2020-2021学年福州三牧中学七年级上学期期末数学试题（含答案与解析）

这是一份2020-2021学年福州三牧中学七年级上学期期末数学试题（含答案与解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分150分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项）
1. 2021的倒数是（ ）
A. B. C. 2021D.
【答案】D
【分析】根据倒数的定义即可得出正确选项．
【详解】解：2021的倒数是，
故选：D．
【点睛】本题考查倒数的定义，非零整数的倒数是．
2. 我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“ 一带一路”地区覆盖总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. 44×107B. 4.4×108C. 4.4×109D. 4.4×1010
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：4400000000=4.4×109．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如果，那么根据等式的性质下列变形不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用等式的性质变形得到结果，即可作出判断．
【详解】A、两边都加上2得，故该选项正确，不符合题意；
B、两边都减去5得，故该选项不正确，符合题意；
C、两边都乘以3得，故该选项正确，不符合题意；
D、两边都除以3得，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．
4. 下列语句中，真命题是（ ）
A. 实数和数轴上的点一一对应B. 无限小数都是无理数
C. 负数没有立方根D. 16的平方根是±4，用式子表示是
【答案】A
【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案．
【详解】解：A、实数和数轴上的点一一对应，正确；
B、无限不循环小数是无理数，故B错误；
C、负数的立方根是负数，故C错误；
D、16的平方根是±4，用式子表示是，故D错误；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数，正确把握相关定义是解题关键．
5. 若将一副三角板按如图所示的不同方式摆放，则图中∠a与∠β相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】A选项，由图形可得两角互余，不合题意；B选项，由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；C选项，由图形可分别求出∠α与∠β的度数，即可做出判断；D选项，由图形得出两角的关系，即可做出判断．
【详解】解：A、由图形得：∠α+∠β＝90°，不合题意；
B、由图形得：∠β＝45°，∠α＝90°﹣45°＝45°，符合题意；
C、由图形得：∠α＝90°﹣45°＝45°，∠β＝90°﹣30°＝60°，不合题意；
D、由图形得：90°﹣∠β＝60°﹣∠α，即∠α+30°＝∠β，不合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查余角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握余角的性质.
6. 如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AC的长等于（ ）
A. 3 cmB. 6 cmC. 11 cmD. 14 cm
【答案】B
【分析】由CB＝4cm，DB＝7cm求得CD=3cm，再根据D是AC的中点即可求得AC的长
【详解】∵C，D是线段AB上两点，CB＝4cm，DB＝7cm，
∴CD＝DB﹣BC＝7﹣4＝3（cm），
∵D是AC的中点，
∴AC＝2CD＝2×3＝6（cm）．
故选：B．
【点睛】此题考察线段的运算，根据图形确定线段之间的数量关系即可正确解答.
7. 在下列说法中:①表示负数；②多项式的次数是；③单项式的系数为；④若，则为非正数.其中正确的个数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【分析】根据小于0的数是负数，可判断①，根据多项式的次数，可判断②，根据单项式的系数，可判断③，根据绝对值的意义，可判断④．
【详解】解：①当a=0时，-a=0不是负数，故①说法错误；
②多项式的次数是4，故②说法正确；
③单项式的系数为，故③说法错误；
④若，则a≤0，故④说法正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了负数的意义、多项式次数的定义、单项式系数的定义、以及绝对值的意义，根据定义求解是解题关键．
8. 如图，a∥b，则下列结论中正确的是（ ）
A. ∠1＝∠2B. ∠2+∠3＝180°C. ∠1＝∠4D. ∠2＝4
【答案】D
【分析】由a∥b，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠4＝∠5，结合对顶角相等可得出∠2＝∠4．
【详解】∵a∥b，
∴∠4＝∠5．
又∵∠2＝∠5，
∴∠2＝∠4．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
9. 如图，以数轴的单位长度线段为边作个正方形，以表示1的点圆心，正方形对角线长为半径画弧．交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A. 1B. －1C. 1－D.
