2022届初中数学一轮复习 课时作业16 等腰、等边与直角三角形

这是一份2022届初中数学一轮复习 课时作业16 等腰、等边与直角三角形，共9页。
课时作业16　等腰、等边与直角三角形1.(2020·福建)如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD=5，则CD等于(　　)A.10 B.5 C.4 D.32.(2020·福建)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是(　　)A.1 B. C. D.3.(2020·青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是(　　)A.55°，55° B.70°，40°或70°，55°C.70°，40° D.55°，55°或70°，40°4.(2020·河南)如图，在△ABC中，AB=BC=，∠BAC=30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为(　　)A.6 B.9 C.6 D.35.(2020·山东菏泽)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC=4，CD=3，则cos∠DCB的值为　　　　. 6.(2020·北京)如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为S△ABC　　　　S△ABD(填“>”“=”或“<”). 7.(2020·湖南邵阳)如图，线段AB=10 cm，用尺规作图法按如下步骤作图.(1)过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC=AB；(2)连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E；(3)以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D.即点D为线段AB的黄金分割点.则线段AD的长度约为　　　　 cm.(结果保留两位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236) 8.(2020·甘肃武威)如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD=BA.(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F.(2)连接EF，请写出线段EF和AC的数量关系及位置关系.9.(2020·内蒙古包头)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，按以下步骤作图：(1)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点(点M在AB的上方)；(2)作直线MN交AB于点O，交BC于点D；(3)用圆规在射线OM上截取OE=OD.连接AD，AE，BE，过点O作OF⊥AC，垂足为F，交AD于点G.下列结论：①CD=2GF；②BD2-CD2=AC2；③S△BOE=2S△AOG；④若AC=6，OF+OA=9，则四边形ADBE的周长为25.其中正确的结论有(　　)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.(2020·内蒙古通辽)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ=90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　　　　. 11.(2020·四川乐山)把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F，则=　　　　. 12.(2020·黑龙江大兴安岭)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点A1(0，2)变换到点A2(6，0)，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3(6，0)，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4(10，4)，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5(10+12，0)，得到等腰直角三角形⑤；依此规律……则第2 020个等腰直角三角形的面积是　　　　. 13.(2020·四川凉山州)如图，点P，Q分别是等边△ABC边AB，BC上的动点(端点除外)，点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发.　　　图1　　　　　　　　图2(1)如图1，连接AQ，CP求证：△ABQ≌△CAP；(2)如图1，当点P，Q分别在AB，BC边上运动时，AQ，CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化?若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；(3)如图2，当点P，Q在AB，BC的延长线上运动时，直线AQ，CP相交于M，∠QMC的大小是否变化?若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
