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四川省广安五县（市）2020-2021学年八年级上学期数学期末考试试卷（word版 含答案）
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这是一份四川省广安五县（市）2020-2021学年八年级上学期数学期末考试试卷（word版 含答案），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省广安五县（市）2020-2021学年八年级上学期数学期末考试试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.广安的“玫瑰花海”名扬各地，多种玫瑰同时开放，吸引了众多游客.其中某花瓣的花粉颗粒直径为 0.000000072m ，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 7.2×10−7 B. 0.72×10−7 C. 7.2×10−8 D. 72×10−8
3.下列计算正确的是（ ）
A. a⋅a2=a2 B. 2a2+2a3=2a5 C. (a3)5=a8 D. (−12x)3=−18x3
4.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. a(x+y)=ax+ay B. a2−4=(a+2)(a−2)
C. −x4+16=(x2−4)(4+x2) D. 2a2+2=2a(a+1a)
5.如图，已知 △ABC 与 △A'B'C' 关于直线l对称， ∠B=110°,∠A'=25° ，则 ∠C 的度数为（ ）
A. 25° B. 45° C. 70° D. 110°
6.如图，在 △ABC 中， ∠BAD=40° ，且 AB=AD=CD ，则 ∠CAD 的度数为（ ）
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
7.如图，在 △ABC 外找一个点 A' （与点A不重合），并以 BC 为一边作 △A'BC ，使之与 △ABC 全等，且 △ABC 不是等腰三角形，则符合条件的点 A' 有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.如图，在 △ABC 中， ∠ACB=90°,BD 平分 ∠ABC ，且 AB=9,BC=6,CD=2 ，则 △ABC 的面积是（ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
9.如图，在 △ABC 中， ∠ABC,∠ACB 的平分线相交于点E， AB,BC 边的垂直平分线相交于点D.若 ∠BEC=120° ，则 ∠BDC 的度数为（ ）
A. 150° B. 130° C. 127° D. 120°
10.如图，C为线段 AB 上一动点（不与点A，B重合），在 AB 同侧分别作等边 △ACD 和等边 △BCE,AE 与 BD 交于点F， AE 与 CD 交于点G， BD 与 CE 交于点H，连接 GH .以下四个结论：① ∠EAB=∠BDC ；② △CGH 为等边三角形；③ ∠FGH+∠FHG=60° ；④ AC=DH .其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题（共6题；共18分）
11.计算： 99×101= .
12.一个正多边形的内角和为 1080° ，则这个正多边形的每个外角的度数为 .
13.定义新运算： a∗b=ab ，则方程 1∗(2x+1)=1∗(x−2) 的解为 .
14.一个三角形的两边长分别为 2 和 5，若第三边取奇数，则此三角形的周长为 .
15.如图，在正方形 ABCD 中， AB=3cm ，延长 BC 到点E，使 CE=1cm ，连接 DE ，动点P从点A出发，以每秒 0.5cm 的速度沿 AB→BC→CD→DA 向终点A运动.设点P的运动时间为t秒，当 △PBC 和 △DCE 全等时，t的值为 .
16.如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝ .
三、解答题（共10题；共72分）
17.分解因式： 4(m−n)a2+(n−m)b2 .
18.解方程： xx2−4−2x−2=−2x+2 .
19.已知关于x的分式方程 3−xx+1+1=k(x+1)(x−2) 的解为非负数，求k的取值范围.
20.如图，在 △ABC 中，D是 BC 边的中点， DE⊥AB 于点E ， DF⊥AC 于点F ， 且 BE=CF ．
求证： AD 平分 ∠BAC ．
21.如图，在平面直角坐标系中， △ABC 的顶点坐标分别为 A(1,2),B(0,4),C(4,5) .
（1）画出与 △ABC 关于x轴对称的图形 △A1B1C1 ；
（2）写出 △A1B1C1 各个顶点的坐标；
（3）求 △A1B1C1 的面积.
22.如图，甲、乙两个勘探队对A，B，C三处的地质情况进行勘测，发现三处之间的距离两两相等.甲、乙两队分别同时从A处和B处沿着 AB 和 BC 方向以相同的速度行进，经过t小时后，分别到达P，Q处，连接 PC 并延长，交 AQ 于点G.
（1）证明： △PBC≌△QCA .
（2）在甲队从B处到P处，乙队从C处到Q处的过程中， ∠CGQ 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出 ∠CGQ 的大小.
23.佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
24.如图，小明在A处放牛，要到河边（直线l）给牛喝水，喝完水把牛赶回家中B处.
（1）要使路程最短，应该在河边哪处给牛喝水，请在直线l上画出喝水处点P的位置；
（2）在直线l上任取一点Q（点Q不与点P重合），连接 QA,QB ，试说明 QA+QB>AP+BP .
25.在 △ABC 中， ∠ACB=90°,AC=BC ，过点C作直线 MN ，过点A作 AM⊥MN 于点M，过点B作 BN⊥MN 于点N.
（1）如图1，当直线 MN 在 △ABC 外时，证明： MN=AM+BN .
（2）如图2，当直线 MN 经过 △ABC 内部时，其他条件不变，则 AM,BN 与 MN 之间有怎样的数量关系？请说明理由.
26.已知直线 MN 与 PQ 互相垂直，垂足为O，点A在射线 OQ 上运动，点B在射线 OM 上运动，点A，B均不与点O重合.
（1）如图1， AI 平分 ∠BAO,BI 平分 ∠ABO .若 ∠BAO=30° ，则 ∠AIB= ° .
（2）如图2， AI 平分 ∠BAO 交 OB 于点I， BC 平分 ∠ABM,BC 的反向延长线交 AI 的延长线于点D.
①若 ∠BAO=30° ，则 ∠ADB= ▲ ° .
②在点A，B的运动过程中， ∠ADB 的大小是否会发生变化？若不变，求出 ∠ADB 的度数；若变化，请说明理由.
