2021-2022学年上学期南京初中数学七年级期末典型试卷2

这是一份2021-2022学年上学期南京初中数学七年级期末典型试卷2，共30页。试卷主要包含了比﹣1小2的数是　 　等内容，欢迎下载使用。

1．（2020秋•建邺区期末）下列各数中，无理数是（ ）
A．﹣2B．3.14C．227D．π2
2．（2020秋•建邺区期末）下列各式中与a﹣b﹣c的值不相等的是（ ）
A．a﹣（b﹣c）B．a﹣（b+c）C．（a﹣b）+（﹣c）D．（﹣c）﹣（b﹣a）
3．（2010•广州）下列运算正确的是（ ）
A．﹣3（x﹣1）＝﹣3x﹣1B．﹣3（x﹣1）＝﹣3x+1
C．﹣3（x﹣1）＝﹣3x﹣3D．﹣3（x﹣1）＝﹣3x+3
4．（2020秋•鼓楼区期末）在下列日常生活的操作中，能体现基本事实“两点之间，线段最短”的是（ ）
A．用两颗钉子固定一根木条
B．把弯路改直可以缩短路程
C．用两根木桩拉一直线把树栽成一排
D．沿桌子的一边看，可将桌子排整齐
5．（2007•济南）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角
6．（2019秋•溧水区期末）如图，将正方体的平面展开图重新折成正方体后，“会”字对面的字是（ ）
A．秦B．淮C．源D．头
7．（2019秋•高淳区期末）下列说法错误的是（ ）
A．同角的补角相等
B．对顶角相等
C．锐角的2倍是钝角
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8．（2020秋•盱眙县期末）如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，则∠1的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
二．填空题（共10小题）
9．（2012•鲤城区校级一模）比﹣1小2的数是 ．
10．（2020秋•南京期末）太阳的直径大约是1 392 000千米，将1 392 000用科学记数法表示为 ．
11．（2020秋•建邺区期末）已知代数式x﹣3y的值是4，则代数式（x﹣3y）2﹣2x+6y﹣1的值是 ．
12．（2020秋•建邺区期末）已知x＝a是关于x的方程2a+3x＝﹣5的解，则a的值是 ．
13．（2020秋•鼓楼区期末）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示135°的点在直线b上，则∠1＝ °．
14．（2020秋•鼓楼区期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的点分别对应数轴上的﹣2和x，那么x的值为 ．
15．（2019秋•海安市期末）正方体切去一个块，可得到如图几何体，这个几何体有 条棱．
16．（2020秋•沈河区期末）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 ．
17．（2019秋•高淳区期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AEG＝62°，则∠DEF＝ °．
18．（2019秋•高淳区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD；OF平分∠COE，若∠AOC＝82°，则∠BOF＝ °．
三．解答题（共8小题）
19．（2020秋•南京期末）计算：
（1）（23+12-56）÷（-124）；
（2）（﹣2）3×（﹣2+6）﹣|﹣4|．
20．（2020秋•南京期末）先化简，再求值：3（2a2b﹣4ab2）﹣（﹣3ab2+6a2b），其中a＝1，b=-13．
21．（2020秋•建邺区期末）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：
魔术师能立刻说出观众想的那个数．
（1）如果小玲想的数是﹣2，那么她告诉魔术师的结果应该是 ；
（2）如果小明想了一个数计算后，告诉魔术师结果为73，那么魔术师立刻说出小明想的那个数是 ；
（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数．若设观众心想的数为a，请通过计算解密这个魔术的奥妙．
22．（2020秋•建邺区期末）如图，已知DB＝2，AC＝10，点D为线段AC的中点，求线段BC的长度．
23．（2020秋•鼓楼区期末）已知：如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，∠COD与∠COE互余．求证：∠AOE与∠COE互补．
请将下面的证明过程补充完整；
证明：∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB＝180°．
∵∠COD与∠COE互余，
∴∠COD+∠COE＝ °．
∴∠AOD+∠BOE＝90°．
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD＝∠ （理由： ）．
∴∠BOE＝∠COE（理由： ）．
∵∠AOE+∠BOE＝ °．
∴∠AOE+∠COE＝180°．
∴∠AOE与∠COE互补．
24．（2020秋•鼓楼区期末）2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠王”．2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部分信息如表所示．
（1）中国队11场胜场中只有一场以3﹣2取胜，请将中国队的总积分填在表格中；
（2）巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分见表格，求巴西队胜场的场数．
25．（2019秋•溧水区期末）小明去买纸杯蛋糕，售货员阿姨说：“一个纸杯蛋糕12元，如果你明天来多买一个，可以参加打九折活动，总费用比今天便宜24元．”问：小明今天计划买多少个纸杯蛋糕？
若设小明今天计划买纸杯蛋糕的总价为x元，请你根据题意完善表格中的信息，并列方程解答．
26．（2019秋•溧水区期末）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A表示的数为﹣10．点B表示的数为6，点C为线段AB的中点．
（1）数轴上点C表示的数是 ；
（2）点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为：t（t＞0）秒．
①当t为何值时，点O恰好是PQ的中点；