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数-较小的数，便可求出1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．
【详解】解：数轴上正方形的对角线长为：，
由图中可知1和A之间的距离为．
∴点A表示的数是．
故选：C
【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
10. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘. 求共有多少人？设有人，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】设有x个人，由每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，根据车的数量不变列出方程即可．
【详解】解：设有x个人，则可列方程：
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示车的数量是解题关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分：请将正确答案填在答题卡相应位置）
11. 计算：_______.
【答案】.
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义即可，
【详解】解： .
故答案为
12. 若是方程的解．则a的值是 _________．
【答案】
【分析】把x的值代入方程计算即可求出a的值．
详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
13. 已知与互为相反数，则的值是 _________．
【答案】9
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
解得，，
所以，．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14. 如图所示，把长方形ABCD沿EF对折，若∠AEF=110°，则∠1=_____°．
【答案】40
【分析】根据四边形ABCD为长方形得AD∥BC，再根据平行线的性质得∠AEF+∠3=180°，则可计算出∠3=70°，然后根据折叠的性质得到∠2=∠3=70°，再利用平角的定义可计算出∠1．
【详解】如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF+∠3=180°，
∴∠3=180°-110°=70°，
∵矩形ABCD沿EF对折后使两部分叠合，
∴∠2=∠3=70°，
∴∠1=180°-∠2-∠3=40°．
故答案为40．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
15. 如图是一个正方体的展开图，若此正方体的相对面上的数互为相反数，则______________.
【答案】-2
【分析】根据正方体的展开图，先判断a、b、c的相对面分别时哪个数字，然后根据相反数的意义求出数字的值代入关系式即可解决.
【详解】由正方形的展开图可知，a与c是对面，b和-2是对面，
∵正方体的相对面上的数互为相反数，
∴a=-c,b=2
∴
故答案为-2
【点睛】本题考查了正方体的展开图和相反数的意义，解决本题的关键是熟练掌握正方体的展开图，能够根据展开图确定相对面.
16. 如图，已知AB∥CD，AE、CE分别甲分∠FAB，∠FCD，∠F＝a，则∠E＝_________，（用含a的式子表示）
【答案】
【分析】延长EA交CD于G，由平行线的性质得出∠AGD=∠EAB，由角平分线的定义得出∠EAF=∠EAB=∠AGD，∠ECF=∠ECD，由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：延长EA交CD于G，如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠AGD=∠EAB，
∵AE、CE分别平分∠FAB、∠FCD，
∴∠EAF=∠EAB=∠AGD，∠ECF=∠ECD，
∵∠AGD=∠ECD+∠E，
∴∠EAF=∠ECF+∠E，
∵∠CHF=∠AHE，
∴∠F+∠ECF=∠EAF+∠E，
即∠F+∠ECF=∠ECF+∠E+∠E，
∴∠E=∠F=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
三、解答题：（满分86分：请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置，作图或添辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）
17. 计算：
【答案】．
【分析】首先分别计算乘方、二次根式的化简、立方根，再算加减即可．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简、绝对值、立方根，关键是掌握计算法则和顺序．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了有理数的加减－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19. 解下列方程：
（1） （2）-
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
【详解】（1），
