2020-2021学年福州第一中学九年级上学期期中数学试题（含答案与解析）

这是一份2020-2021学年福州第一中学九年级上学期期中数学试题（含答案与解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（完卷120分钟 满分150分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，正确理解定义是关键．
2. 如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是
A. 1：16B. 1：6C. 1：4D. 1：2
【答案】D
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【详解】解：两个相似三角形面积比是1：4，
两个相似三角形的相似比是1：2，
两个相似三角形的周长比是1：2，
故选D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
3. 把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
【详解】把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点．
4. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A. 图形的平移B. 图形的旋转C. 图形的轴对称D. 图形的相似
【答案】D
【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度
故选：D.
【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
5. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．
【详解】由已知得：△ABC△DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项错误；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，
故△AEF△ABC，则，
假设BC=EF，则有AE=AB，
由图显然可知AEAB，故假设BC=EF不成立，故B选项错误；
假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，
故△CED等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，
因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项错误；
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°．
故AB⊥DF，D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．
6. 《我和我的家乡》一上映就获得追捧，目前票房已突破27亿．第一天票房约2.66亿元，以后每天果房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达6.66亿元，若把增长率记作．则方程可以列为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】设增长率为x，由题意得等量关系：第一天的票房收入+第二天的票房收入+第三天的票房收入=6.66亿，然后列出方程即可．
【详解】解：设增长率为x，由题意得：
2.66+2.66（1+x）+2.66 （1+x）2=6.66，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．
7. 如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A. 乙错，丙对B. 甲和乙都错
C. 乙对，丙错D. 甲错，丙对
【答案】C
【分析】分别令x（4-x）的值为5，4，3，得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几个，即可得到点P的个数．
【详解】当b=5时，令x（4-x）=5，整理得：x2-4x＋5=0，△=(-4)2-4×5=-6<0，因此点P的个数为0，甲的说法正确；
当b=4时，令x（4-x）=4，整理得：x2-4x+4=0，△=(-4)2-4×4=0，因此点P有1个，乙的说法正确；
当b=3时，令x（4-x）=3，整理得：x2-4x+3=0，△=(-4)2-4×3=4>0，因此点P有2个，丙的说法不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成一元二次方程根的判别式．
8. 在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）
A. 四边形B. 四边形
C. 四边形D. 四边形
【答案】A
【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．
【详解】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．
故选：A
【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形．
9. 我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸(1尺＝10寸)，问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为( )
A. 12尺B. 56尺5寸C. 57尺5寸D. 62尺5寸
【答案】C
【分析】根据平行证△ABC∽△ADE，再根据相似三角形的性质即可求AD的长，最后减去AB的长即可得到井深．
【详解】∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴AB：AD＝BC：DE，
即5：AD＝0.4：5，
解得AD＝62.5，
BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5尺．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质.解题的关键是得到△ABC∽△ADE．
10. 已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①；
②关于x的方程有两个不等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【分析】根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式，即可判断②；根据以及c=-2a，即可判断③．
【详解】∵抛物线经过点，对称轴是直线，
∴抛物线经过点，b=-a
当x= -1时，0=a-b+c，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c，
∴a+b=0，∴ab<0，∵c＞1，
∴abc＜0，由此①是错误的，
由已知，抛物线与x轴，有两个交点，
∴
∵②中方程，
∴关于x的方程有两个不等的实数根，②正确；
∵，c=-2a>1， ∴，③正确
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题
11. 若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________．
