高端精品高中数学二轮专题-随机事件的概率与古典概型（带答案）学案

随机事件的概率与古典概型

题型1 随机事件的关系

【例1】把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”(　　)

A．是对立事件                      B．是不可能事件

C．是互斥但不对立事件              D．不是互斥事件

【例2】从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．

上述事件中，是对立事件的是(　　)

A．①              B．②④

C．③              D．①③

【跟踪训练1】在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)

A．至多有一张移动卡              B．恰有一张移动卡

C．都不是移动卡              D．至少有一张移动卡

【跟踪训练2】对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________________________，互为对立事件的是________．

【方法总结】

判断互斥、对立事件的2种方法

题型2 随机事件的频率与概率

【例1】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；

(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．

【跟踪训练1】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．

【跟踪训练2】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

【方法总结】

1．概率与频率的关系

频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．

2．随机事件概率的求法

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．

题型3 互斥事件、对立事件概率公式的应用

【例1】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：

(1)P(A)，P(B)，P(C)；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

【跟踪训练1】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)

【跟踪训练2】A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：

(1)试估计C班的学生人数；

(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．

【方法总结】

求互斥事件的概率的方法

(1)直接法

(2)间接法(正难则反)

题型4 古典概型

【例1】(1) 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A.               B.                C.                D.

(2)某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为(　　)

A.               B.               C.               D.

【跟踪训练1】 我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是(　　)

A.               B.              C.               D.

【跟踪训练2】某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是(　　)

A.               B.                C.               D.

【跟踪训练3】已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则其中恰有两种颜色的概率是(　　)

A.               B.              C.               D.

【方法总结】

1．古典概型的概率求解步骤

(1)求出所有基本事件的个数n.

(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m.

(3)代入公式P(A)＝求解．

2．基本事件个数的确定方法

(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型．

(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法．

(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．

(4)运用排列组合知识计算．

参考答案

题型1 随机事件的关系

【例1】答案：C

解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥不对立事件，故选C.

【例2】答案：C

解析：“至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”，而从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，根据取到数的奇偶性知共有三种情况：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．故选C.

【跟踪训练1】

答案：A

解析：至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.

【跟踪训练2】

答案：A与B，A与C，B与C，B与D　B与D

解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．

题型2 随机事件的频率与概率

【例1】解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为×1 000＝400.

(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则P(C)＝＝0.04.

(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．

假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.

答案示例1：可以认为有变化．

理由如下：

P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．

答案示例2：无法确定有没有变化．

理由如下：

事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．

【跟踪训练1】

答案：0.98

解析：＝＝0.98.

则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.

【跟踪训练2】

解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，

由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6，

所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；

若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；

若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.

所以Y的所有可能值为900,300，－100，

Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.

题型3 互斥事件、对立事件概率公式的应用

【例1】

解：(1)易知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．

设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.

因为A，B，C两两互斥，

所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.

故1张奖券的中奖概率为.

(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，

则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，

所以P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

【跟踪训练1】

解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)．

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.则P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.

【跟踪训练2】

解：(1)由题意，得三个班共抽20个学生，其中C班抽8个，故抽样比k＝＝，

故C班有学生8÷＝40人．

(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5×8＝40种情况，

而且这些情况是等可能的．

当甲的锻炼时间为6小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有2种情况；

当甲的锻炼时间为6.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；

当甲的锻炼时间为7小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；

当甲的锻炼时间为7.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；

当甲的锻炼时间为8小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有4种情况．

故该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P＝＝.

题型4 古典概型

【例1】答案：(1)A　(2)C

解析：(1)重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，

故所有的重卦共有26＝64种．重卦中恰有3个“阳爻”的共有C×C＝20种．

故所求概率P＝＝，故选A.

(2)分为两个互斥事件：记“第一次取出的两球号码连号中奖”为事件A，记“第二次取出的两球与第一次取出的未中奖的两球号码相同中奖”为事件B，则由题意得P(A)＝＝，P(B)＝＝，则每位顾客摸球中奖的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝，故选C.

【跟踪训练1】

答案：B

解析：甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为，选B.

【跟踪训练2】

答案：D

解析：从5名干部中随机选取2人有C＝10(种)选法，其中只选中A没选中B有C＝3(种)选法，只选中B没选中A有C＝3(种)选法，A和B均选中有1种选法，所以所求概率P＝＝，故选D.

【跟踪训练3】

答案：D

解析：依题意，从口袋中任取3个球，共有C＝20(种)不同的取法，

①当取得三个球颜色相同，则有C＝1种取法；

②当取的三个球颜色互不相同，则有CCC＝6种取法；

综合①②得：从中任取三个球，其中恰有两种颜色的概率为1－＝.