（3）如图3，已知点E在 BA 的延长线上， ∠BAO 的平分线 AI,∠OAE 的平分线 AF 与 ∠BOP 的平分线所在的直线分别相交于点D，F.在 △ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出 ∠ABO 的度数.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，B，C，D均不是轴对称图形.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此分析即可.
2.【答案】 C
【考点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解： 0.000000072 = 7.2×10−8 .
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
3.【答案】 D
【考点】同底数幂的乘法，同类项，积的乘方，幂的乘方
【解析】【解答】解：A. a·a2=a3 ，故本选项错误，不符合题意；
B. 2a2 与 2a3 不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
C. (a3)5=a15 ，故本选项错误，不符合题意；
D. (−12x)3=−18x3 ，故本选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则可判断A；根据同类项的概念可判断B；根据幂的乘方法则可判断C；根据积的乘方法则可判断D.
4.【答案】 B
【考点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误；
B、是因式分解，选项正确；
C、 −x4+16=(−x2+4)(x2+4)=(−x+2)(x+2)(x2+4) ，选项错误；
D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误.
故答案为：B.
【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.
5.【答案】 B
【考点】三角形内角和定理，轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵ △ABC 与 △A'B'C' 关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A＝∠A′＝25°，
∵∠B＝110°，
∴∠C＝180°−∠B−∠A＝180°−25°−110°＝45°.
故答案为：B.
【分析】由轴对称的性质可得△ABC≌△A′B′C′，则∠A＝∠A′＝25°，然后在△ABC中，运用内角和定理求解即可.
6.【答案】 A
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∠BAD=40° ，且 AB=AD=CD ，
∴∠ABD=∠ADB= 12(180°−∠BAD)=12(180°−40°)=70° ，∠DAC=∠ACD，
∵∠ADB=∠DAC+∠ACD=2∠DAC=70°，
∴∠DAC=35°.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABD=∠ADB=70°，∠DAC=∠ACD，由外角的性质可得∠ADB=∠DAC+∠ACD=2∠DAC=70°，据此求解.
7.【答案】 C
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图：
以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点 A' 、 A1' ；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点 A2' ，所以符合条件的点A′有3种可能的位置.
故答案为：C.
【分析】以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点 A′ 、A1′；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点A2′ ，据此解答.
8.【答案】 C
【考点】三角形的面积，角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB
∵ ∠ACB=90°,BD 平分 ∠ABC ，
∴DE=CD=2
∴S△ABC=S△ABD+S△DBC= 12 AB×DE+ 12 BC×CD= 12 ×9×2+ 12 ×6×2=15.
故答案为：C.
【分析】作DE⊥AB，由角平分线的性质可得DE=CD=2，然后根据S△ABC=S△ABD+S△DBC结合三角形的面积公式进行计算.
9.【答案】 D
【考点】三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ ∠BEC=120°
∴∠EBC+∠ECB=180°- ∠BEC=180°−120°=60° ，
∵BE，CE分别 ∠ABC,∠ACB ，
∴ ∠ABC=2∠EBC,∠ACB=2∠ECB
∴∠ABC+∠ACB=2(∠EBC+∠ECB)=2×60°=120°
∴ ∠BAC=180°−(∠ABC+∠ACB)=60°
∵ AB,BC 边的垂直平分线相交于点D.
∴AD=BD=CD，
∴ ∠ABD=∠BAD,∠DAC=∠DCA ，
∴ ∠ADB=180°−∠ABD−∠BAD=180°−2∠DAB ， ∠ADC=180°−∠DAC−∠ACD=180°−2∠DAC ，
∴ ∠ADB+∠ADC=180°−2∠DAB+180°−2∠DAC=360°−2(∠DAB+DAC)=360°−120°=240° ，
∴ ∠BDC=360−(∠ADB+∠ADC)=360°−240°=120° ，
故答案为：D.
【分析】由内角和定理可得∠EBC+∠ECB=60°，由角平分线的概念可得∠ABC=2∠EBC，∠ACB=2∠ECB，则∠ABC+∠ACB=120°，由内角和定理可得∠BAC=60°，根据垂直平分线的性质可得
∴AD=BD=CD，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠BAD，∠DAC=∠DCA，则∠ADB=180°-2∠DAB，∠ADC=180°-2∠DAC，进而求出∠ADB+∠ADC=240°，接下来根据周角的概念进行计算即可.
10.【答案】 A
【考点】三角形的外角性质，三角形全等的判定，等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°.
∵∠ACB＝180°，
∴∠DCE＝60°.
∴∠DCE＝∠BCE.
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB.
在△ACE和△DCB中， {AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB ，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴ ∠CAE=∠CDB
即 ∠EAB=∠BDC ，①正确；
在△ACG和△DCH中， {∠ACG=∠DCH=60°AC=DC∠CAG=∠CDH ，
∴△ACG≌△DCH（ASA），
∴GC=HC，AG=DH
又∠GCH=60°，
∴ △CGH 为等边三角形，②正确；
又AC≠AG，∴DH≠AC，④错误；
∵∠GAC+∠ACG+∠AGC=180°，∠GDF+∠DFG+∠DGF=180°
又∠AGC=∠DGF，∠GAC=∠GDF
∴∠DFG=∠ACG=60°
又∠DFG= ∠FGH+∠FHG ，
∴ ∠FGH+∠FHG=60° ，③正确；
故答案为：A.
【分析】由等边三角形的性质可得AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°，则∠DCE＝60°，证明△ACE≌△DCB，据此判断①；证明△ACG≌△DCH，得到GC=HC，AG=DH，推出△CGH为等边三角形，据此判断②；根据AC≠AG，AG=DH可判断④；易得∠DFG=∠ACG=60°，由外角的性质可得∠DFG=∠FGH+∠FHG，据此判断③.
