专题23.5 《旋转》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题23.5  《旋转》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1、 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；

2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；

3、 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；　

4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．

【要点梳理】

要点一、旋转

1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.

特别说明：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.

2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　

(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　

　            (3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).

特别说明：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.

3. 旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．

作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；

(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；

(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

(4)连接所得到的各对应点.

要点二、特殊的旋转—中心对称

1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；

         （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .

2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；

（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.

要点三、平移、轴对称、旋转

平移、轴对称、旋转之间的对比

【典型例题】

类型一、旋转 

1．如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE

（1）求∠DCE的度数；

（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．

【答案】解：（1）90°；（2）2

试题分析：（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；

（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，最后依据勾股定理求解即可．

解：（1）∵△ABCD为等腰直角三角形，

∴∠BAD=∠BCD=45°．

由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°．

∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°．

（2）∵BA=BC，∠ABC=90°，

∴AC=．

∵CD=3AD，

∴AD=，DC=3．

由旋转的性质可知：AD=EC=．

∴DE=．

考点：旋转的性质．

举一反三：

【变式1】 如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．

求证：≌；

当时，求的度数．

【答案】证明见解析；.

【详解】

【分析】由题意可知：，，由于，从而可得，根据SAS即可证明≌；

由≌可知：，，从而可求出的度数．

 解；由题意可知：，，

，

，

，

，

在与中，

，

≌；

，，

，

由可知：，

，

，

.

【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．

【变式2】 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE．

（1）求△ADE的周长的最小值；

（2）若CD=4，求AE的长度．

【答案】（1）6+；（2）3﹣或3+

【分析】

（1）根据勾股定理得到AB=AC=6，根据全等三角形的性质得到AE=BD，当DE最小时，△ADE的周长最小，过点C作CF⊥AB于点F，于是得到结论；

（2）当点D在CF的右侧，当点D在CF的左侧，根据勾股定理即可得到结论

【详解】

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3

∴AB=AC=6，

∵∠ECD=∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE与△BCD中， ，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE=BD，

∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE，

∴当DE最小时，△ADE的周长最小，

过点C作CF⊥AB于点F，

当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=3，

∴△ADE的周长的最小值是6+3；

（2）当点D在CF的右侧，

∵CF=AB=3，CD=4，

∴DF=，

∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣；

当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+，

综上所述：AE的长度为3﹣或3+．

【点睛】

本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．

【变式3】 如图点O是等边内一点，，∠ACD=∠BCO，OC=CD，

（1）试说明：是等边三角形；

（2）当时，试判断的形状，并说明理由；

（3）当为多少度时，是等腰三角形

【答案】(1)见解析；(2)△AOD是直角三角形，理由见解析；(3) 110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.

【分析】

（1）根据CO=CD，∠OCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到△COD是等边三角形；

（2）先求得∠ADC=∠BOC=α=150°，再利用△COD是等边三角形得∠CDO=60°，于是可计算出∠ADO=90°，由此可判断△AOD是直角三角形；

（3）先利用α表示出∠ADO=α-60°，∠AOD=190°-α，再进行分类讨论：当∠AOD=∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°；当∠AOD=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；当∠ADO=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．

 解： (1)  ∵∠ACD=∠BCO

∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°

又∵CO=CD

∴△COD是等边三角形；

(2)  ∵△COD是等边三角形

∴CO=CD

又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC

∴△ACD≌△BCO（SAS）

∴∠ADC=∠BOC=α=150°，

∵△COD是等边三角形，

∴∠ADC=∠BOC=α=150°，

∵△COD是等边三角形，

∴∠CDO=60°，

∴∠ADO=∠ADC−∠CDO=90°，

∴△AOD是直角三角形；

(3)∵△COD是等边三角形，

∴∠CDO=∠COD=60°，

∴∠ADO=α−60°,∠AOD=360°−60°−110°−α=190°−α，

当∠AOD=∠ADO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α=α−60°,解得α=125°；

当∠AOD=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即2(190°−α)+α−60°=180°,

解得α=140°；

当∠ADO=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α+2(α−60°)=180°,

解得α=110°，

综上所述,∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.

