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2022届初中数学一轮复习 第18讲 相似三角形 课件
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这是一份2022届初中数学一轮复习 第18讲 相似三角形 课件，共51页。PPT课件主要包含了考点梳理整合，中考真题体验，考法互动研析，数学文化探索，Part1，答案B，Part2，比例的基本性质，Part3，答案D等内容，欢迎下载使用。
命题点 相似三角形的判定与性质1.(2019·安徽,7,4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为( )A.3.6D.5
2.(2016·安徽,8,4分)如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为( )
3.(2013·安徽,13,5分)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2=_____________.
答案 8解析 过P作PQ∥DC交BC于点Q,由DC∥AB,得到PQ∥AB,∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形,∴△PDC≌△CQP,△ABP≌△QPB,∴S△PDC=S△CQP,S△ABP=S△QPB,∵EF为△PCB的中位线,∴EF∥BC,EF= BC,∴△PEF∽△PBC,且相似比为1∶2,∴S△PEF∶S△PBC=1∶4,∵S△PEF=2,∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8.
4.(2019·安徽,23,14分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证:△PAB∽△PBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证: =h2·h3.
解 (1)∵∠ACB=90°,AB=BC,∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC.又∠APB=135°,∴∠PAB+∠PBA=45°,∴∠PBC=∠PAB.又∵∠APB=∠BPC=135°,∴△PAB∽△PBC.
证法二:∵∠APB=∠BPC=135°,∴∠APC=90°.∵∠CAP<45°,∴AP>CP.在线段AP上取点D,使AD=CP.又∵∠PAB=∠CBP,∴∠CAD=∠BCP.∵AC=CB,∴△ADC≌△CPB.∴∠ADC=∠CPB=135°.∠CAD+∠PAB=45°,且∠PBA+∠PAB=45°.∴∠CAD=∠PBA.又∵∠CDP=45°,∴△PDC为等腰直角三角形,∴CP=PD.∴AD=CP,PA=2PC.
(3)如图,过点P作PD⊥BC,PE⊥AC交BC,AC于点D,E,∴PF=h1,PD=h2,PE=h3,∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°,∴∠APC=90°,∴∠EAP+∠ACP=90°,又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°
考点一 比例线段(低频考点) 1.比例线段的定义对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等 ,如 (即ad=bc ),我们就说这四条线段成比例.
3.平行线分线段成比例(1)两条直线被一组平行线 所截,如果在其中一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等 . (2)基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 .如图1,若l1∥l2∥l3,(3)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图2,在△ABC中,DE∥ BC,则 .
4.黄金分割一般地,如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果AC是线段AB和BC的比例中项 ,且 ,那么点C叫做线段AB的黄金分割点.AC和AB的比叫做黄金比.
考点二 相似三角形的概念、性质及判定(高频考点) 1.概念对应角相等 ,对应边成比例 的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比叫做相似比 .
2.相似三角形的性质及判定(10年9考)
3.三角形相似的判定思路和常见的图形
考点三 相似多边形及其性质(低频考点) 1.概念对应角相等 ,对应边成比例 的两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比 . 2.相似多边形的性质(1)相似多边形的对应角相等 ,对应边成比例 ; (2)相似多边形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 ; (3)相似多边形周长的比等于相似比 ,面积的比等于相似比的平方 .
考法1比例线段及比例的性质例1 (2020·四川成都)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC和DF被l1,l2,l3所截,且AB=5,BC=6,EF=4,则DE的长为( )
对应练1(2020·黑龙江哈尔滨)如图,在△ABC中,点D在BC上,连接AD,点E在AC上,过点E作EF∥BC,交AD于点F,过点E作EG∥AB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是( )
考法2 相似三角形的性质与判定例2 (2020·四川攀枝花)三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形的重心.如图G是△ABC的重心.求证:AD=3GD.
证明 连接DE,如图,∵点G是△ABC的重心,∴点E和点D分别是AB和BC的中点,∴DE是△ABC的中位线.
方法总结 利用相似三角形证明等积线段的基本思路:1.先把等积线段转化为比例线段,再找出与比例线段中的线段有关的两个三角形,然后再证明这两个三角形相似,利用“相似三角形对应边成比例”即可推出结论.2.寻找并证明两个三角形相似是解题的关键,寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”,即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法,具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这叫做“横定”;若不能,再看每个比的前后两项的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这叫做“竖定”.
