2020届湖南省株洲高三一模数学试卷-文科（含答案解析）

2020届株洲市高三一模考试

数学（文）试卷

★祝考试顺利★

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。

【1】已知全集，，，则（      ）

（A）               （B）               （C）              （D）

【2】已知是虚数单位，复数满足，则（     ）

（A）                （B）                 （C）                （D）

【3】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，程序框图设计的是求的值，在处应填的执行语句是（     ）

（A）       （B）         （C）            （D）

【4】已知双曲线的离心率为，则它的一条渐近线被圆截得的线段长为（     ）

（A）                 （B）                 （C）              （D）

【5】将甲、乙两个篮球队场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（    ）

（A）甲队平均得分高于乙队的平均得分     （B）甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数

（C）甲队得分的方差大于乙队得分的方差   （D）甲乙两队得分的极差相等

【6】将函数的图象向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，下面四个结论正确的是（     ）

（A）函数在区间上为增函数                     

（B）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称                   

（C）点是函数图象的一个对称中心                   

（D）函数在上的最大值为

【7】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数。例如：，，已知函数，则函数的值域为（      ）

（A）             （B）             （C）            （D）

【8】某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（    ）

（A）                 （B）                  （C）                （D）

【9】已知抛物线：，过原点作两条互相垂直的直线分别交于两点（均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点到直线距离的最大值为（       ）

（A）                    （B）                  （C）                （D）

【10】已知平面向量满足，，，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ）

（A）     （B）     （C）     （D）

【11】在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（       ）

（A）                  （B）                  （C）              （D）

【12】函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为（       ）

（A）              （B）                （C）              （D）

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

【13】已知为坐标原点，向量，，若，则      。

【14】设实数满足，则的取值范围为         。

【15】在中，角所对的边分别为，且，，，，则         。

【16已知函数，若函数有两个极值点，且，则实数的取值范围是            。

三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程。

【17】（本小题满分12分）数列满足：，。

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数。

【18】（本小题满分12分）四棱锥中，底面是边长为的菱形，，是等边三角形，为的中点，。

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若在线段上，且，能否在棱上找到一点，使平面平面？若存在，求四面体的体积。

【19】（本小题满分12分）为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的月日为“世界读书日”。设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权。为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了名居民，经统计这人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为。将这人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示。

（Ⅰ）求的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；

（Ⅱ）把年龄在第组的居民称为青少年组，年龄在第组的居民称为中老年组，若选出的人中通过纸质阅读的中老年有人，请完成上面列联表，则是否有％的把握认为阅读方式与年龄有关？

【20】（本小题满分12分）椭圆：的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若的周长为，且面积的最大值为。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是椭圆上两动点，线段的中点为，的斜率分别为为坐标原点，且，求的取值范围。

【21】（本小题满分12分）已知函数。

（Ⅰ）曲线在点处的切线方程为，求的值；

（Ⅱ）若，时，，都有，求的取值范围。

【22】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数。直线与曲线分别交于两点。

（Ⅰ）若点的极坐标为，求的值；

（Ⅱ）求曲线的内接矩形周长的最大值。

【23】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数，。

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）已知恒成立，求的取值范围。

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