二、填空题
11.【答案】 9999
【考点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： 99×101= （100-1）×（100+1）=1002-12=10000-1=9999
故答案为：9999.
【分析】原式可变形为(100-1)×(100+1)，然后利用平方差公式进行计算.
12.【答案】 45º
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设它是n边形，则
（n−2）•180°＝1080°，
解得n＝8.
360°÷8＝45°.
故答案为：45º.
【分析】设它是n边形，则(n-2)•180°＝1080°，求出n的值，然后利用360°除以n的值可得外角的度数.
13.【答案】 x=-3
【考点】解分式方程，定义新运算
【解析】【解答】解：∵ a∗b=ab
∴ 1∗(2x+1)=1∗(x−2) 可化为 12x+1=1x−2
∴去分母得 x−2=2x+1
解得x=-3
把x=-3代入分母 x−2≠0,2x+1≠0
∴x=-3是原方程的解
故答案为：x=-3.
【分析】根据定义的新运算可得12x+1=1x−2 ， 求解即可.
14.【答案】 12
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x.
根据三角形的三边关系，则有5-2＜x＜5+2，
即3＜x＜7.
所以x=5.
所以周长=2+5+5=12.
故答案为：12.
【分析】设第三边长为x，根据三角形三边关系可得3＜x＜7，结合x为奇数可得x=5，据此可得周长.
15.【答案】 4或14
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图，当 △CBP1 ≌ △DCE 时，BP1＝CE=1
即3-0.5t＝1，解得t=4，
如图，当 △BCP2 ≌ △DCE 时，CP2＝CE=1
即0.5t-6＝1，解得t=14.
故答案为：4或14.
【分析】当△CBP1≌△DCE时，BP1＝CE=1，即3-0.5t＝1，求解即可；当△BCP2≌△DCE时，CP2＝CE=1，即0.5t-6＝1，求解即可.
16.【答案】 32
【考点】直角三角形全等的判定（HL），角平分线的性质，线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接CD、BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中
{CD=BDDF=DE
∴Rt△CDF≌Rt△BDE
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=6，AC=3，
∴BE= 32 .
故答案为： 32.
【分析】连接CD、BD，由角平分线的性质可得DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，则AE=AF，由垂直平分线的性质可得CD=BD，证明Rt△CDF≌Rt△BDE，得到BE=CF，则AB=AC+2BE，据此求解.
三、解答题
17.【答案】 解：原式 (m−n)(4a2−b2)
=(m−n)(2a+b)(2a−b) .
【考点】提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】首先提取公因式(m-n)可得原式=(m-n)(4a2-b2)，然后利用平方差公式分解即可.
18.【答案】 解：方程两边同时乘 (x+2)(x−2) ，得 x−2(x+2)=−2(x−2) .
去括号，得 x−2x−4=−2x+4 .
移项、合并同类项，得 x=8 .
当 x=8 时， (x+2)(x−2)≠0 .
∴原分式方程的解为 x=8 .
【考点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘(x+2)(x-2)，将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，然后进行检验即可.
19.【答案】 解：解分式方程，得 x=8+k4 ，
根据题意，得： 8+k4≥0 且 8+k4≠−1,8+k4≠2 ，
解得： k≥−8 且 k≠0 .
【考点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】解分式方程，得x=8+k4 ， 由题意可得8+k4≥0且8+k4≠-1，8+k4≠2，求解即可.
20.【答案】 证明：∵ DE⊥AB,DF⊥AC ，D是 BC 的中点，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°,BD=CD ．
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， {BD=CD,BE=CF,
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ，
∴ DE=DF ．
又∵ DE⊥AB,DF⊥AC ，
∴ AD 平分 ∠BAC ．
【考点】直角三角形全等的判定（HL），角平分线的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF ， 得到DE=DF，再结合DE⊥AB,DF⊥AC ， 利用角平分线的判断即可得到答案。
21.【答案】 （1）解：如图， △A1B1C1 即为所求；
（2）解： A1(1,−2),B1(0,−4),C1(4,−5) ；
（3）解： S△A1B1C1=3×4−12×4×1−12×2×1−12×3×3=92 .
【考点】三角形的面积，作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接；
（2）根据作出的图形可得A1、B1、C1的坐标；
（3）根据矩形、三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行计算即可.
22.【答案】 （1）证明：由题意，得 AB=BC=CA ，且 PB=CQ ，
∴ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠ACB=60° ，
∴ ∠PBC=∠QCA=120° .
在 △PBC 和 △QCA 中， {PB=QC,∠PBC=∠QCA,BC=CA,
∴ △PBC≌△QCA(SAS) .
（2）解： ∠CGQ 的大小不会发生变化.
理由如下：∵ △PBC≌△QCA ，
∴ ∠CPB=∠AQC .
又∵ ∠PCB=∠GCQ,∠ABC=60° ，
∴ ∠CGQ=∠PBC=180°−60°=120° .
故 ∠CGQ 的大小不会发生变化， ∠CGQ=120° .
【考点】三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定（SAS），对顶角及其性质，邻补角
【解析】【分析】（1）由题意得AB=BC=CA，且PB=CQ，则△ABC是等边三角形，得到∠ABC=∠ACB=60°，结合邻补角的性质可得∠PBC=∠QCA=120°，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠CPB=∠AQC，由对顶角的性质可得∠PCB=∠GCQ，结合内角和定理可得∠CGQ=∠PBC，据此解答.
23.【答案】 （1）解：设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得： 14521.1x−1200x=20 ，解得：x=6。
经检验，x=6是原方程的解。
答：第一次水果的进价为每千克6元。
（2）解：第一次购水果1200÷6=200（千克），第二次购水果200+20=220（千克），
第一次盈利为200×（8﹣6）=400（元），
第二次盈利为100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6×1.1）=﹣12（元），
∴两次共赚钱400﹣12=388（元）。
答：该老板两次卖水果总体上是盈利了，共赚了388元。
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据1452元购买的数量-1200元购买的数量=20，列出方程，解出方程并检验即可.
