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黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了下列事件中，为必然事件的是，已知点A等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区九年级第一学期期末数学试卷
一.选择题
1．垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾 B．厨余垃圾 C．其它垃圾 D．可回收物
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣1）（x﹣2）＝0 D．3x2+2＝x2+2（x﹣1）2
3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1）
4．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．明天要下雨
B．太阳从东边升起
C．﹣2＞﹣1
D．打开电视机，它正在播广告
5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
6．一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x＝2时，y＝20．则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．将抛物线的图象向上平移2个单位后得到y＝x2的图象，那么原图象的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x+2）2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣2
8．如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8米，他在地面上的影长为2.1米．若小芳身高只有1.2m，则她的影长为（ ）
A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8米
9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；
②a﹣2b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；
④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；
⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题
11．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 ．
12．一个圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥母线长与底面半径的比为 ．
13．某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一个月进馆500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆720人次，设该图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为x，则可列方程为 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40°．则∠ABD的度数是 ．
15．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 s．
16．如图，在矩形ABCD中，点N为边BC上不与B、C重合的一个动点，过点N作MN⊥BC交AD于点M，交BD于点E，以MN为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B的对应点分别是G，F，连接EF、DF，若AB＝3，BC＝4，当△DEF为直角三角形时，CN的长为 ．
17．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为 ．
三.解答下列各题
18．解方程：
（1）4（2x﹣1）2﹣25＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
19．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
20．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不等的实根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取最大整数值时，△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0，求△ABC的周长．
21．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
22．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．
（1）这场沙尘暴的最高风速是 千米/小时，最高风速维持了 小时；
（2）当x≥20时，求出风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数关系式；
（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时．
23．综合与实践
问题：如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．
证明与推断
（1）①四边形CEGF的形状是 ；②的值为 ；
【探究与证明】
（2）在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
（3）如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，AG和GE的位置关系是 ．
24．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
参考答案
一.选择题
1．垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾 B．厨余垃圾 C．其它垃圾 D．可回收物
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣1）（x﹣2）＝0 D．3x2+2＝x2+2（x﹣1）2
【分析】根据一元二次方程的定义解答，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、是分式方程．故A错误；
B、当a＝0时不是一元二次方程，故B错误；
C、是，一元二次方程，故C正确；
D、是一元一次方程．故D错误；
故选：C．
3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1）
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选：A．
4．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．明天要下雨
B．太阳从东边升起
C．﹣2＞﹣1
D．打开电视机，它正在播广告
【分析】根据必然事件的定义即可判断．
解：A．明天要下雨，是随机事件，故选项不符合题意；
B．太阳从东边升起，是必然事件，故选项符合题意；
C．﹣2＞﹣1，是不可能事件，故选项不符合题意；
D．打开电视机，它正在播广告，是随机事件，故选项不符合题意；
故选：B．
5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，可得∠DEA＝∠DEA′＝90°，AE＝A′E，所以，△ACB∽△AED，A′为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求得．
