2020-2021学年河南省商丘市永城市九年级（上）期末数学试卷（A卷）

2020-2021学年河南省商丘市永城市九年级（上）期末数学试卷（A卷）

1. 若，则的值为

A. 1 B.  C.  D. 2

2. 下列图形中，是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 一元二次方程的解的情况是

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

4. 如图，在中，，若，则与的面积之比为
    

A.  B.  C.  D.

5. 如图，桌上摆放着写有号码的“♥”卡片，它们的背面都完全相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到“♥”卡片上写有数字5的概率是

A.  B.  C.  D.

6. 一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是

A. 或 B.
C. 或 D. 或

7. 下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：

设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为

A.  B.
C.  D.

8. 如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接AB，AC及顺次连接O，B，C，D得到四边形OBCD，若，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

9. 已知二次函数的图象如图所示，若方程的两个根为，，下列结论中：①；②；③；④其中所有正确的结论有
    

A. ①② B. ③④ C. ②③④ D. ②③

10. 如图1，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿的路线运动，当点E到达点C时停止运动．若，交CD于点F，设点E运动的路程为x，，已知y关于x的图象如图2所示，则m的值为

A.  B. 2 C. 1 D.

11. 如果，那么______.
12. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为______.
13. 如图，C，D两点在以AB为直径的上，若，的半径为2，则的值为______ .
    
     

14. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点B的坐标为，点A在x轴正半轴上，，将绕着点B逆时针旋转，得到，若抛物线经过点A，D，则的值为______.
15. 如图所示的是边长为4的正方形镖盘ABCD，分别以正方形镖盘ABCD的三边为直径在正方形内部作半圆，三个半圆交于点O，乐乐随机地将一枚飞镖投掷到该镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为______.
16. 已知一元二次方程的正实数根也是一元二次方程的根，求k的值．
    
    
    
    
    
    
     
17. 明明是一个集邮爱好者，正值2021年辛丑牛年来临之际，明明收集了自己感兴趣的4张牛邮票除正面内容不同外，其余均相同，现将这四张邮票背面朝上，洗匀放好.
    
    明明从中随机地抽取一张邮票是8分的概率是______ ；
    明明从中随机抽取一张邮票不放回，再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“4分邮票”和“10分邮票”的概率这四张邮票分别用字母A、B、C、D表示
    
    
    
    
    
    
     
18. 课堂上，老师在平面直角坐标系中画出了，且的三个顶点A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，如图所示．
    请你按照老师的要求解答下列问题：
    作出绕点C顺时针旋转后的，并直接写出点的坐标．
    作出以点C为位似中心，的位似图形，使与的位似比为1：2，且与位于点C的两端．
    点，之间的距离为______.

19. 如图，直线和双曲线交于A，B两点，轴，垂足为E，射线，AC交y轴于点C，AD交x轴于点D，且四边形ACOD的面积为
    求双曲线的解析式．
    求A，B两点的坐标．
    
     

20. 如图，的直径，，D为上一点，过点D作，垂足为P，且DP为的切线．
    求证：AD平分
    求的面积．
    
     

21. 如图1所示的是某款手机的平板支架，它由托板、支撑板和底座构成，现将该款手机放置在托板上．如图2所示的是该款手机及平板支架的侧面结构示意图，现量得托板，支撑板，底座，托板DE固定在支撑板顶端点C处，且，托板DE可以绕着点C转动，支撑板AC可以绕着点A转动．
    若，，求点D到AB的距离．
    为了观看舒适，在的情况下，将DE绕着点C逆时针旋转后，再将AC绕着点A顺时针旋转，使得点E落在直线AB上，求AC旋转的角度．
    参考数据：，，，，，，

22. 如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数经过点B，且与一次函数的图象交于点
    求一次函数与二次函数的解析式．
    在y轴上是否存在点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

23. 如图1，已知中，，，，将绕点B逆时针旋转一定的角度得到
    若，则的长为______.
    如图2，若，直线分别交AB，AC于点G，H，当为等腰三角形时，求CH的长．
    如图3，若，M为边的中点，N为AM的中点，请直接写出CN的最大值．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：，



故选：
直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：
一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：方程整理得，
，
有两个不相等的实数根．
故选：
先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：，
∽，
，
，
与的面积之比为：
故选：
先由证明∽，再由写出与的面积之比即可．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，清楚相似三角形的面积比等于相似比的平分是解决此题的关键．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：共有8张卡片，其中写有5的有2张，
从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是；
故选：
根据概率公式直接求解即可．
此题考查了概率的求法，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：观察函数图象知，若，则x的取值范围是：或，
故选：
观察函数图象即可求解．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据函数图象的位置关系，确定x的取值范围．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：，
米，
米，
米，
，
，
故选：
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

8.【答案】C
 

【解析】解：连接

，，
，
是等边三角形，
，
，
故选：
连接证明是等边三角形，再利用圆周角定理解决问题即可．
本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是证明是等边三角形．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
方程的两个根为，，
，
，
比较系数得：，，
①，
故①不正确，
②正确，
③，
故③正确，
④，
故④正确．
故选：
先根据抛物线开口向下，判断出，再根据方程的两个根为，，写出两点式方程，再化为一般式，比较系数可以得出b，c与a的关系，然后逐项判断即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，解题的关键是找出b，c与a的关系．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：当点E在A时，即时，由图象可知，
，
当点E在B点和C点时，，
根据图象可知，
当时，点E在BC的中点，
，
如图，