（2）先分别求出两次购买水果的数量，然后分别求出两次的盈利，求出两次的盈利和即可.
24.【答案】 （1）解：如图，点P即为所求.
（2）解：如图，在直线l上任取一点Q，连接 QA',QA,QB .
∵点A与 A' 关于直线l对称，点P，Q在直线l上，
∴ PA=PA',QA=OA' .
∵ QA'+QB>A'B ，
∴ QA'+QB>A'B ，即 QA+QB>A'P+BP ，
∴ QA+QB>AP+BP .
【考点】三角形三边关系，轴对称的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l的交点即为P；
（2）在直线l上任取一点Q，连接QA′，QA，QB，由对称的性质可得PA=PA′，QA=QA′，由三角形三边关系可得QA′+QB>A′B，据此证明.
25.【答案】 （1）证明：∵ AM⊥MN,BN⊥MN ，
∴ ∠AMC=∠CNB=90° ，
∴ ∠MAC+∠ACM=90° .
∵ ∠ACB=90° ，
∴ ∠NCB+∠ACM=90° ，
∴ ∠MAC=∠NCB .
在 △AMC 和 △CNB 中， {∠AMC=∠CNB,∠MAC=∠NCB,AC=CB,
∴ △AMC≌△CNB(AAS) ，
∴ AM=CN,MC=NB .
∵ MN=MC+CN ，
∴ MN=AM+BN .
（2）解： MN=BN−AM .
∵ AM⊥MN,BN⊥MN ，
∴ ∠AMC=∠CNB=90° .
∴ ∠MAC+∠ACM=90° .
∵ ∠ACB=90° ，
∴ ∠NCB+∠ACM=90° ，
∴ ∠MAC=∠NCB .
在 △AMC 和 △CNB 中， {∠AMC=∠CNB,∠MAC=∠NCB,AC=CB,
∴ △AMC≌△CNB(AAS) ，
∴ AM=CN,MC=NB .
∵ MN=MC−CN ，
∴ MN=BN−AM .
【考点】同余及其性质（奥数类），三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠AMC=∠CNB=90°，由同角的余角相等可得∠MAC=∠NCB，证明△AMC≌△CNB，得到AM=CN，MC=NB，然后根据MN=MC+CN进行解答；
（2）同理证明△AMC≌△CNB，得到AM=CN，MC=NB，然后根据MN=MC-CN进行解答.
26.【答案】 （1）135
（2）解：①45；② ∠ADB 的大小不会发生变化.
∵ ∠ADB=∠CBA−∠BAD
=12∠MBA−12∠BAO
=12(∠MBA−∠BAO)
=12∠AOB
=12×90°
=45°
故 ∠ADB 的大小不会发生变化， ∠ADB=45° .
（3）解：∵ ∠BAO 的平分线 AI ， ∠OAE 的平分线 AF 与 ∠BOP 的平分线所在的直线分别相交于点D，F，
∴ ∠DAO=12∠BAO,∠FAO=12∠EAP ，
∴ ∠DAF=12∠BAO+12∠EAP=12(∠BAO+∠EAP)=12×180°=90° ，
∴ ∠ADF=∠POD−∠DAO=12∠POB−12∠BAO=12(∠POB−∠BAO)=12∠ABO .
①当 ∠DAF=3∠ADF 时， ∠ADF=30° ，
∴ ∠ABO=2∠ADF=60° ；
②当 ∠DAF=3∠F 时， ∠F=30°,∠ADF=60° ，
∴ ∠ABO=2∠ADF=120° （舍去）；
③当 ∠F=3∠ADF 时， ∠ADF=22.5° ，
∴ ∠ABO=2∠ADF=45° ；
④当 ∠ADF=3∠F 时， ∠ADF=67.5° ，
∴ ∠ABO=2∠ADF=135° （舍去）.
综上，当 ∠ABO=45° 或 60° 时，在 △ADF 中，有一个角的度数是另一个角的3倍.
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图：（1）∵ MN⊥PQ ，
∴ ∠AOB=90°
∵ ∠BAO=30° ，
∴ ∠ABO=90°−∠BAO=60° .
∵ AI 平分 ∠BAO,BI 平分 ∠ABO ，
∴ ∠IBA=12∠ABO=30°,∠IAB=12∠BAO=15° ，
∴ ∠AIB=180∘−(∠IBA+∠IAB)=135° .
（2）①∵ ∠MBA=∠AOB+∠BAO=90°+30°=120° ，且 AI 平分 ∠BAO,BC 平分 ∠ABM ，
∴ ∠CBA=12∠MBA=60°,∠BAI=12∠BAO=15° .
∵ ∠CBA=∠ADB+∠BAD ，
∴ ∠ADB=∠CBA−∠BAI=60°−15°=45° .
【分析】（1）由垂直的概念可得∠AOB=90°，则∠ABO=60°，由角平分线的概念可得∠IBA=30°，∠IAB=15°，然后利用内角和定理进行求解；
（2）①由外角的性质可得∠MBA=120°，由角平分线的概念可得∠CBA=60°，∠BAI=15°，由外角的性质可得∠CBA=∠ADB+∠BAD，据此计算；
②由角平分线的概念可得∠CBA=12∠MBA，∠BAD=12∠BAO，由外角的性质可得∠BAD+∠ADB=∠CBA，据此求解；
（3）由角平分线的概念可得∠DAO=12∠BAO，∠FAO=12∠EAP，根据∠DAF=∠DAO+∠FAO可得∠DAF=90°，由外角的性质可得∠ADF=∠POD-∠OAD=12∠ABO，然后分①∠DAF=3∠ADF，②∠DAF=3∠F，③∠F=3∠ADF，④∠ADF=3∠F进行计算.