解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，
∴∠DEA＝∠DEA′＝90°，AE＝A′E，
∴DE∥BC
∴△ACB∽△AED，
又A′为CE的中点，
∴AE＝A′E＝A′C＝AC，
∴，
即，
∴ED＝2．
故选：B．
6．一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x＝2时，y＝20．则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设y＝（k≠0），根据当x＝2时，y＝20，求出k，即可得出y与x的函数图象．
解：设y＝（k≠0），
∵当x＝2时，y＝20，
∴k＝40，
∴y＝，
则y与x的函数图象大致是C，
故选：C．
7．将抛物线的图象向上平移2个单位后得到y＝x2的图象，那么原图象的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x+2）2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣2
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答．
解：将抛物线y＝x2的图象向下平移2个单位后得到原来的抛物线，那么原抛物线的表达式是：y＝x2﹣2，
故选：D．
8．如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8米，他在地面上的影长为2.1米．若小芳身高只有1.2m，则她的影长为（ ）
A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8米
【分析】设小芳的影长为h，再根据同一时刻物高与影长成正比即可求出h的值．
解：设小芳的影长为h米，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴，
解得h＝1.4．
故选：B．
9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1＝﹣，y2＝﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小．
解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，
∴y1＝﹣，y2＝﹣，
∵x1＜0＜x2，
∴y2＜0＜y1．
故选：B．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；
②a﹣2b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；
④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；
⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①将（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c可对①进行判断；
②根据开口方向和与y轴的交点位置可得a＞0，c＜0，根据抛物线的对称轴方程得到﹣＝﹣1，则可对②进行判断；
③利用二次函数的对称性可对③进行判断；
④因为抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，可对④进行判断；
⑤根据二次函数的性质，根据x＝﹣1时y有最小值可对⑤进行判断．
解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴a﹣2b+c＝c﹣3a＜0，
故②正确；
③由对称得：抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，
故③正确；
④∵对称轴为直线x＝﹣1，且开口向上，
∴离对称轴越近，y值越小，
∵|﹣4+1|＝3，||﹣2+1|＝1，|3+1|＝4，
∵点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，
∴y2＜y1＜y3，
故④不正确；
⑤∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b），
故⑤不正确．
所以正确的结论有①②③，共3个．
故选：C．
二.填空题
11．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 x2﹣2x＝0 ．
【分析】直接利用已知要求得出符合题意的方程．
解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2﹣2x＝0．
故答案为：x2﹣2x＝0．
12．一个圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥母线长与底面半径的比为 2：1 ．
【分析】根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用上述关系得到关系式求出两者的比值即可．
解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，
∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πR，
∵圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，
∵πR＝2πr，
∴R：r＝2：1，
故答案为：2：1．
13．某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一个月进馆500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆720人次，设该图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为x，则可列方程为 500（1+x）2＝720 ．
【分析】利用第三个月进馆人次＝第一个月进馆人次×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：500（1+x）2＝720．
故答案为：500（1+x）2＝720．
14．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40°．则∠ABD的度数是 25° ．
【分析】根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C＝40°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出∠B＝∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．
解：∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠AOC＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠BDO，
∵∠ABD+∠BDO＝∠AOC，
∴∠ABD＝25°，
故答案为：25°．
15．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 4或8 s．
【分析】求得当⊙P位于点O的左边与CD相切时t的值和⊙P位于点O的右边与CD相切时t的值即可．
解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD于E，
∴PE＝1cm，
∵∠AOC＝30°，
∴OP＝2PE＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间＝＝4（秒）；
当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F，