【点睛】此题考查等腰三角形的判定，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.

类型二、中心对称

2．在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，点，点为的顶点．

（1）作关于原点O成中心对称的．

（2）将向上平移5个单位，作出平移后的．

（3）在x轴上求作一点P，使的值最小，则点P的坐标______．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（，0）

【分析】

（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

（2）根据点平移的坐标变换规律写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；

（3）作A点关于x轴的对称点A′，连接A′A2交x轴于点P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件，再利用待定系数法求出直线A′A2的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可．

 解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）如图，作A点关于x轴的对称点A′，连接A′A2交x轴于点P，则P点为所作；

设直线A′A2的解析式为y=kx+b，

把A′（-2，-3），A2（2，2）代入得，

解得：，

∴直线A′A2的解析式为，

当y=0时，，

解得：，

∴P点坐标为（，0）．

【点睛】本题考查在网格中做某一个图形关于一点的成中心对称的图形和平移作图，本题的解题关键是找到满足条件的P点和求解一次函数的解析式．

举一反三：

【变式1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长都是1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，请按要求画出符合条件的四边形并计算．

（1）画出以点A、B、C、D为顶点的四边形，它是轴对称图形也是中心对称图形，且点D在小正方形的顶点上；

（2）画出以点A、B、C、E为顶点的四边形，它不是轴对称图形，但是中心对称图形，且点E在小正方形的顶点上；

（3）连接，请直接写出线段的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【分析】

（1）作点A关于BC的对称点D，连接BD，CD，四边形ABCD即为所求作．
（2）作AE=BC，AE∥BC，连接EC，四边形ABCE即为所求作．
（3）利用勾股定理求作即可．

解答：（1）如图，四边形ABCD即为所求作；

（2）如图，四边形ABCE即为所求作；

 (3)

【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．

【变式2】 定义新运算：对于任意实数m，n都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题：

（1）若，求x的值；

（2）求抛物线的顶点坐标；

（3）将（2）中的抛物线绕着原点旋转，写出得到的新的抛物线解析式．

【答案】（1）；（2）顶点坐标（，）；（3）．

【分析】

（1）利用新定义运算法则列出方程，然后解方程即可；

（2）利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案；

（3）根据关于原点对称的函数性质解答．

  解：（1）根据题意，得，

移项、合并同类项，得，

整理，得，

解得：；

（2）根据题意知，

整理得：

所以，顶点坐标（，）；

（3）根据题意知，新的抛物线解析式为．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的性质，二次函数的几何变换；关键在于读懂新定义的运算法则．

【变式3】已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．

（1）求证：AC=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

【答案】见解析

【分析】

（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；

（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．

 (1)  证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，

∴△ABM≌△ACM，

∴AB=AC，

又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，

∴△ABE≌△DCE，

∴AB=CD，

∴AC=CD；

(2)∠F=∠MCD.

理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，

∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，

∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，

设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，

∴∠F=∠CPM−∠PMF=α−β，

∠MCD=∠CDE−∠DMC=α−β，

∴∠F=∠MCD.

【点睛】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中心对称的性质得出全等三角形的判定条件是解题的关键.

类型三、平面直角坐标系中的中心对称

3、已知二次函数的图象( 记为抛物线) 顶点为M,直线:y=2x-a与x轴，y轴分别交于点A,B．

(1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求a的值；

（2）当a＞0时，设△ABM的面积为S，求S与a的函数关系式；

（3）将二次函数的图象绕点P（t,-2）旋转180°得到二次函数的图象记为抛物线,顶点为N。

①若点N恰好落在直线上，求a 与t 满足的关系；

②当－2≤x≤1时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的值得增大而减小，求t 的取值范围.

【答案】（1）a=-2；（2）S=a；（3）①a=2t；②t≤.