四川省广安五县（市）2020-2021学年八年级上学期数学期末考试试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.广安的“玫瑰花海”名扬各地，多种玫瑰同时开放，吸引了众多游客.其中某花瓣的花粉颗粒直径为 0.000000072m ，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 7.2×10−7 B. 0.72×10−7 C. 7.2×10−8 D. 72×10−8
3.下列计算正确的是（ ）
A. a⋅a2=a2 B. 2a2+2a3=2a5 C. (a3)5=a8 D. (−12x)3=−18x3
4.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. a(x+y)=ax+ay B. a2−4=(a+2)(a−2)
C. −x4+16=(x2−4)(4+x2) D. 2a2+2=2a(a+1a)
5.如图，已知 △ABC 与 △A'B'C' 关于直线l对称， ∠B=110°,∠A'=25° ，则 ∠C 的度数为（ ）
A. 25° B. 45° C. 70° D. 110°
6.如图，在 △ABC 中， ∠BAD=40° ，且 AB=AD=CD ，则 ∠CAD 的度数为（ ）
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
7.如图，在 △ABC 外找一个点 A' （与点A不重合），并以 BC 为一边作 △A'BC ，使之与 △ABC 全等，且 △ABC 不是等腰三角形，则符合条件的点 A' 有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.如图，在 △ABC 中， ∠ACB=90°,BD 平分 ∠ABC ，且 AB=9,BC=6,CD=2 ，则 △ABC 的面积是（ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
9.如图，在 △ABC 中， ∠ABC,∠ACB 的平分线相交于点E， AB,BC 边的垂直平分线相交于点D.若 ∠BEC=120° ，则 ∠BDC 的度数为（ ）
A. 150° B. 130° C. 127° D. 120°
10.如图，C为线段 AB 上一动点（不与点A，B重合），在 AB 同侧分别作等边 △ACD 和等边 △BCE,AE 与 BD 交于点F， AE 与 CD 交于点G， BD 与 CE 交于点H，连接 GH .以下四个结论：① ∠EAB=∠BDC ；② △CGH 为等边三角形；③ ∠FGH+∠FHG=60° ；④ AC=DH .其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题（共6题；共18分）
11.计算： 99×101= .
12.一个正多边形的内角和为 1080° ，则这个正多边形的每个外角的度数为 .
13.定义新运算： a∗b=ab ，则方程 1∗(2x+1)=1∗(x−2) 的解为 .
14.一个三角形的两边长分别为 2 和 5，若第三边取奇数，则此三角形的周长为 .
15.如图，在正方形 ABCD 中， AB=3cm ，延长 BC 到点E，使 CE=1cm ，连接 DE ，动点P从点A出发，以每秒 0.5cm 的速度沿 AB→BC→CD→DA 向终点A运动.设点P的运动时间为t秒，当 △PBC 和 △DCE 全等时，t的值为 .
16.如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝ .
三、解答题（共10题；共72分）
17.分解因式： 4(m−n)a2+(n−m)b2 .
18.解方程： xx2−4−2x−2=−2x+2 .
19.已知关于x的分式方程 3−xx+1+1=k(x+1)(x−2) 的解为非负数，求k的取值范围.
20.如图，在 △ABC 中，D是 BC 边的中点， DE⊥AB 于点E ， DF⊥AC 于点F ， 且 BE=CF ．
求证： AD 平分 ∠BAC ．
21.如图，在平面直角坐标系中， △ABC 的顶点坐标分别为 A(1,2),B(0,4),C(4,5) .
（1）画出与 △ABC 关于x轴对称的图形 △A1B1C1 ；
（2）写出 △A1B1C1 各个顶点的坐标；
（3）求 △A1B1C1 的面积.
22.如图，甲、乙两个勘探队对A，B，C三处的地质情况进行勘测，发现三处之间的距离两两相等.甲、乙两队分别同时从A处和B处沿着 AB 和 BC 方向以相同的速度行进，经过t小时后，分别到达P，Q处，连接 PC 并延长，交 AQ 于点G.
（1）证明： △PBC≌△QCA .
（2）在甲队从B处到P处，乙队从C处到Q处的过程中， ∠CGQ 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出 ∠CGQ 的大小.
23.佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
24.如图，小明在A处放牛，要到河边（直线l）给牛喝水，喝完水把牛赶回家中B处.
（1）要使路程最短，应该在河边哪处给牛喝水，请在直线l上画出喝水处点P的位置；
（2）在直线l上任取一点Q（点Q不与点P重合），连接 QA,QB ，试说明 QA+QB>AP+BP .
25.在 △ABC 中， ∠ACB=90°,AC=BC ，过点C作直线 MN ，过点A作 AM⊥MN 于点M，过点B作 BN⊥MN 于点N.
（1）如图1，当直线 MN 在 △ABC 外时，证明： MN=AM+BN .
（2）如图2，当直线 MN 经过 △ABC 内部时，其他条件不变，则 AM,BN 与 MN 之间有怎样的数量关系？请说明理由.
26.已知直线 MN 与 PQ 互相垂直，垂足为O，点A在射线 OQ 上运动，点B在射线 OM 上运动，点A，B均不与点O重合.
（1）如图1， AI 平分 ∠BAO,BI 平分 ∠ABO .若 ∠BAO=30° ，则 ∠AIB= ° .
（2）如图2， AI 平分 ∠BAO 交 OB 于点I， BC 平分 ∠ABM,BC 的反向延长线交 AI 的延长线于点D.
①若 ∠BAO=30° ，则 ∠ADB= ▲ ° .
②在点A，B的运动过程中， ∠ADB 的大小是否会发生变化？若不变，求出 ∠ADB 的度数；若变化，请说明理由.