参考答案1.B　解析 ∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，且等腰三角形三线合一，∴CD=BD=5.2.D　解析 ∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，且△ABC是等边三角形，∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE，∴△DEF的面积是.3.D　解析 ①当70°的内角为这个等腰三角形的顶角，则另外两个内角均为底角，它们的度数为=55°；②当70°的内角为这个等腰三角形的底角，则另两个内角一个为底角，一个为顶角，底角为70°，顶角为180°-70°-70°=40°.综上，另外两个内角的度数分别是55°，55°或70°，40°，故 选D.4.D　解析 连接BD交AC于O，∵AD=CD，AB=BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO=CO.∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC=30°.∵AC=AD=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC=∠DCA=60°，∴∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=∠CDB=30°.∵AB=BC=，∴AD=CD=AB=3，∴四边形ABCD的面积=2××3×=3，故选D.5.　解析 ∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，点D是AB边的中点，∴DC=DB，∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，∴cos∠DCB=cos B=.6.=　解析 如下图所示，设小正方形网格的边长为1，由网格图可得S△ABC=×4×2=4，S△ABD=5×2-S1-S2-S3=10-×1×5-×1×3-×2×2=4，故有S△ABC=S△ABD.7.6.18　解析 由作图得△ABC为直角三角形，CE=BC=AB=5 cm，AE=AD，∴AC==5(cm)，∴AE=AC-CE=5-5=5(-1)(cm)，∴AD=AE=5(-1)≈6.18(cm).8.解 (1)如图，①BE即为所求作的∠ABC的角平分线；②过F的垂线是所求作的线段DC的垂直平分线.(2)如图，连接EF.∵BA=BD，BE平分∠ABC， ∴AE=DE.由作图可知DF=CF ∴EF是△DAC的中位线，∴EF∥AC，EF=AC.9.D　解析 由题意知，MN垂直平分AB，∴OA=OB，ED⊥AB.∵OD=OE，∴四边形ADBE是菱形.∵OF⊥AC，∠ACB=90°，∴OF∥BC，AF=CF，∴FG是△ACD的中位线，∴CD=2GF，故①正确；∵四边形ADBE是菱形，∴AD=BD.在Rt△ACD中，AD2-CD2=AC2，∴BD2-CD2=AC2，故②正确；∵FG是△ACD的中位线，∴点G是AD的中点，∴S△AOD=2S△AOG.∵S△AOD=S△BOE，∴S△BOE=2S△AOG，故③正确；∵AC=6，∴AF=3.设OA=x，则OF=9-x.∵OA2=OF2+AF2，∴x2=(9-x)2+32，解得x=5，∴AB=10，∴BC=8，∵BD2-CD2=AC2，∴BD2-(8-BD)2=62，解得BD=，∴四边形ADBE的周长为×4=25.故选D.10.PA2+PB2=P解析 过点C作CD⊥AB，交AB于点D.∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB.∵PA2=(AD-PD)2=(CD-PD)2=CD2-2CD·PD+PD2，PB2=(BD+PD)2=(CD+PD)2=CD2+2CD·PD+PD2，∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2(CD2+PD2)，在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2.∴PA2+PB2=2PC2.∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，∴2PC2=PQ2，∴PA2+PB2=PQ2.11.　解析 连接CE，设CD=2x.在RtΔACD和RtΔABC中，∠BAC=∠CAD=30°，∴∠D=60°，AD=4x，AC==2x，BC=AC=x，AB==3x.∵点E为AD的中点，∴CE=AE=DE=AD=2x，∴ΔCED为等边三角形，∴∠CED=60°.∵∠BAD=∠BAE+∠CAD=30°+30°=60°，∴∠CED=∠BAD，∴AB∥CE，∴∠ABF=∠CEF，∠BAF=∠ECF，∴△ABF∽△CEF，∴，∴.12.22 020(形式可以不同，正确即可)解析 ∵点A1(0，2)，∴第1个等腰直角三角形的面积=×2×2=2.∵A2(6，0)，∴第2个等腰直角三角形的边长为=2.∴第2个等腰直角三角形的面积=×2×2=4=22.∵A4(10，4)，∴第3个等腰直角三角形的边长为10-6=4，∴第3个等腰直角三角形的面积=×4×4=8=23.……则第2 020个等腰直角三角形的面积是22 020.13.解 (1)证明：∵三角形ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°.∵点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，∴BQ=AP.在△ABQ与△CAP中，∴△ABQ≌△CAP(SAS).(2)角度不变，60°，理由如下：∵△ABQ≌△CAP，∴∠CPA=∠AQB.在△AMP中，∠AMP=180°-(∠MAP+∠CPA)=180°-(∠MAP+∠AQB)=∠ABC=60°，∴∠QMC=∠AMP=60°。故∠QMC的度数不变，度数为60°.(3)角度不变，120°，理由如下：当点P，Q在AB，BC的延长线上运动时，有AP=BQ，∴BP=CQ，∵∠ABC=∠BCA=60°，∴∠CBP=∠ACQ=120°，在△CBP和△ACQ中，∴△CBP≌△ACQ(SAS)，∴∠Q=∠P.∵∠QCM=∠BCP，∴∠QMC=∠CBP=120°.故∠QMC的度数不变，度数为120°.