【答案】-2
【分析】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．
【详解】解：将x=1代入一元二次方程有：，k=-1，
方程
即方程的另一个根为x=-2
故本题的答案为-2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是______．
【答案】（-1，-3）
【分析】根据题意画出图形解决问题即可．
【详解】解：如图，A′（-1，-3）．
故答案为（-1，-3）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化—旋转，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
13. 如图，，直线，与，，分别相交于点、、和、、，若，．则的长是______．
【答案】6
【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
∴EF=6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
14. 抛物线与直线的两个交点坐标为，，则方程的解为______．
【答案】，
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于的方程的解．
【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
方程组的解为，，
即关于的方程的解为，．
故答案为，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点坐标是，，对称轴直线．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．
15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则旋转角的度数为______．
【答案】84°
【分析】由旋转的性质可得∠C=∠C'，AB=AB'，由等腰三角形的性质可得∠C=∠CAB'，∠B=∠AB'B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵AB'=CB'，
∴∠C=∠CAB'，
∴∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，
∴∠C=∠C'，AB=AB'，
∴∠B=∠AB'B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C=180°-108°，
∴∠C=24°，
∴∠CAB'=∠C=24°，
∴旋转角度数=∠BAB'=∠BAC-∠CAB'=84°，
故答案为：84°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
16. 点、、都在半径为6的上，且，点是弦的中点，则的长度的最大值为______．
【答案】
【分析】如图，取AO的中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥OC，交CO的延长线于H．求出MJ，CJ，根据CM≤MJ+CJ即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，过点作，交的延长线于．
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轨迹，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）解方程：
（2）将二次函数的一般式化为顶点式．并写出它的对称轴及顶点坐标．
【答案】（1）x1=0，x2=；（2）y=（x-2）2+1，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，1）
【分析】（1）先移项，然后提公因式即可解答此方程；
（2）先将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴和顶点坐标．
【详解】解：（1）∵2x2=x，
∴2x2-x=0，
∴x（2x-1）=0，
∴x=0或2x-1=0，
解得x1=0，x2=；
（2）y=x2-4x+5=（x-2）2+1，
则该函数的对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，1）．
【点睛】本题考查二次函数的性质和解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18. 如图，为弦，半径，垂足为，如果，，求的半径．
【答案】5
【分析】连接OA，由于半径OC⊥AB，利用垂径定理得AD=BD=AB=4，设⊙O的半径为r，则OD=r-2，在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：连接OA，如图所示：
∵半径OC⊥AB，AB=8，
∴AD=BD=AB=4，
设⊙O的半径为r，则OD=r-2，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：42+（r-2）2=r2，
解得：r=5，
即⊙O的半径为5．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19. 如图，将绕点旋转得到，且，，三点在同一条直线上．
求证：平分．
【答案】见解析
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，进一步得到BA=BD，从而得到∠A=∠ADB，根据∠A=∠BDE得到∠ADB=∠BDE，从而证得结论．
【详解】解：证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE
∴BA=BD，∠A=∠BDE，
∴∠A=∠ADB．
∴∠ADB=∠BDE．
∴DB平分∠ADE．
【点睛】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．
20. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．
（1）在图1中，作关于点对称的；
（2）在图2中，作绕点顺时针旋转后得到的．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）结合网格分别作出点A、B、C关于点O的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）分别作出点B、C绕点A顺时针旋转90°后得到的对应点，再首尾顺次连接即可．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△AB2C2即为所求．
【点睛】本题主要考查作图—旋转变换和画中心对称图形，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此作出变换后的对应点．
21. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】证明：（1）∵四边形是矩形，
∴，．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
解：（2）∵，
∴．
∵，是的中点，
∴．
∴在中，．
又∵，
∴，
∴．
【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.