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）-，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
20. 如图，已知点A，B，C，D，请按要求作出图形．（要求保留作图痕迹）
（1）作直线AB和射线CB；
（2）连接AC，在线段AB上找一点E．使得BE＝AB－AC；
（3）在直线AB上确定一点P，使PC＋PD的和最短．并写出作图的依据．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（2）画图见解析，依据：两点之间线段最短．
【分析】（1）根据直线和射线的定义及作图方法即可画出直线AB和射线CB；
（2）连接AC，在线段AB上用尺规作线段AE=AC,即可使得BE＝AB－AC；
（3）根据两点之间线段最短，连接CD交AB于点P，此时PC＋PD的和最短．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：
以A为圆心，AC为半径作圆交AB于点E，此时线段AE=AC，即可使得BE＝AB－AC，点E即为所求；
（3）如图所示：连接CD，交AB于点P，此时PC＋PD的和最短，点P即为所求点
依据：两点之间线段最短．
【点睛】本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段、两点之间的距离。解题的关键是熟练掌握各个概念及作图方法．
21. 阅读材料：
题目：请把实数0，-π，-2，，1表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．
解：
上题是小马同学的作业，老师看了后，找来小马问道：“小马同学，你标在数轴上的两个点对应题中的两个无理数，是吗？”小马点点头．
老师又说：“你这两个无理数对应的点找的非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”
请你帮小马同学完成以下作业：
（1）补全数轴；
（2）在数轴上把实数0，-π，-2，，1表示出来，并比较它们的大小（用＜号连接）．
【答案】（1）见解析；（2）在数轴上表示实数见解析，．
【解析】分析】（1）根据-π和确定原点，画出数轴；
（2）在数轴上把实数表示出来，根据数轴上的点左边小于右边的排序即可．
【详解】（1）∵-π，，
∴补全数轴如图所示：
（2）在数轴上表示实数如图所示：
∴．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算．数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．关键是正确估算已知两点表示的数，和由这两点确定原点位置．
22. 如图，已知线段AB=6，延长AB至C，使BC=2AB，点P、Q分别是线段AC和AB的中点，求PQ的长．
【答案】PQ的长为6．
【分析】结合图形、根据线段中点的定义计算．
详解】解：∵BC=2AB，AB=6，
∴BC=2×6=12，
∴AC=AB+BC=6+12=18，
∵点P、Q分别是线段AC和AB的中点，
∴AP=AC=×18=9，
AQ=AB=×6=3，
∴PQ=AP-AQ=9-3=6，
故PQ的长为6．
【点睛】本题考查了两点间的距离、线段中点的定义，掌握线段的和差的计算方法、中点的定义是解题的关键．
23. 完成证明并写出推理根据：
如图，直线PQ分别与直线AB、CD交干点E和点F．∠1＝∠2，射线EM、EN分别与直线CD交干点M、N，且EM⊥EN，则∠4与∠3有何数量关系？并说明理由．
解：∠4与∠3的数量关系为_________，理由如下：
∵∠1 ＝ ∠2（已知）．
∴AB∥______（ ）．
∴∠4 ＝ ∠_____（ ）．
∵EM⊥EN（已知）．
∴________ ＝ 90°（ ）．
∵∠BEM－∠3＝∠_________．
∴∠___－∠3＝______°．
【答案】∠4-∠3=90°；AB，CD；同位角相等，两直线平行；BEM；两直线平行，内错角相等；∠MEN=90°，垂直的定义；MEN；4，90°．
【分析】由已知同位角相等得到AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再根据垂直的定义及等量代换即可得证．
【详解】解：∠4与∠3的数量关系为∠4-∠3=90°；
理由如下：
∵∠1=∠2（已知），
∴AB∥CD （同位角相等，两直线平行）．
∴∠4=∠BEM （两直线平行，内错角相等）．
∵EM⊥EN（已知），
∴∠MEN=90° （垂直的定义）．
∵∠BEM-∠3=∠MEN，
∴∠4-∠3=90°．
故答案为：∠4-∠3=90°；AB，CD；同位角相等，两直线平行；BEM；两直线平行，内错角相等；∠MEN=90°，垂直的定义；MEN；4，90°．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
24. 如图，已知四边形ABCD中，∠D=100°，AC 平分∠BCD．且∠ACB=40°．∠BAC=70°．
（1）求证：AD∥BC；
（2）求∠DAC和∠B的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠DAC=40°，∠B=70°．
【分析】（1）根据角平分线定义求出∠BCD，得出∠D+∠BCD=180°，根据平行线的判定推出即可．
（2）根据平行线的性质求出∠DAC，代入∠B=180°-∠DAC-∠BAC求出即可．
【详解】解：（1）∵AC平分∠BCD，∠ACB=40°，
∴∠BCD=2∠ACB=80°，