②当t为何值时，点P、Q、C三个点中恰好有一个点是以另外两个点为端点的线段的三等分点（是把一条线段平均分成三等分的点）．（直接写出结果）
2021-2022学年上学期南京初中数学七年级期末典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2020秋•建邺区期末）下列各数中，无理数是（ ）
A．﹣2B．3.14C．227D．π2
【考点】无理数．
【专题】实数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：无理数是π2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2020秋•建邺区期末）下列各式中与a﹣b﹣c的值不相等的是（ ）
A．a﹣（b﹣c）B．a﹣（b+c）C．（a﹣b）+（﹣c）D．（﹣c）﹣（b﹣a）
【考点】去括号与添括号．
【专题】常规题型．
【分析】依据去括号法则进行判断即可．
【解答】解：A、a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，与要求相符；
B、a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，与要求不符；
C、（a﹣b）+（﹣c）＝a﹣b﹣c，与要求不符；
D、（﹣c）﹣（b﹣a）＝﹣c﹣b+a，与要求不符．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是去括号法则，熟练掌握去括号法则是解题的关键．
3．（2010•广州）下列运算正确的是（ ）
A．﹣3（x﹣1）＝﹣3x﹣1B．﹣3（x﹣1）＝﹣3x+1
C．﹣3（x﹣1）＝﹣3x﹣3D．﹣3（x﹣1）＝﹣3x+3
【考点】去括号与添括号．
【分析】去括号时，要按照去括号法则，将括号前的﹣3与括号内每一项分别相乘，尤其需要注意，﹣3与﹣1相乘时，应该是+3而不是﹣3．
【解答】解：根据去括号的方法可知﹣3（x﹣1）＝﹣3x+3．
故选：D．
【点评】本题属于基础题，主要考查去括号法则，理论依据是乘法分配律，容易出错的地方有两处，一是﹣3只与x相乘，忘记乘以
﹣1；二是﹣3与﹣1相乘时，忘记变符号．本题直指去括号法则，没有任何其它干扰，掌握了去括号法则就能得分，不掌握就不能得分．
4．（2020秋•鼓楼区期末）在下列日常生活的操作中，能体现基本事实“两点之间，线段最短”的是（ ）
A．用两颗钉子固定一根木条
B．把弯路改直可以缩短路程
C．用两根木桩拉一直线把树栽成一排
D．沿桌子的一边看，可将桌子排整齐
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【分析】根据实际、线段的性质判断即可．
【解答】解：A、用两颗钉子固定一根木条体现基本事实“两点确定一条直线”；
B、把弯路改直可以缩短路程体现基本事实“两点之间，线段最短”；
C、用两根木桩拉一直线把树栽成一排体现基本事实“两点确定一条直线”；
D、沿桌子的一边看，可将桌子排整齐体现基本事实“线段的延长线”；
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
5．（2007•济南）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角
【考点】余角和补角；对顶角、邻补角；垂线．
【专题】计算题．
【分析】根据图形可看出，∠2的对顶角∠COE与∠1互余，那么∠1与∠2就互余．
【解答】解：图中，∠2＝∠COE（对顶角相等），
又∵AB⊥CD，
∴∠1+∠COE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴两角互余．
故选：B．
【点评】本题考查了余角和垂线的定义以及对顶角相等的性质．
6．（2019秋•溧水区期末）如图，将正方体的平面展开图重新折成正方体后，“会”字对面的字是（ ）
A．秦B．淮C．源D．头
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】投影与视图；空间观念．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“会”字对面的字是“源”．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
7．（2019秋•高淳区期末）下列说法错误的是（ ）
A．同角的补角相等
B．对顶角相等
C．锐角的2倍是钝角
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【考点】余角和补角；对顶角、邻补角；平行公理及推论．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、同角的补角相等，正确；
B、对顶角相等；正确；
C、锐角的2倍不一定是钝角，错误；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，垂线段最短，是基础概念题．
8．（2020秋•盱眙县期末）如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，则∠1的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【考点】等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】求出∠2即可解决问题．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°
∴∠2＝∠AOC＝25°，
∴∠1＝∠EOF﹣∠2﹣∠DOF＝90°﹣25°﹣35°＝30°，
故选：D．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质角的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题（共10小题）
9．（2012•鲤城区校级一模）比﹣1小2的数是 ﹣3 ．
【考点】有理数的减法．
【专题】计算题．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：﹣1﹣2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．