∴PF＝1cm，
∵∠AOC＝∠DOB＝30°，
∴OP＝2PF＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间＝＝8（秒）．
当⊙P的运动时间为4或8时，⊙P与直线CD相切．
故答案为：4或8．
16．如图，在矩形ABCD中，点N为边BC上不与B、C重合的一个动点，过点N作MN⊥BC交AD于点M，交BD于点E，以MN为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B的对应点分别是G，F，连接EF、DF，若AB＝3，BC＝4，当△DEF为直角三角形时，CN的长为 或 ．
【分析】根据△DEF为直角三角形时，可能出现三种情况，分别令不同的内角为直角，画出相应的图形，根据折叠的性质和相似三角形的性质进行解答即可．
解：∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴BD＝＝5，
由折叠得：BE＝EF，BN＝NF，∠EBF＝∠EFB，∠BEN＝∠FEN，
当△DEF为直角三角形时，
（1）当∠DEF＝90°，则
∠BEN＝∠FEN＝45°，不合题意；
（2）当∠FED＝90°时，如图所示：
∵∠EFN+∠DFC＝90°，
∠DFC+∠CDF＝90°，
∴∠EFN＝∠CDF＝∠EBN，
∵tan∠DBC＝＝＝tan∠CDF＝，
设CN＝x，则BN＝NF＝4﹣x，
FC＝x﹣（4﹣x）＝2x﹣4，
∴，
解得：x＝，
即CN＝；
（3）当∠EDF＝90°时，如图所示：
则△BDC∽△DFC，
∴CD2＝BC•CF，
设CN＝x，则BN＝NF＝4﹣x，
FC＝（4﹣x）﹣x＝4﹣2x，
∴32＝4×（4﹣2x），
解得：x＝，
即CN＝，
综上所述，CN的长为或，
故答案为：或．
17．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为 （，）． ．
【分析】如图，连接AD，BD．首先确定点D的坐标，再根据6次一个循环，由2022÷6＝337，推出经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与原来的坐标相同，由此即可解决问题．
解：如图，连接AD，BD，
在正六边形ABCDEF中，AB＝1，AD＝2，∠ABD＝90°，
∴BD＝＝，
在Rt△AOF中，AF＝1，∠OAF＝60°，
∴∠OFA＝30°，
∴OA＝AF＝，
∴OB＝OA+AB＝，
∴D（，），
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴6次一个循环，
∵2022÷6＝337，
∴经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与应该不变，
∴经过第2022次旋转后，顶点D的坐标（，）．
故答案为（，）．
三.解答下列各题
18．解方程：
（1）4（2x﹣1）2﹣25＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
解：（1）∵4（2x﹣1）2﹣25＝0，
∴4（2x﹣1）2＝25，
∴（2x﹣1）2＝，
∴2x﹣1＝±，
解得x1＝，x2＝；
（2）∵3x（x﹣1）＝2﹣2x，
∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（3x+2）＝0，
则x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣．
19．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
解：（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率＝＝．
20．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不等的实根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取最大整数值时，△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0，求△ABC的周长．
【分析】（1）关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，可知二次项系数不为0且判别式大于0．
（2）在此范围内找出最大的整数，然后分四种情况讨论，求得三角形周长即可．
解：（1）∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得a＜且a≠3．
（2）由（1）得a的最大整数值为4；
∴x2﹣4x+3＝0
解得：x1＝1，x2＝3．
∵△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0，
∴①三边都为1，则△ABC的周长为3；
②三边都为3，则△ABC的周长为9；
③三边为1，1，3，因为1+1＜3，此情况不存在；
④三边为1，3，3，则△ABC的周长为7．
21．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接BF，证明BF∥CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；
（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．
解：（1）连接BF，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，
∵CE⊥AD，
∴BF∥CE，
连接OC，
∵点C为劣弧的中点，
∴OC⊥BF，
∵BF∥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连接OF，CF，
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵点C为劣弧的中点，
∴，
∴∠FOC＝∠BOC＝60°，
∵OF＝OC，
∴∠OCF＝∠COB，
∴CF∥AB，
∴S△ACF＝S△COF，
∴阴影部分的面积＝S扇形COF，
∵AB＝4，
∴FO＝OC＝OB＝2，
∴S扇形FOC＝，
即阴影部分的面积为：．
22．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．
（1）这场沙尘暴的最高风速是 32 千米/小时，最高风速维持了 10 小时；
（2）当x≥20时，求出风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数关系式；
（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 59.5 小时．
【分析】（1）由速度＝增加幅度×时间可得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为20﹣10＝10小时；
（2）设y＝，将（20，32）代入，利用待定系数法即可求解；
（3）由于4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，所以4.5时风速为10千米/时，再将y＝10代入（2）中所求函数解析式，求出x的值，再减去4.5，即可求解．
解：（1）0～4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；
4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4＝32千米/时，
10～20时，风速不变，最高风速维持时间为20﹣10＝10小时；
故答案为：32，10；
（2）设y＝，
将（20，32）代入，得32＝，
解得k＝640．
所以当x≥20时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为y＝；
（3）∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，