（3）如图3，已知点E在 BA 的延长线上， ∠BAO 的平分线 AI,∠OAE 的平分线 AF 与 ∠BOP 的平分线所在的直线分别相交于点D，F.在 △ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出 ∠ABO 的度数.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【考点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，B，C，D均不是轴对称图形.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此分析即可.
2.【答案】 C
【考点】科学记数法—表示绝对值较小的数
【解析】【解答】解： 0.000000072 = 7.2×10−8 .
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
3.【答案】 D
【考点】同底数幂的乘法，同类项，积的乘方，幂的乘方
【解析】【解答】解：A. a·a2=a3 ，故本选项错误，不符合题意；
B. 2a2 与 2a3 不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
C. (a3)5=a15 ，故本选项错误，不符合题意；
D. (−12x)3=−18x3 ，故本选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法法则可判断A；根据同类项的概念可判断B；根据幂的乘方法则可判断C；根据积的乘方法则可判断D.
4.【答案】 B
【考点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误；
B、是因式分解，选项正确；
C、 −x4+16=(−x2+4)(x2+4)=(−x+2)(x+2)(x2+4) ，选项错误；
D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误.
故答案为：B.
【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.
5.【答案】 B
【考点】三角形内角和定理，轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵ △ABC 与 △A'B'C' 关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A＝∠A′＝25°，
∵∠B＝110°，
∴∠C＝180°−∠B−∠A＝180°−25°−110°＝45°.
故答案为：B.
【分析】由轴对称的性质可得△ABC≌△A′B′C′，则∠A＝∠A′＝25°，然后在△ABC中，运用内角和定理求解即可.
6.【答案】 A
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∠BAD=40° ，且 AB=AD=CD ，
∴∠ABD=∠ADB= 12(180°−∠BAD)=12(180°−40°)=70° ，∠DAC=∠ACD，
∵∠ADB=∠DAC+∠ACD=2∠DAC=70°，
∴∠DAC=35°.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABD=∠ADB=70°，∠DAC=∠ACD，由外角的性质可得∠ADB=∠DAC+∠ACD=2∠DAC=70°，据此求解.
7.【答案】 C
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图：
以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点 A' 、 A1' ；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点 A2' ，所以符合条件的点A′有3种可能的位置.
故答案为：C.
【分析】以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点 A′ 、A1′；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点A2′ ，据此解答.
8.【答案】 C
【考点】三角形的面积，角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作DE⊥AB
∵ ∠ACB=90°,BD 平分 ∠ABC ，
∴DE=CD=2
∴S△ABC=S△ABD+S△DBC= 12 AB×DE+ 12 BC×CD= 12 ×9×2+ 12 ×6×2=15.
故答案为：C.
【分析】作DE⊥AB，由角平分线的性质可得DE=CD=2，然后根据S△ABC=S△ABD+S△DBC结合三角形的面积公式进行计算.
9.【答案】 D
【考点】三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵ ∠BEC=120°
∴∠EBC+∠ECB=180°- ∠BEC=180°−120°=60° ，
∵BE，CE分别 ∠ABC,∠ACB ，
∴ ∠ABC=2∠EBC,∠ACB=2∠ECB
∴∠ABC+∠ACB=2(∠EBC+∠ECB)=2×60°=120°
∴ ∠BAC=180°−(∠ABC+∠ACB)=60°
∵ AB,BC 边的垂直平分线相交于点D.
∴AD=BD=CD，
∴ ∠ABD=∠BAD,∠DAC=∠DCA ，
∴ ∠ADB=180°−∠ABD−∠BAD=180°−2∠DAB ， ∠ADC=180°−∠DAC−∠ACD=180°−2∠DAC ，
∴ ∠ADB+∠ADC=180°−2∠DAB+180°−2∠DAC=360°−2(∠DAB+DAC)=360°−120°=240° ，
∴ ∠BDC=360−(∠ADB+∠ADC)=360°−240°=120° ，
故答案为：D.
【分析】由内角和定理可得∠EBC+∠ECB=60°，由角平分线的概念可得∠ABC=2∠EBC，∠ACB=2∠ECB，则∠ABC+∠ACB=120°，由内角和定理可得∠BAC=60°，根据垂直平分线的性质可得
∴AD=BD=CD，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠BAD，∠DAC=∠DCA，则∠ADB=180°-2∠DAB，∠ADC=180°-2∠DAC，进而求出∠ADB+∠ADC=240°，接下来根据周角的概念进行计算即可.
10.【答案】 A
【考点】三角形的外角性质，三角形全等的判定，等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°.
∵∠ACB＝180°，
∴∠DCE＝60°.
∴∠DCE＝∠BCE.
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB.
在△ACE和△DCB中， {AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB ，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴ ∠CAE=∠CDB
即 ∠EAB=∠BDC ，①正确；
在△ACG和△DCH中， {∠ACG=∠DCH=60°AC=DC∠CAG=∠CDH ，
∴△ACG≌△DCH（ASA），
∴GC=HC，AG=DH
又∠GCH=60°，
∴ △CGH 为等边三角形，②正确；
又AC≠AG，∴DH≠AC，④错误；
∵∠GAC+∠ACG+∠AGC=180°，∠GDF+∠DFG+∠DGF=180°
又∠AGC=∠DGF，∠GAC=∠GDF
∴∠DFG=∠ACG=60°
又∠DFG= ∠FGH+∠FHG ，
∴ ∠FGH+∠FHG=60° ，③正确；
故答案为：A.
【分析】由等边三角形的性质可得AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°，则∠DCE＝60°，证明△ACE≌△DCB，据此判断①；证明△ACG≌△DCH，得到GC=HC，AG=DH，推出△CGH为等边三角形，据此判断②；根据AC≠AG，AG=DH可判断④；易得∠DFG=∠ACG=60°，由外角的性质可得∠DFG=∠FGH+∠FHG，据此判断③.
二、填空题
11.【答案】 9999
【考点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： 99×101= （100-1）×（100+1）=1002-12=10000-1=9999
故答案为：9999.