10．（2020秋•南京期末）太阳的直径大约是1 392 000千米，将1 392 000用科学记数法表示为 1.392×106 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1392000＝1.392×106．
故答案是：1.392×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（2020秋•建邺区期末）已知代数式x﹣3y的值是4，则代数式（x﹣3y）2﹣2x+6y﹣1的值是 7 ．
【考点】代数式求值．
【专题】整体思想．
【分析】把（x﹣3y）看作一个整体并代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵x﹣3y＝4，
∴（x﹣3y）2﹣2x+6y﹣1＝（x﹣3y）2﹣2（x﹣3y）﹣1，
＝42﹣2×4﹣1，
＝16﹣8﹣1，
＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．
12．（2020秋•建邺区期末）已知x＝a是关于x的方程2a+3x＝﹣5的解，则a的值是 ﹣1 ．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】把x＝a代入方程，解关于a的一元一次方程即可．
【解答】解：把x＝a代入方程，得2a+3a＝﹣5，
所以5a＝﹣5
解得a＝﹣1
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查了一元一次方程的解．掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键．
13．（2020秋•鼓楼区期末）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示60°的点在直线a上，表示135°的点在直线b上，则∠1＝ 75 °．
【考点】对顶角、邻补角．
【分析】首先计算出∠2的度数，再根据对顶角相等可得∠1的度数．
【解答】解：∵∠2＝135°﹣60°＝75°，
∴∠1＝∠2＝75°，
故答案为：75．
【点评】此题主要考查了对顶角，关键是掌握对顶角相等．
14．（2020秋•鼓楼区期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的点分别对应数轴上的﹣2和x，那么x的值为 6 ．
【考点】数轴．
【分析】根据直尺的长度知x为﹣2右边8个单位的点所表示的数，据此可得．
【解答】解：由题意知，x的值为﹣2+（8﹣0）＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了数轴，解题的关键是确定x与表示﹣2的点之间的距离．
15．（2019秋•海安市期末）正方体切去一个块，可得到如图几何体，这个几何体有 12 条棱．
【考点】截一个几何体．
【专题】推理填空题．
【分析】通过观察图形即可得到答案．
【解答】如图，把正方体截去一个角后得到的几何体有12条棱．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了认识正方体，关键是看正方体切的位置．
16．（2020秋•沈河区期末）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是 两点之间线段最短 ．
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】常规题型．
【分析】直接利用线段的性质进而分析得出答案．
【解答】解：田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【点评】此题主要考查了线段的性质，正确把握线段的性质是解题关键．
17．（2019秋•高淳区期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AEG＝62°，则∠DEF＝ 59 °．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】由折叠的性质结合平角等于180°，即可得出∠DEF=12（180°﹣∠AEG），再代入∠AEG的度数即可求出结论．
【解答】解：由折叠的性质，可知：∠DEF＝∠GEF．
∵∠AEG+∠GEF+∠DEF＝180°，∠AEG＝62°，
∴∠DEF=12（180°﹣∠AEG）=12（180°﹣62°）＝59°．
故答案为：59．
【点评】本题考查了翻折变换以及角的计算，利用折叠的性质结合平角等于180°，找出∠DEF=12（180°﹣∠AEG）是解题的关键．
18．（2019秋•高淳区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD；OF平分∠COE，若∠AOC＝82°，则∠BOF＝ 28.5 °．
【考点】角平分线的定义；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据对顶角相等求得∠BOD的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠EOD的度数，则∠COE即可求得，再根据角平分线的定义求得∠EOF，最后根据∠BOF＝∠EOF﹣∠BOF求解．
【解答】解：∵∠AOC＝82°
∴∠BOD＝∠AOC＝82°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD=12×82°＝41°．
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣41°＝139°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=12∠COE=12×139°＝69.5°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝69.5°﹣41°＝28.5°．
故答案是：28.5．
【点评】本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键．
三．解答题（共8小题）
19．（2020秋•南京期末）计算：
（1）（23+12-56）÷（-124）；
（2）（﹣2）3×（﹣2+6）﹣|﹣4|．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）除法转化为乘法，再利用乘法分配律展开，进一步计算即可；
（2）先计算乘方和绝对值、括号内的减法，再计算乘法，最后计算减法即可．
【解答】解：（1）原式＝（23+12-56）×（﹣24）