【解析】

【分析】

（1）抛物线与x轴只有一个交点，即只有顶点M在x轴上，故M的纵坐标为0；
（2）设直线与二次函数的图象的对称轴x=1交于点C,则C（1,2-a），根据S=即可得S与a的函数关系式；
（3）①根据题意，点M绕点P（t，-2）旋转180°得到点N，所以MP=NP，即P为MN中点，根据中点坐标公式可得点N的坐标（2t-1，a-2），代入直线:y=2x-a即可求a与t的关系式；
②旋转前的抛物线对称轴为直线x=1，要满足在-2≤x≤1时y随x的增大而减小，即在对称轴左侧抛物线下降，故开口向上；则旋转后的抛物线开口向下，对称轴必须在x=-2的左侧，即求出t的范围．

 解：（1）

抛物线的顶点M的坐标为（1，-a-2）．

∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点

∴顶点M在x轴上

∴-a-2=0，

∴a=-2    ；

（2）∵y=2x-a与x、y轴分别交于A、B两点

∴A（，0），B（0，）

设直线与二次函数的图象的对称轴x=1交于点C,则C（1,2-a），CM=(2-a)-（-a-2）=4

∴S= ；

（3）①根据题意得，抛物线的顶点N与抛物线的顶点M关于P（t，-2）成中心对称，

∴顶点N坐标为（2t-1，a-2）  

∵点N恰好落在直线上

∴a-2=2(2t-1)-a

∴a=2t  ； 

②∵旋转前抛物线对称轴为直线x=1
∴当a＞0抛物线开口向上时，当－2≤x≤1时,抛物线的y的值随x的值增大而减小

∴旋转后抛物线开口向下，且顶点N（2t-1，a-2）
∵要满足在-2≤x＜1的范围内y随x增大而减小，即抛物线下降
  ∴对称轴直线x=2t-1需在x=-2左侧
  ∴2t-1≤-2
解得：t≤−

∴当t≤−时抛物线的y的值随x的值增大而减小.

故答案为：（1）a=-2；（2）S=a；（3）①a=2t；②t≤.

【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数中的面积问题，中心对称．画出抛物线示意图是解题必须步骤；第（3）①题中心对称性质是解题关键；②题借助图象思考增减性问题．

举一反三：

【变式1】当m为何值时

点关于原点的对称点在第三象限；

点到x轴的距离等于它到y轴距离的一半？

【答案】（1）  （2） 或

 【分析】（1）根据关于原地对称点的坐标可得关于原点的对称点坐标为（-2，-3m），再根据第三象限内点的坐标符号可得-3m<0，即可求出答案；

（2）根据题意可得纵坐标的绝对值等于横坐标绝对值的一半，即可求出答案．

解：点，

关于原点的对称点坐标为，

在第三象限，

，

；

由题意得：|0.5m+2|= |3m-1|，

，

解得：；

，

解得：．

【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，以及坐标系中各象限内点的坐标符号，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．

【变式2】 在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕原点顺时针旋转得到，求点的坐标．

【答案】

【解析】

【分析】根据A点坐标得到OB=4,AB=3,OA绕原点O顺时针旋转90得到OA'可看作是Rt△OAB绕原点O顺时针旋转90得到Rt△OA'C,根据旋转的性质得到A'C=AB=3,

OC=OB=4,再写出A'点的坐标.

【详解】

解：轴于，轴于，如图，，，

绕原点顺时针旋转得到可看作是绕原点顺时针旋转得到，

则，，

所以点的坐标为．

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转:图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:30,45,60,90,180.

【变式3】已知|2-m|+(n+3)2=0,点P1,P2分别是点P(m,n)关于y轴和原点的对称点,求点P1,P2的坐标.

【答案】点P1（﹣2，﹣3）,点P2（﹣2，3）．

【解析】

根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得P1点坐标，根据关于原点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．

解：由|2﹣m|+（n+3）2=0得，

m=2，n=﹣3．

∴P（2，﹣3），

∵点P1是点P（2，－3）关于y轴的对称点，

∴P1（﹣2，－3），

∵点P2是点P（2，－3）关于原点的对称点，

∴P2（﹣2，3）．