∴4.5时风速为10千米/时，
将y＝10代入y＝，
得10＝，解得x＝64，
64﹣4.5＝59.5（小时）．
故在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 59.5小时．
故答案为：59.5．
23．综合与实践
问题：如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．
证明与推断
（1）①四边形CEGF的形状是 正方形 ；②的值为 ；
【探究与证明】
（2）在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
（3）如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，AG和GE的位置关系是 AG⊥GE ．
【分析】（1）根据正方形的判定和性质解决问题即可；
（2）结论：AG＝BE．证明△ACG∽△BCE，可得＝；
（3）结论：AG⊥GE，证明∠AGE＝∠AGF﹣∠EGF＝180°﹣90°＝90°，可得结论．
解：（1）①正方形；②．
理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形，
∵AC＝BC，CG＝EC，
∴AG＝AC﹣CG＝（BC﹣EC）＝BE，
∴＝．
故答案为：正方形，；
（2）结论：AG＝BE，
理由：如图2中，连接CC．由旋转可得∠BCE＝∠AGG＝α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴，
由①得四边形GECF是正方形，
∴∠GEC＝∠ECF＝90°，GE＝EC，
∴△EGC为等腰直角三角形．
∴＝，
∴＝，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；
（3）如图3中，连接CG，
∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC＝135°．
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°．
∴∠AGF＝∠AGC+∠CGF＝135°+45°＝180°，
∴点A，G，F三点共线，
∴∠AGE＝∠AGF﹣∠EGF＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥GE，
故答案为：AG⊥GE．
24．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 2 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据两点的距离公式即可求出CD的长度；
（3）先设出E的坐标，然后将△BCE的面积表示出来，求出最大值即可；
（4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标．
解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
又∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A，B代入解析式得：
，
解得，
∴，自变量x为全体实数；
（2）由（1）得：C（0，），D（2，），
∴CD＝，
故答案为2；
（3）∵B（5，0），C（0，），
∴直线BC的解析式为：，
设E（x，），且0＜x＜5，
作EF∥y轴交BC于点F，
则F（x，），
∴EF＝﹣（）＝，
∴，
当x＝时，S△BCE有最大值为；
（4）设P（2，y），Q（m，n），
由（1）知B（5，0），C（0，），
若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：，
解得：，
又∵∠BPC＝90°，
∴PC2+PB2＝BC2，
即：，
解得y＝4或y＝﹣，
∴n＝或n＝4，
∴Q（3，）或Q（3，4），
若BP为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得，
又∵∠BCP＝90°，
BC2+CP2＝BP2，
即：，
解得y＝，
∴Q（7，4），
若BQ为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得：，
又∵∠BCQ＝90°，
∴BC2+CQ2＝BQ2，
即：，
解得n＝，
∴Q（﹣3，﹣），
综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．
2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区九年级第一学期期末数学试卷
一.选择题
1．垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾 B．厨余垃圾 C．其它垃圾 D．可回收物
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣1）（x﹣2）＝0 D．3x2+2＝x2+2（x﹣1）2
3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1）
4．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．明天要下雨
B．太阳从东边升起
C．﹣2＞﹣1
D．打开电视机，它正在播广告
5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
6．一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x＝2时，y＝20．则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．将抛物线的图象向上平移2个单位后得到y＝x2的图象，那么原图象的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x+2）2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣2
8．如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8米，他在地面上的影长为2.1米．若小芳身高只有1.2m，则她的影长为（ ）
A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8米
9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；
②a﹣2b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；
④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；
⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题
11．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 ．
12．一个圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥母线长与底面半径的比为 ．
13．某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一个月进馆500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆720人次，设该图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为x，则可列方程为 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40°．则∠ABD的度数是 ．
15．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 s．