＝﹣16﹣12+20
＝﹣8；
（2）（﹣2）3×（﹣2+6）﹣|﹣4|
＝（﹣8）×4﹣4
＝﹣32﹣4
＝﹣36．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
20．（2020秋•南京期末）先化简，再求值：3（2a2b﹣4ab2）﹣（﹣3ab2+6a2b），其中a＝1，b=-13．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入求值．
【解答】解：原式＝6a2b﹣12ab2+3ab2﹣6a2b
＝﹣9ab2；
当a＝1，b=-13时，
原式＝﹣9×1×（-13）2
＝﹣1．
【点评】本题考查了整式的加减及有理数的混合运算，掌握去括号法则和合并同类项法则是解决本题的关键．
21．（2020秋•建邺区期末）解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：
魔术师能立刻说出观众想的那个数．
（1）如果小玲想的数是﹣2，那么她告诉魔术师的结果应该是 3 ；
（2）如果小明想了一个数计算后，告诉魔术师结果为73，那么魔术师立刻说出小明想的那个数是 68 ；
（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数．若设观众心想的数为a，请通过计算解密这个魔术的奥妙．
【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）利用已知条件，这个数按步骤操作，直接代入即可；
（2）假设这个数，根据运算步骤，求出结果等于73，得出一元一次方程，即可求出；
（3）结合（2）中方程，关键是发现运算步骤的规律．
【解答】解：（1）（﹣2×3﹣6）÷3+7＝3；
故答案为：3；
（2）设这个数为x，
（3x﹣6）÷3+7＝73；
解得：x＝68，
故答案为：68；
（3）设观众想的数为a．
3a-63+7＝a+5．
因此，魔术师只要将最终结果减去5，就能得到观众想的数了．
【点评】此题主要考查了有理数的运算，以及运算步骤的规律性，题目比较新颖．
22．（2020秋•建邺区期末）如图，已知DB＝2，AC＝10，点D为线段AC的中点，求线段BC的长度．
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据线段中点的性质推出DC＝AD=12AC=12×10＝5，再结合图形根据线段之间的和差关系进行求解即可．
【解答】解：∵AC＝10，点D为线段AC的中点，
∴DC＝AD=12AC=12×10＝5，
∴BC＝DC﹣DB＝5﹣2＝3，
故BC的长度为3．
【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是根据线段中点的性质推出DC＝AD=12AC，注意数形结合思想方法的运用．
23．（2020秋•鼓楼区期末）已知：如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平分线，∠COD与∠COE互余．求证：∠AOE与∠COE互补．
请将下面的证明过程补充完整；
证明：∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB＝180°．
∵∠COD与∠COE互余，
∴∠COD+∠COE＝ 90 °．
∴∠AOD+∠BOE＝90°．
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD＝∠ COD （理由： 角平分线的定义 ）．
∴∠BOE＝∠COE（理由： 等角的余角相等 ）．
∵∠AOE+∠BOE＝ 180 °．
∴∠AOE+∠COE＝180°．
∴∠AOE与∠COE互补．
【考点】角平分线的定义；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据证明过程可得答案．
【解答】证明：∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB＝180°．
∵∠COD与∠COE互余，
∴∠COD+∠COE＝90°．
∴∠AOD+∠BOE＝90°．
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD＝∠COD（理由：角平分线的定义）．
∴∠BOE＝∠COE（理由：等角的余角相等）．
∵∠AOE+∠BOE＝180°．
∴∠AOE+∠COE＝180°．
∴∠AOE与∠COE互补．
故答案为：90；COD；角平分线的定义；等角的余角相等，180．
【点评】本题考查推理证明的书写、互补（互余）及角平分线等知识，培养思维的严密性，题目较容易．
24．（2020秋•鼓楼区期末）2019年9月29日，中国女排以十一连胜的战绩夺得女排世界杯冠军，成为世界三大赛的“十冠王”．2019年女排世界杯的参赛队伍为12支，比赛采取单循环方式，五局三胜，积分规则如下：比赛中以3﹣0或者3﹣1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3﹣2取胜的球队积2分，负队积1分，前四名队伍积分榜部分信息如表所示．
（1）中国队11场胜场中只有一场以3﹣2取胜，请将中国队的总积分填在表格中；
（2）巴西队积3分取胜的场次比积2分取胜的场次多5场，且负场积分为1分，总积分见表格，求巴西队胜场的场数．
【考点】一元一次方程的应用；推理与论证．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）依据中国队11场胜场中只有一场以3﹣2取胜，即可得到中国队的总积分．
（2）设巴西队积3分取胜的场数为x场，依据巴西队总积分为21分，即可得到方程，进而得出x的值．
【解答】解：（1）中国队的总积分＝3×10+2＝32，
填表如下：
故答案为：32；
（2）设巴西队积3分取胜的场数为x场，则积2分取胜的场数为（x﹣5）场，
依题意可列方程3x+2（x﹣5）+1＝21，
3x+2x﹣10+1＝21，
5x＝30，
x＝6，
则积2分取胜的场数为x﹣5＝1，
所以取胜的场数为6+1＝7．
答：巴西队取胜的场数为7场．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答．
25．（2019秋•溧水区期末）小明去买纸杯蛋糕，售货员阿姨说：“一个纸杯蛋糕12元，如果你明天来多买一个，可以参加打九折活动，总费用比今天便宜24元．”问：小明今天计划买多少个纸杯蛋糕？