【分析】原式可变形为(100-1)×(100+1)，然后利用平方差公式进行计算.
12.【答案】 45º
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设它是n边形，则
（n−2）•180°＝1080°，
解得n＝8.
360°÷8＝45°.
故答案为：45º.
【分析】设它是n边形，则(n-2)•180°＝1080°，求出n的值，然后利用360°除以n的值可得外角的度数.
13.【答案】 x=-3
【考点】解分式方程，定义新运算
【解析】【解答】解：∵ a∗b=ab
∴ 1∗(2x+1)=1∗(x−2) 可化为 12x+1=1x−2
∴去分母得 x−2=2x+1
解得x=-3
把x=-3代入分母 x−2≠0,2x+1≠0
∴x=-3是原方程的解
故答案为：x=-3.
【分析】根据定义的新运算可得12x+1=1x−2 ， 求解即可.
14.【答案】 12
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x.
根据三角形的三边关系，则有5-2＜x＜5+2，
即3＜x＜7.
所以x=5.
所以周长=2+5+5=12.
故答案为：12.
【分析】设第三边长为x，根据三角形三边关系可得3＜x＜7，结合x为奇数可得x=5，据此可得周长.
15.【答案】 4或14
【考点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图，当 △CBP1 ≌ △DCE 时，BP1＝CE=1
即3-0.5t＝1，解得t=4，
如图，当 △BCP2 ≌ △DCE 时，CP2＝CE=1
即0.5t-6＝1，解得t=14.
故答案为：4或14.
【分析】当△CBP1≌△DCE时，BP1＝CE=1，即3-0.5t＝1，求解即可；当△BCP2≌△DCE时，CP2＝CE=1，即0.5t-6＝1，求解即可.
16.【答案】 32
【考点】直角三角形全等的判定（HL），角平分线的性质，线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接CD、BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中
{CD=BDDF=DE
∴Rt△CDF≌Rt△BDE
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=6，AC=3，
∴BE= 32 .
故答案为： 32.
【分析】连接CD、BD，由角平分线的性质可得DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，则AE=AF，由垂直平分线的性质可得CD=BD，证明Rt△CDF≌Rt△BDE，得到BE=CF，则AB=AC+2BE，据此求解.
三、解答题
17.【答案】 解：原式 (m−n)(4a2−b2)
=(m−n)(2a+b)(2a−b) .
【考点】提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法
【解析】【分析】首先提取公因式(m-n)可得原式=(m-n)(4a2-b2)，然后利用平方差公式分解即可.
18.【答案】 解：方程两边同时乘 (x+2)(x−2) ，得 x−2(x+2)=−2(x−2) .
去括号，得 x−2x−4=−2x+4 .
移项、合并同类项，得 x=8 .
当 x=8 时， (x+2)(x−2)≠0 .
∴原分式方程的解为 x=8 .
【考点】解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘(x+2)(x-2)，将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，然后进行检验即可.
19.【答案】 解：解分式方程，得 x=8+k4 ，
根据题意，得： 8+k4≥0 且 8+k4≠−1,8+k4≠2 ，
解得： k≥−8 且 k≠0 .
【考点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】解分式方程，得x=8+k4 ， 由题意可得8+k4≥0且8+k4≠-1，8+k4≠2，求解即可.
20.【答案】 证明：∵ DE⊥AB,DF⊥AC ，D是 BC 的中点，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°,BD=CD ．
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， {BD=CD,BE=CF,
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ，
∴ DE=DF ．
又∵ DE⊥AB,DF⊥AC ，
∴ AD 平分 ∠BAC ．
【考点】直角三角形全等的判定（HL），角平分线的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF ， 得到DE=DF，再结合DE⊥AB,DF⊥AC ， 利用角平分线的判断即可得到答案。
21.【答案】 （1）解：如图， △A1B1C1 即为所求；
（2）解： A1(1,−2),B1(0,−4),C1(4,−5) ；
（3）解： S△A1B1C1=3×4−12×4×1−12×2×1−12×3×3=92 .
【考点】三角形的面积，作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接；
（2）根据作出的图形可得A1、B1、C1的坐标；
（3）根据矩形、三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行计算即可.
22.【答案】 （1）证明：由题意，得 AB=BC=CA ，且 PB=CQ ，
∴ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠ACB=60° ，
∴ ∠PBC=∠QCA=120° .
在 △PBC 和 △QCA 中， {PB=QC,∠PBC=∠QCA,BC=CA,
∴ △PBC≌△QCA(SAS) .
（2）解： ∠CGQ 的大小不会发生变化.
理由如下：∵ △PBC≌△QCA ，
∴ ∠CPB=∠AQC .
又∵ ∠PCB=∠GCQ,∠ABC=60° ，
∴ ∠CGQ=∠PBC=180°−60°=120° .
故 ∠CGQ 的大小不会发生变化， ∠CGQ=120° .
【考点】三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定（SAS），对顶角及其性质，邻补角
【解析】【分析】（1）由题意得AB=BC=CA，且PB=CQ，则△ABC是等边三角形，得到∠ABC=∠ACB=60°，结合邻补角的性质可得∠PBC=∠QCA=120°，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得∠CPB=∠AQC，由对顶角的性质可得∠PCB=∠GCQ，结合内角和定理可得∠CGQ=∠PBC，据此解答.
23.【答案】 （1）解：设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得： 14521.1x−1200x=20 ，解得：x=6。
经检验，x=6是原方程的解。
答：第一次水果的进价为每千克6元。
（2）解：第一次购水果1200÷6=200（千克），第二次购水果200+20=220（千克），
第一次盈利为200×（8﹣6）=400（元），
第二次盈利为100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6×1.1）=﹣12（元），
∴两次共赚钱400﹣12=388（元）。
答：该老板两次卖水果总体上是盈利了，共赚了388元。
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据1452元购买的数量-1200元购买的数量=20，列出方程，解出方程并检验即可.