22. 鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件降价元，每星期的销售量为件．
（1）求与之间的函数关系式;
（2）当每件降价多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？
【答案】（1）y=100+10x；（2）每件降价为10元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元；（3）170件
【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
（3）列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题．
【详解】解：（1）根据题意得，y=100+10x．
（2）设每星期利润为W元，
W=（60-30-x）（100+10x）=-10（x-10）2+4000．
∴x=10时，W最大值=4000．
∴每件降价为10元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元．
（3）由题意：-10（x-10）2+4000≥3910，
解得：7≤x≤13，
∵y=100+10x．
∵170≤y≤230，
∴每星期至少要销售该款童装170件．
【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题．
23. 小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ．
（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：
综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象．
（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ．
【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；
（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；
（3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，在函数中，
∵,
∴函数在中，随的增大而减小；
∵，
∴对称轴为：，
∴在中，随的增大而减小；
综合上述，在中，随的增大而减小；
故答案为：减小，减小，减小；
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：
（3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值；
由（1）可知在中，随的增大而减小；
∴在中，有
当时，，
∴m的最大值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．
24. (1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．
求证：AB2＝AD·AC；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC
于点F．，求的值；
(3) 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合)，直线BE⊥ＡD
于点E，交直线AC于点F．若，请探究并直接写出的所有可能的值(用含n的式子表
示)，不必证明．
【答案】(1)证明见解析(2)2(3) ①当点D在BC边上时，的值为n2＋n；②当点D在BC延长线上时，的值为n2－n；③当点D在CB延长线上时，的值为n－n2．
【分析】（1）由证△ADB∽△ABC即可得到结论．
（2）过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，由已知用AAS证△BDE≌△CDG，得到EF是△ACG的中位线，应用（1）的结论即可．
（3）分点D在BC边上、点D在BC延长线上和点D在CB延长线上三种情况讨论
【详解】解：(1)证明：如图①，∵ BD⊥AC，∠ABC=90°，∠ADB＝∠ABC，
又∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC ．
∴，∴ AB2＝AD·AC．
(2)如图②，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G．
∵ BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF．
又∵，
∴AB＝BC＝2BD＝2DC，BD＝DC．
又∵∠BDE＝∠CDG，∴△BDE≌△CDG（AAS）．
∴ED＝GD＝．
由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD，
∴．∴ AE＝4DE．∴．
又∵CG∥BF，∴．
(3)
①当点D在BC边上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G．
∵ BE⊥AD，∴∠CGD＝∠BED＝90°，CG∥BF．
∴△BDE∽△CDG．∴．
又∵，∴
∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nGD．
∴BC=（n＋1）DC，EG=ED．
由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD，
∴．∴ AE＝ DE．
∴．
又∵CG∥BF，∴．
②当点DBC延长线上时，如图4，过点C作CH⊥AD交AD于点H．
∵ BE⊥AD，∴∠CHD＝∠BED＝90°，CH∥BF．
∴△BDE∽△CDH．∴
又∵，∴
∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nHD．
∴BC=（n－1）DC，EH=ED．
由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD，
∴．∴ AE＝ DE．
∴．
又∵CH∥BF，∴．
③当点D在CB延长线上时，如图5，过点C作CI⊥AD交DA的延长线于点I．
∵ BE⊥AD，∴∠CID＝∠BED＝90°，CI∥BF．
∴△BDE∽△CDI．∴
又∵，∴
∴AB＝nBC，BD＝nDC，ED＝nID．
∴BC=（1－n）DC，EI=ED．
由(1)可得：AB2＝AE·AD，BD2＝DE·AD，
∴．∴ AE＝ DE．
∴．
又∵CI∥BF，∴．
∴①当点D在BC边上时，的值为n2＋n；
②当点D在BC延长线上时，的值为n2－n；
③当点D在CB延长线上时，的值为n－n2．
25. 已知抛物线方程为，点是抛物线上任意一点．
（1）我们称为抛物线的焦点，直线:为抛物线的准线，连接线段，作于点．
求证：；
（2）已知抛物线过点．
①求抛物线的解析式，并求抛物线的焦点坐标；
②将绕焦点顺时针旋转，得到点，求周长的最小值；
③直线：与抛物线交于、两点，点是坐标原点，．
求证：直线过定点．
【答案】（1）见解析；（2）①，点；②11；③见解析
【分析】（1），而，即可求解；
（2）①将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得，进而求解；
②求出，当、、三点共线时，此时周长最小值，即可求解；
③联立与并整理得：，则；再证明，即，得到，解得，即可求解．
【详解】解：（1）如图1，设点，
则，则，
而，
（2）①将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为，则点；
②如图2，将图形向下平移1个单位，此时点，对应点，
再将该图形向上平移1个单位，则此时点的坐标为，即为题干要求点的位置，即点，
由（1）知，，而为常数，故当、、三点共线时，为最小，
此时周长最小值；
③如图3，联立与并整理得：，则，
过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，
，，
，
，即，
则，即，
整理得：，解得，
故直线的表达式为，
当时，，
故直线过定点．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、图形的平移和旋转、新定义等，有一定的综合性，难度较大．0
1
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