若设小明今天计划买纸杯蛋糕的总价为x元，请你根据题意完善表格中的信息，并列方程解答．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】根据题意找出等量关系，列出方程即可求出答案．
【解答】解：表格由左至右，由上至下分别为：x12，10.8，x-2410.8，x﹣24，
由题意可知：x-2410.8-x12=1，
解得：x＝348，
∴今天需要买纸杯蛋糕的数量为348÷12＝29，
答：小明今天计划买29个纸杯蛋糕，
故答案为：x12，10.8，x-2410.8，x﹣24，
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
26．（2019秋•溧水区期末）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A表示的数为﹣10．点B表示的数为6，点C为线段AB的中点．
（1）数轴上点C表示的数是 ﹣2 ；
（2）点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为：t（t＞0）秒．
①当t为何值时，点O恰好是PQ的中点；
②当t为何值时，点P、Q、C三个点中恰好有一个点是以另外两个点为端点的线段的三等分点（是把一条线段平均分成三等分的点）．（直接写出结果）
【考点】数轴；一元一次方程的应用．
【专题】分类讨论；一次方程（组）及应用．
【分析】（1）计算AB长度，再计算BC可确定C表示数字；
（2）用t表示OP，OQ，根据OP＝OQ列方程求解；
（3）分别以P、Q、C为三等分点，分类讨论．
【解答】解：（1）因为点A表示的数为﹣10．点B表示的数为6，
所以AB＝6﹣（﹣10）＝16．
因为点C是AB的中点，
所以AC＝BC=12AB＝8
所以点C表示的数为﹣10+8＝﹣2
故答案为：﹣2；
（2）①设t秒后点O恰好是PQ的中点．
由题意，得10﹣2t＝6﹣t
解得，t＝4；
即4秒时，点O恰好是PQ的中点．
②当点C为PQ的三等分点时PC＝2QC或QC＝2PC，
∵PC＝8﹣2t，QC＝8﹣t，
所以8﹣2t＝2（8﹣t）或8﹣t＝2（8﹣2t）
解得t=83；
当点P为CQ的三等分点时（t＞4）PC＝2QP或QP＝2PC
∵PC＝2t﹣8，PQ＝16﹣3t
∴2t﹣8＝2（16﹣3t）或16﹣3t＝2（2t﹣8）
解得t＝5或t=327；
当点Q为CP的三等分点时PQ＝2CQ或QC＝2PQ
∵PQ＝3t﹣16，QC＝8﹣t
∴3t﹣16＝2（8﹣t）或8﹣t＝2（3t﹣16）
解得t=325或t=407．
综上，t=83，5，327，325，407秒时，三个点中恰好有一个点是以另外两个点为端点的线段的三等分点．
【点评】本题考查一元一次方程应用，分类讨论是解答的关键．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
3．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
4．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
5．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如2，3，35等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如16是有理数，而不是无理数．
6．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
7．去括号与添括号
（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
8．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
9．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
10．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
11．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
12．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
13．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
14．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
15．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
16．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
17．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
18．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
19．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
20．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
21．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：2+1．
22．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
23．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
名次
球队
场次
胜场
负场
总积分
1
中国
11
11
0

2
美国
11
10
1
28
3
俄罗斯
11
8
3
23
4
巴西
11
21
单价
数量
总价
今天
12

x
明天



名次
球队
场次
胜场
负场
总积分
1
中国
11
11
0
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2
美国
11
10
1
28
3
俄罗斯
11
8
3
23
4
巴西
11
21
名次
球队
场次
胜场
负场
总积分
1
中国
11
11
0
32
2
美国
11
10
1
28
3
俄罗斯
11
8
3
23
4
巴西
11
21
单价
数量
总价
今天
12
x12
x
明天
10.8
x-2410.8
x﹣24