，
，
又，
，
，
∽ECF，
，
，
，
故选：
根据点E的运动情况分点E在AB上和点E在BC上两种情况讨论，求出AB和CD的长度，再根据图象得出当时对应的y的值即可确定m的值．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、矩形的性质，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，

故答案为：
根据比例的性质直接求解即可．
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：全班有x名同学，
每名同学要送出张；
又是互送照片，
总共送的张数应该是
故答案为：
如果全班有x名同学，那么每名同学要送出张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程．
本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：是的直径，

的半径为2，
，
在直角中，，，由勾股定理知：
，
，

故答案是：
首先由勾股定理求得BD的长度，然后由圆周角定理得到，所以由锐角三角函数定义作答即可．
本题考查勾股定理，圆周角定理以及解直角三角形，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的简单运用．
 

14.【答案】
 

【解析】解：点，，
，
，
，
又点A和D在抛物线上，把A和D代入抛物线得：
，
解得：，
，
故答案为
先根据题意求出点A的坐标，再求出点D的坐标，把A，D代入抛物线的解析式，即可确定的值．
本题主要二次函数的图象和性质，关键是要能求出点B和D的坐标，再用待定系数法确定抛物线的解析式．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，连接AC，BD，
正方形被均分成4等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中阴影区域的面积占了其中的2等份，

故答案为：
根据正方形被均分成4等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，由此计算出阴影区域的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

16.【答案】解：，
，
则或，
解得或，
根据题意，将代入方程，得：，
解得
 

【解析】先利用因式分解法求出方程的根，再将其正实数根代入方程，进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：明明从中随机地抽取一张邮票是8分的概率是，
故答案为：；
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，抽到的两张邮票恰好是“4分邮票”和“10分邮票”的结果有2个，
抽到的两张邮票恰好是“4分邮票”和“10分邮票”的概率为
根据概率公式直接得出答案；
先画树状图列出所有等可能的结果数，抽到的两张邮票恰好是“4分邮票”和“10分邮票”的结果有2个，再根据概率公式求解可得．
此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】
 

【解析】解：如图，为所作，点点的坐标为；
如图，为所作．.

点，之间的距离
故答案为
利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、、即可；
延长AC到使，延长BC到使，从而得到；
利用勾股定理计算的长度．
本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．
 

19.【答案】解：作轴于F，
点A在直线上，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
双曲线的解析式为；
解得或，
，
 

【解析】作轴于F，证得≌，即可得出，从而求得；
两解析式联立，组成方程组，解方程组即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，三角形全等的判定和性质，正确求得反比例函数解析式是解决本题的关键．
 

20.【答案】证明：连接OD，

为的切线，
，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
即AD平分；
解：连接OD，BC，过点O作于点E，
是的直径，，，
，
，
，
四边形ODPE是矩形，
，
，
，，
，

 

【解析】连接OD，由切线的性质得出，得出，由等腰三角形的性质得出，证得，则可得出结论；
连接OD，BC，过点O作于点E，由勾股定理求出BC，AE，则可得出答案．
本题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图2，过D作，交AB于点M，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N，

则四边形CFMN是矩形，
，，
由题意可知，，，
，，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
答：点D到AB的距离约为；
旋转后，如图3所示，根据题意可知，

在中，，，
，
，
因此旋转的角度约为：，
答：AC旋转的角度约为
 

【解析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CN、DF，即可求出点D到直线AB的距离；
画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．
本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：一次函数的图象与y轴交于点B，
当时，，
，
又一次函数的图象过点，
，
，
一次函数解析式为：，
又二次函数过点B、C，将其坐标代入得：
，
解得：，
二次函数的解析式为：；
存在，理由如下：
一次函数的图象与x轴交于点A，
当时，，
，
由知，，
，，，
在中，，
同理，由勾股定理可求：，
①当点M为直角顶点时，轴，，如图所示：

，，
∽，
，即，
，
，
，
②当点C为直角顶点时，如图所示：

，
，，
∽，
，即，
，
，
，
综上，以点B，M，C为顶点的三角形与相似时，点M的坐标为或
 

【解析】由一次函数的图象与y轴交于点B，当时，，可得，再将A、C两点坐标分别代入解析式中即可求解；
分类讨论即当点M为直角顶点或当点C为直角顶点时，再结合相似三角形的性质即可求出BM的长，从而找到M的坐标．
本题是二次函数综合大题，考出来待定系数法，等腰三角形，相似三角形判定与性质等知识，熟练掌握上述性质且能分类即当点M为直角顶点或当点C为直角顶点时讨论相似三角形存在性是解题的关键．
 

23.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
，
是等腰直角三角形，
故答案为：

如图中，当时，

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，


如图中，当时，过点G作于

同法可证，，设，则有，
解得，
，，
，
，
，
，
，，
，
，

综上所述，满足条件的CH的值为或

如图3中，取AB的中点J，连接BM，CJ，

，，
，
，，，
，
，，
，
，
，
的最大值为
利用勾股定理求出AB，再根据是等腰直角三角形，推出，可得结论．
分两种情形：如图中，当时，如图中，当时，过点G作于分别求解即可．
如图3中，取AB的中点J，连接BM，CJ，想办法求出CJ，JN，根据，即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论使得思想思考问题，属于中考常考题型．