16．如图，在矩形ABCD中，点N为边BC上不与B、C重合的一个动点，过点N作MN⊥BC交AD于点M，交BD于点E，以MN为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B的对应点分别是G，F，连接EF、DF，若AB＝3，BC＝4，当△DEF为直角三角形时，CN的长为 ．
17．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为 ．
三.解答下列各题
18．解方程：
（1）4（2x﹣1）2﹣25＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
19．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
20．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不等的实根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取最大整数值时，△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0，求△ABC的周长．
21．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
22．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．
（1）这场沙尘暴的最高风速是 千米/小时，最高风速维持了 小时；
（2）当x≥20时，求出风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数关系式；
（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时．
23．综合与实践
问题：如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．
证明与推断
（1）①四边形CEGF的形状是 ；②的值为 ；
【探究与证明】
（2）在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
（3）如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，AG和GE的位置关系是 ．
24．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
参考答案
一.选择题
1．垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾 B．厨余垃圾 C．其它垃圾 D．可回收物
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣1）（x﹣2）＝0 D．3x2+2＝x2+2（x﹣1）2
【分析】根据一元二次方程的定义解答，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、是分式方程．故A错误；
B、当a＝0时不是一元二次方程，故B错误；
C、是，一元二次方程，故C正确；
D、是一元一次方程．故D错误；
故选：C．
3．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1）
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选：A．
4．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．明天要下雨
B．太阳从东边升起
C．﹣2＞﹣1
D．打开电视机，它正在播广告
【分析】根据必然事件的定义即可判断．
解：A．明天要下雨，是随机事件，故选项不符合题意；
B．太阳从东边升起，是必然事件，故选项符合题意；
C．﹣2＞﹣1，是不可能事件，故选项不符合题意；
D．打开电视机，它正在播广告，是随机事件，故选项不符合题意；
故选：B．
5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【分析】△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，可得∠DEA＝∠DEA′＝90°，AE＝A′E，所以，△ACB∽△AED，A′为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求得．
解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，
∴∠DEA＝∠DEA′＝90°，AE＝A′E，
∴DE∥BC
∴△ACB∽△AED，
又A′为CE的中点，
∴AE＝A′E＝A′C＝AC，
∴，
即，
∴ED＝2．
故选：B．
6．一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x＝2时，y＝20．则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设y＝（k≠0），根据当x＝2时，y＝20，求出k，即可得出y与x的函数图象．
解：设y＝（k≠0），
∵当x＝2时，y＝20，
∴k＝40，
∴y＝，
则y与x的函数图象大致是C，
故选：C．
7．将抛物线的图象向上平移2个单位后得到y＝x2的图象，那么原图象的表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x+2）2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣2
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答．
解：将抛物线y＝x2的图象向下平移2个单位后得到原来的抛物线，那么原抛物线的表达式是：y＝x2﹣2，
故选：D．
8．如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8米，他在地面上的影长为2.1米．若小芳身高只有1.2m，则她的影长为（ ）
A．1.2m B．1.4m C．1.6m D．1.8米
【分析】设小芳的影长为h，再根据同一时刻物高与影长成正比即可求出h的值．
解：设小芳的影长为h米，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴，
解得h＝1.4．
故选：B．
9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1＝﹣，y2＝﹣，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小．
解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝﹣的图象上的两点，
∴y1＝﹣，y2＝﹣，
∵x1＜0＜x2，
∴y2＜0＜y1．
故选：B．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；
②a﹣2b+c＜0；
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；
④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；
⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①将（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c可对①进行判断；
②根据开口方向和与y轴的交点位置可得a＞0，c＜0，根据抛物线的对称轴方程得到﹣＝﹣1，则可对②进行判断；
③利用二次函数的对称性可对③进行判断；
④因为抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，可对④进行判断；