对应练4(2020·新疆建设兵团)如图,在△ABC中,∠A=90°,D是AB的中点,过点D作BC的平行线,交AC于点E,作BC的垂线交BC于点F,若AB=CE,且△DFE的面积为1,则BC的长为( )
对应练6(2020·浙江杭州)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,DE∥AC,EF∥AB.(1)求证:△BDE∽△EFC.①若BC=12,求线段BE的长;②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.
对应练7(2020·上海)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,BE=DF,CE的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.(1)求证:△BEC∽△BCH;(2)如果BE2=AB·AE,求证:AG=DF.
证明 (1)∵四边形ABCD是菱形,∴CD=CB,∠D=∠B,CD∥AB.∵DF=BE,∴△CDF≌CBE(SAS),∴∠DCF=∠BCE.∵CD∥BH,∴∠H=∠DCF,∴∠BCE=∠H,∵∠B=∠B,∴△BEC∽△BCH.∵DF=BE,BC=AB,∴BE=AG=DF,即AG=DF.
胡夫金字塔是古埃及金字塔中最大的金字塔.塔高146.59米,因年久风化,顶端剥落10余米,现高136.5米,相当于40层大厦高.大小不等的石料重达1.5吨至50吨,塔的总质量约为684万吨,它的规模是埃及至今发现的110座金字塔中最大的.它是一座几乎实心的巨石体,成群结队的人将这些大石块沿着金字塔内部的螺旋上升通道往上拖运,然后逐层堆砌而成,十万多个工匠共用约20年的时间才完成的人类奇迹,埃菲尔铁塔还未建成时,胡夫金字塔还曾是世界上最高的建筑物.
1.(2020·山西)泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家,他最早提出了命题的证明.泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长、标杆的高度、金字塔的影长,推算出金字塔的高度.这种测量原理,就是我们所学的( )A.图形的平移B.图形的旋转C.图形的轴对称D.图形的相似
2.(2018·吉林长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为( )A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺
答案 B解析 设竹竿的长度为x尺.∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=1.5尺,标杆的影长五寸=0.5尺,∴ ,解得x=45,即竹竿的长度为四丈五尺.
3.(2020·上海)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB=1.6米,BD=1米,BE=0.2米,那么井深AC为_____________米.
命题点 相似三角形的判定与性质1.(2019·安徽,7,4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为( )A.3.6D.5
2.(2016·安徽,8,4分)如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为( )
3.(2013·安徽,13,5分)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2=_____________.
答案 8解析 过P作PQ∥DC交BC于点Q,由DC∥AB,得到PQ∥AB,∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形,∴△PDC≌△CQP,△ABP≌△QPB,∴S△PDC=S△CQP,S△ABP=S△QPB,∵EF为△PCB的中位线,∴EF∥BC,EF= BC,∴△PEF∽△PBC,且相似比为1∶2,∴S△PEF∶S△PBC=1∶4,∵S△PEF=2,∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8.
4.(2019·安徽,23,14分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证:△PAB∽△PBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证: =h2·h3.
解 (1)∵∠ACB=90°,AB=BC,∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC.又∠APB=135°,∴∠PAB+∠PBA=45°,∴∠PBC=∠PAB.又∵∠APB=∠BPC=135°,∴△PAB∽△PBC.
证法二:∵∠APB=∠BPC=135°,∴∠APC=90°.∵∠CAP<45°,∴AP>CP.在线段AP上取点D,使AD=CP.又∵∠PAB=∠CBP,∴∠CAD=∠BCP.∵AC=CB,∴△ADC≌△CPB.∴∠ADC=∠CPB=135°.∠CAD+∠PAB=45°,且∠PBA+∠PAB=45°.∴∠CAD=∠PBA.又∵∠CDP=45°,∴△PDC为等腰直角三角形,∴CP=PD.∴AD=CP,PA=2PC.
(3)如图,过点P作PD⊥BC,PE⊥AC交BC,AC于点D,E,∴PF=h1,PD=h2,PE=h3,∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°,∴∠APC=90°,∴∠EAP+∠ACP=90°,又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°
考点一 比例线段(低频考点) 1.比例线段的定义对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等 ,如 (即ad=bc ),我们就说这四条线段成比例.