（2）先分别求出两次购买水果的数量，然后分别求出两次的盈利，求出两次的盈利和即可.
24.【答案】 （1）解：如图，点P即为所求.
（2）解：如图，在直线l上任取一点Q，连接 QA',QA,QB .
∵点A与 A' 关于直线l对称，点P，Q在直线l上，
∴ PA=PA',QA=OA' .
∵ QA'+QB>A'B ，
∴ QA'+QB>A'B ，即 QA+QB>A'P+BP ，
∴ QA+QB>AP+BP .
【考点】三角形三边关系，轴对称的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l的交点即为P；
（2）在直线l上任取一点Q，连接QA′，QA，QB，由对称的性质可得PA=PA′，QA=QA′，由三角形三边关系可得QA′+QB>A′B，据此证明.
25.【答案】 （1）证明：∵ AM⊥MN,BN⊥MN ，
∴ ∠AMC=∠CNB=90° ，
∴ ∠MAC+∠ACM=90° .
∵ ∠ACB=90° ，
∴ ∠NCB+∠ACM=90° ，
∴ ∠MAC=∠NCB .
在 △AMC 和 △CNB 中， {∠AMC=∠CNB,∠MAC=∠NCB,AC=CB,
∴ △AMC≌△CNB(AAS) ，
∴ AM=CN,MC=NB .
∵ MN=MC+CN ，
∴ MN=AM+BN .
（2）解： MN=BN−AM .
∵ AM⊥MN,BN⊥MN ，
∴ ∠AMC=∠CNB=90° .
∴ ∠MAC+∠ACM=90° .
∵ ∠ACB=90° ，
∴ ∠NCB+∠ACM=90° ，
∴ ∠MAC=∠NCB .
在 △AMC 和 △CNB 中， {∠AMC=∠CNB,∠MAC=∠NCB,AC=CB,
∴ △AMC≌△CNB(AAS) ，
∴ AM=CN,MC=NB .
∵ MN=MC−CN ，
∴ MN=BN−AM .
【考点】同余及其性质（奥数类），三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由垂直的概念可得∠AMC=∠CNB=90°，由同角的余角相等可得∠MAC=∠NCB，证明△AMC≌△CNB，得到AM=CN，MC=NB，然后根据MN=MC+CN进行解答；
（2）同理证明△AMC≌△CNB，得到AM=CN，MC=NB，然后根据MN=MC-CN进行解答.
26.【答案】 （1）135
（2）解：①45；② ∠ADB 的大小不会发生变化.
∵ ∠ADB=∠CBA−∠BAD
=12∠MBA−12∠BAO
=12(∠MBA−∠BAO)
=12∠AOB
=12×90°
=45°
故 ∠ADB 的大小不会发生变化， ∠ADB=45° .
（3）解：∵ ∠BAO 的平分线 AI ， ∠OAE 的平分线 AF 与 ∠BOP 的平分线所在的直线分别相交于点D，F，
∴ ∠DAO=12∠BAO,∠FAO=12∠EAP ，
∴ ∠DAF=12∠BAO+12∠EAP=12(∠BAO+∠EAP)=12×180°=90° ，
∴ ∠ADF=∠POD−∠DAO=12∠POB−12∠BAO=12(∠POB−∠BAO)=12∠ABO .
①当 ∠DAF=3∠ADF 时， ∠ADF=30° ，
∴ ∠ABO=2∠ADF=60° ；
②当 ∠DAF=3∠F 时， ∠F=30°,∠ADF=60° ，
∴ ∠ABO=2∠ADF=120° （舍去）；
③当 ∠F=3∠ADF 时， ∠ADF=22.5° ，
∴ ∠ABO=2∠ADF=45° ；
④当 ∠ADF=3∠F 时， ∠ADF=67.5° ，
∴ ∠ABO=2∠ADF=135° （舍去）.
综上，当 ∠ABO=45° 或 60° 时，在 △ADF 中，有一个角的度数是另一个角的3倍.
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图：（1）∵ MN⊥PQ ，
∴ ∠AOB=90°
∵ ∠BAO=30° ，
∴ ∠ABO=90°−∠BAO=60° .
∵ AI 平分 ∠BAO,BI 平分 ∠ABO ，
∴ ∠IBA=12∠ABO=30°,∠IAB=12∠BAO=15° ，
∴ ∠AIB=180∘−(∠IBA+∠IAB)=135° .
（2）①∵ ∠MBA=∠AOB+∠BAO=90°+30°=120° ，且 AI 平分 ∠BAO,BC 平分 ∠ABM ，
∴ ∠CBA=12∠MBA=60°,∠BAI=12∠BAO=15° .
∵ ∠CBA=∠ADB+∠BAD ，
∴ ∠ADB=∠CBA−∠BAI=60°−15°=45° .
【分析】（1）由垂直的概念可得∠AOB=90°，则∠ABO=60°，由角平分线的概念可得∠IBA=30°，∠IAB=15°，然后利用内角和定理进行求解；
（2）①由外角的性质可得∠MBA=120°，由角平分线的概念可得∠CBA=60°，∠BAI=15°，由外角的性质可得∠CBA=∠ADB+∠BAD，据此计算；
②由角平分线的概念可得∠CBA=12∠MBA，∠BAD=12∠BAO，由外角的性质可得∠BAD+∠ADB=∠CBA，据此求解；
（3）由角平分线的概念可得∠DAO=12∠BAO，∠FAO=12∠EAP，根据∠DAF=∠DAO+∠FAO可得∠DAF=90°，由外角的性质可得∠ADF=∠POD-∠OAD=12∠ABO，然后分①∠DAF=3∠ADF，②∠DAF=3∠F，③∠F=3∠ADF，④∠ADF=3∠F进行计算.
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