∵∠D=100°，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴AD∥BC；
（2）∵AD∥BC，∠ACB=40°，
∴∠DAC=∠ACB=40°，
∵∠BAC=70°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=40°+70°=110°，
∵AD∥BC，
∴∠B=180°-∠DAB=180°-110°=70°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义等，正确的识别图形是解题的关键．
25. 某超市销售某品牌的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价102元，羽毛球每桶定价30元．店庆期间该超市开展促销活动，括动期间向顾客提供两种优惠方案．
方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款．
现某羽毛球培训学校要到该超市购买羽毛球拍5副，羽毛球x桶（x＞5）：
（1） 若该校按方案一购买，需付款_________元：（用含x的代数式表示），
若该校按方案二购买，需付款_________元．（用含x的代数式表示）；
（2）当x取何值时，两种方案一样优惠？
（3）当x＝30时，通过计算说明按以上两种万案时哪种方案购买较为合算？你能给出一种更为省钱的购买方法吗？请写出你的购买方法，并计算需付款多少元？
【答案】（1）(30x+360)，(27x+459)；（2）当时，两种方案一样优惠；（3）方案一更优惠；更省钱的购买方法为：按方案一购买5副羽毛球拍，用方案二购买25桶羽毛球，需要付款1185元．
【分析】（1）按照对应方案的计算方法分别列出代数式即可；
（2）根据两种方案一样优惠列出方程即可求解；
（3）把x=30代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可；可先按方案一购买5副羽毛球拍，送5桶羽毛球，另外25桶羽毛球按方案二购买即可．
【详解】（1）方案一购买需付款5×102+(x-5)×30=30x+360(元)；
方案二购买需付款5×102×90%+30×90%x=27x+459(元)．
故答案为：(30x+360)，(27x+459)；
（2）由（1）知，当30x+360=27x+459，即时，两种方案一样优惠；
（3）当时，
方案一：(元)；
方案二：(元)；
∵，
∴方案一更优惠；
更省钱的购买方法为：
按方案一购买5副羽毛球拍，送5桶羽毛球，另外25桶羽毛球按方案二购买，
，
5×102+30×25×90%=67+510=1185(元)．
∴更省钱的购买方法为：按方案一购买5副羽毛球拍，用方案二购买25桶羽毛球．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，列代数式及代数式求值问题，得到两种优惠方案付费的关系式是解决本题的关键．
26. 【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则我们称射线OC是射线OA关于∠AOB的伴随线．例如，如图1，若∠AOC＝∠BOC，则称射线OC是射线OA关于∠AOB的伴随线；若∠BOD ＝∠COD，则称射线OD是射线OB关于∠BOC的伴随线．
【知识运用】如图2，∠AOB＝120°．
（1）射线OM是射线OA关于∠AOB的伴随线．则∠AOM＝_________°
（2）射线ON是射线OB关于∠AOB的伴随线，射线OQ是∠AOB的平分线，则∠NOQ的度数是_________°．
（3）射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线．
【答案】（1）；（2）；（3）①当t=20秒或28秒时，∠COD的度数是20°；②当t为或或或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线．
【分析】（1）根据伴随线定义即可求解；
（2）根据伴随线定义结合角平分线的定义即可求解；
（3）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；
②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．
【详解】（1）根据伴随线定义得，
∴；
故答案：；
（2）如图，
根据伴随线定义得，
即，
∵射线OQ是∠AOB的平分线，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）射线OD与OA重合时，（秒），
①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则120-3t-2t=20，
∴t=20；
若在相遇之后，则3t+2t-120=20，
∴t=28；
所以，综上所述，当t=20秒或28秒时，∠COD的度数是20°；
②相遇之前，射线OC是射线OA关于∠AOD的伴随线，
则∠AOC=∠COD，即，
解得：（秒）；
相遇之前，射线OC是射线OD关于∠AOD的伴随线，
则∠COD=∠AOC，即，
解得：（秒）；
相遇之后，射线OD是射线OA关于∠AOC的伴随线，
则∠AOD=∠COD，即，
解得：（秒）；
相遇之后，射线OD是射线OC关于∠AOC的伴随线，
则∠COD=∠AOD，即，
解得：（秒）；
综上，当t为或或或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的性质，解决本题的关键是理解新定义，找到等量关系列出方程，难点是利用分类讨论思想解决问题．