB的长不大于4，
∴4a+1≥3
∴a≥
∴a2+a+1的最小值为：（）2++1=；
故答案为．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．
49．.
【分析】将（-1，0）与（0，2）代入y=ax2+bx+c，可知b=a+2，利用对称轴可知：a＞-2，从而可知M的取值范围．
解：将与代入，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
故答案为.
【点拨】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
50．
【解析】
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C，D的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P，Q的坐标，进而可求出线段PQ的长．
解：由图可知，
当时，，
解得：，，
∴点的坐标为；
当时，，
∴点的坐标为(0，2)；
当时，，
解得：，，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，解得：，
∴直线的解析式为．
当时，，
∴点的坐标为．
当时，，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点P，Q的坐标是解题的关键．
51．①②④
【解析】
【分析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点，则，由勾股定理可得，和，所以四边形PMNQ是广义菱形．④正确；
解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点，则，
∴，，
∵点P在第一象限，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形PMNQ是广义菱形．
④正确；
故答案为：①②④；
【点拨】本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．
52．（1）；（2）；（3）原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元
【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式；
（3）设销售总利润为W，根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为，
将（20，15），（30，12.5）代入，
可得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）设销售收入为P（万元），
∴，
∴P与x之间的函数关系式为；
（3）设销售总利润为W，
∴，
整理，可得：，
∵﹣＜0，
∴当时，W有最大值为，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，涉及了数形结合的数学思想，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．
53．（1）；（2）售价60元时，周销售利润最大为4800元；（3）
【分析】（1）①依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）根据题意得，再由表格数据求出，得到，根据二次函数的顶点式，求出最值即可；
（3）根据题意得，由于对称轴是直线，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）设，由题意有
，解得，
所以y关于x的函数解析式为；
（2）由（1），又由表可得：
，，
．
所以售价时，周销售利润W最大，最大利润为4800；
（3）由题意，
其对称轴，时上述函数单调递增，
所以只有时周销售利润最大，．
．
【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
54．（1）；（2）p=-1；（3）1＜2．
【分析】（1）根据顶点坐标公式即可得答案；
（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；
（3）利用（2）的结果可得抛物线与x轴的交点坐标，根据顶点在y轴右侧，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方可得关于a的不等式，解不等式即可得答案．
解：（1）∵二次函数解析式y＝﹣x2+（a﹣1）x+a，
∴顶点横坐标为=．
（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a==﹣（x﹣p）（x﹣a），
∴p=-1．
（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（a，0），
∵-1＜0，
∴该二次函数的图象开口向下，
∵图象的顶点在y轴右侧，
∴＞0，
∴，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，
∴-1＜m＜a，
∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，
∴≤3，
解得：，
∴a的范围为1＜≤2．
【点拨】本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题关键．
55．（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或．
【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值；
（2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
解：（1）∵点A(2，0)同时在与上，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为，
解方程，得：．
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方，
∴不等式>的解集为或；
（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
此时，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点，
此时点M1的纵坐标为-1，则，解得，
综上，点M的横坐标的取值范围是：或．
．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．
56．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.
【分析】（Ⅰ）把点A（1，0）代入求出m的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点P的坐标；
（Ⅱ）先由函数解析式得出顶点坐标为.再结合已知条件可知，从而求出，.再进行分类讨论得到抛物线解析式为；
（Ⅲ）由 可知，定点H的坐标为，过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则可证.得点的坐标为或.然后进行分类讨论即可求解.
解：（Ⅰ）∵抛物线经过点，
∴，解得.
∴抛物线的解析式为.
∵ ，
∴顶点的坐标为.
（Ⅱ）抛物线的顶点的坐标为.
由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限.
过点作轴于点，则.
可知，即，解得，.
当时，点不在第四象限，舍去.
∴.
∴抛物线解析式为.
（Ⅲ）由 可知，
当时，无论取何值，都等于4.
得点的坐标为.
过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则.
∵，，
∴.∴.
∵ ，
∴.
∴.
∴，.
可得点的坐标为或.
当点的坐标为时，可得直线的解析式为.
∵点在直线上，
∴.解得，.
当时，点与点重合，不符合题意，∴.
当点的坐标为时，
可得直线的解析式为.
∵点在直线上，
∴ .解得（舍），.
∴.
综上，或.
故抛物线解析式为或.
【点拨】这是一道关于二次函数的综合题. 解题的关键是学会用待定系数法求二次函数关系式以及用分类讨论的思想思考问题.
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