3.平行线分线段成比例(1)两条直线被一组平行线 所截,如果在其中一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等 . (2)基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 .如图1,若l1∥l2∥l3,(3)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图2,在△ABC中,DE∥ BC,则 .
4.黄金分割一般地,如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果AC是线段AB和BC的比例中项 ,且 ,那么点C叫做线段AB的黄金分割点.AC和AB的比叫做黄金比.
考点二 相似三角形的概念、性质及判定(高频考点) 1.概念对应角相等 ,对应边成比例 的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比叫做相似比 .
2.相似三角形的性质及判定(10年9考)
3.三角形相似的判定思路和常见的图形
考点三 相似多边形及其性质(低频考点) 1.概念对应角相等 ,对应边成比例 的两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比 . 2.相似多边形的性质(1)相似多边形的对应角相等 ,对应边成比例 ; (2)相似多边形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 ; (3)相似多边形周长的比等于相似比 ,面积的比等于相似比的平方 .
考法1比例线段及比例的性质例1 (2020·四川成都)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC和DF被l1,l2,l3所截,且AB=5,BC=6,EF=4,则DE的长为( )
对应练1(2020·黑龙江哈尔滨)如图,在△ABC中,点D在BC上,连接AD,点E在AC上,过点E作EF∥BC,交AD于点F,过点E作EG∥AB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是( )
考法2 相似三角形的性质与判定例2 (2020·四川攀枝花)三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形的重心.如图G是△ABC的重心.求证:AD=3GD.
证明 连接DE,如图,∵点G是△ABC的重心,∴点E和点D分别是AB和BC的中点,∴DE是△ABC的中位线.
方法总结 利用相似三角形证明等积线段的基本思路:1.先把等积线段转化为比例线段,再找出与比例线段中的线段有关的两个三角形,然后再证明这两个三角形相似,利用“相似三角形对应边成比例”即可推出结论.2.寻找并证明两个三角形相似是解题的关键,寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”,即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法,具体做法是:先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这叫做“横定”;若不能,再看每个比的前后两项的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形,若能,则只要证明这两个三角形相似就可以了,这叫做“竖定”.
对应练4(2020·新疆建设兵团)如图,在△ABC中,∠A=90°,D是AB的中点,过点D作BC的平行线,交AC于点E,作BC的垂线交BC于点F,若AB=CE,且△DFE的面积为1,则BC的长为( )
对应练6(2020·浙江杭州)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,DE∥AC,EF∥AB.(1)求证:△BDE∽△EFC.①若BC=12,求线段BE的长;②若△EFC的面积是20,求△ABC的面积.
对应练7(2020·上海)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,AD上,BE=DF,CE的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.(1)求证:△BEC∽△BCH;(2)如果BE2=AB·AE,求证:AG=DF.
证明 (1)∵四边形ABCD是菱形,∴CD=CB,∠D=∠B,CD∥AB.∵DF=BE,∴△CDF≌CBE(SAS),∴∠DCF=∠BCE.∵CD∥BH,∴∠H=∠DCF,∴∠BCE=∠H,∵∠B=∠B,∴△BEC∽△BCH.∵DF=BE,BC=AB,∴BE=AG=DF,即AG=DF.
胡夫金字塔是古埃及金字塔中最大的金字塔.塔高146.59米,因年久风化,顶端剥落10余米,现高136.5米,相当于40层大厦高.大小不等的石料重达1.5吨至50吨,塔的总质量约为684万吨,它的规模是埃及至今发现的110座金字塔中最大的.它是一座几乎实心的巨石体,成群结队的人将这些大石块沿着金字塔内部的螺旋上升通道往上拖运,然后逐层堆砌而成,十万多个工匠共用约20年的时间才完成的人类奇迹,埃菲尔铁塔还未建成时,胡夫金字塔还曾是世界上最高的建筑物.
1.(2020·山西)泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家,他最早提出了命题的证明.泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长、标杆的高度、金字塔的影长,推算出金字塔的高度.这种测量原理,就是我们所学的( )A.图形的平移B.图形的旋转C.图形的轴对称D.图形的相似
2.(2018·吉林长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为( )A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺
答案 B解析 设竹竿的长度为x尺.∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=1.5尺,标杆的影长五寸=0.5尺,∴ ,解得x=45,即竹竿的长度为四丈五尺.
3.(2020·上海)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示,在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB=1.6米,BD=1米,BE=0.2米,那么井深AC为_____________米.
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