⑤根据二次函数的性质，根据x＝﹣1时y有最小值可对⑤进行判断．
解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴a﹣2b+c＝c﹣3a＜0，
故②正确；
③由对称得：抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，
故③正确；
④∵对称轴为直线x＝﹣1，且开口向上，
∴离对称轴越近，y值越小，
∵|﹣4+1|＝3，||﹣2+1|＝1，|3+1|＝4，
∵点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，
∴y2＜y1＜y3，
故④不正确；
⑤∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b），
故⑤不正确．
所以正确的结论有①②③，共3个．
故选：C．
二.填空题
11．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 x2﹣2x＝0 ．
【分析】直接利用已知要求得出符合题意的方程．
解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2﹣2x＝0．
故答案为：x2﹣2x＝0．
12．一个圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥母线长与底面半径的比为 2：1 ．
【分析】根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用上述关系得到关系式求出两者的比值即可．
解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，
∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πR，
∵圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，
∵πR＝2πr，
∴R：r＝2：1，
故答案为：2：1．
13．某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一个月进馆500人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆720人次，设该图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为x，则可列方程为 500（1+x）2＝720 ．
【分析】利用第三个月进馆人次＝第一个月进馆人次×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：依题意得：500（1+x）2＝720．
故答案为：500（1+x）2＝720．
14．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40°．则∠ABD的度数是 25° ．
【分析】根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C＝40°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出∠B＝∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．
解：∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠AOC＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠BDO，
∵∠ABD+∠BDO＝∠AOC，
∴∠ABD＝25°，
故答案为：25°．
15．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 4或8 s．
【分析】求得当⊙P位于点O的左边与CD相切时t的值和⊙P位于点O的右边与CD相切时t的值即可．
解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD于E，
∴PE＝1cm，
∵∠AOC＝30°，
∴OP＝2PE＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间＝＝4（秒）；
当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F，
∴PF＝1cm，
∵∠AOC＝∠DOB＝30°，
∴OP＝2PF＝2cm，
∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切，
∴⊙P移动所用的时间＝＝8（秒）．
当⊙P的运动时间为4或8时，⊙P与直线CD相切．
故答案为：4或8．
16．如图，在矩形ABCD中，点N为边BC上不与B、C重合的一个动点，过点N作MN⊥BC交AD于点M，交BD于点E，以MN为对称轴折叠矩形ABNM，点A、B的对应点分别是G，F，连接EF、DF，若AB＝3，BC＝4，当△DEF为直角三角形时，CN的长为 或 ．
【分析】根据△DEF为直角三角形时，可能出现三种情况，分别令不同的内角为直角，画出相应的图形，根据折叠的性质和相似三角形的性质进行解答即可．
解：∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴BD＝＝5，
由折叠得：BE＝EF，BN＝NF，∠EBF＝∠EFB，∠BEN＝∠FEN，
当△DEF为直角三角形时，
（1）当∠DEF＝90°，则
∠BEN＝∠FEN＝45°，不合题意；
（2）当∠FED＝90°时，如图所示：
∵∠EFN+∠DFC＝90°，
∠DFC+∠CDF＝90°，
∴∠EFN＝∠CDF＝∠EBN，
∵tan∠DBC＝＝＝tan∠CDF＝，
设CN＝x，则BN＝NF＝4﹣x，
FC＝x﹣（4﹣x）＝2x﹣4，
∴，
解得：x＝，
即CN＝；
（3）当∠EDF＝90°时，如图所示：
则△BDC∽△DFC，
∴CD2＝BC•CF，
设CN＝x，则BN＝NF＝4﹣x，
FC＝（4﹣x）﹣x＝4﹣2x，
∴32＝4×（4﹣2x），
解得：x＝，
即CN＝，
综上所述，CN的长为或，
故答案为：或．
17．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2022次旋转后，顶点D的坐标为 （，）． ．
【分析】如图，连接AD，BD．首先确定点D的坐标，再根据6次一个循环，由2022÷6＝337，推出经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与原来的坐标相同，由此即可解决问题．
解：如图，连接AD，BD，
在正六边形ABCDEF中，AB＝1，AD＝2，∠ABD＝90°，
∴BD＝＝，
在Rt△AOF中，AF＝1，∠OAF＝60°，
∴∠OFA＝30°，
∴OA＝AF＝，
∴OB＝OA+AB＝，
∴D（，），
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，
∴6次一个循环，
∵2022÷6＝337，
∴经过第2022次旋转后，顶点D的坐标与应该不变，
∴经过第2022次旋转后，顶点D的坐标（，）．
故答案为（，）．
三.解答下列各题
18．解方程：
（1）4（2x﹣1）2﹣25＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
解：（1）∵4（2x﹣1）2﹣25＝0，
∴4（2x﹣1）2＝25，
∴（2x﹣1）2＝，
∴2x﹣1＝±，
解得x1＝，x2＝；
（2）∵3x（x﹣1）＝2﹣2x，
∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（3x+2）＝0，
则x﹣1＝0或3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣．
19．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
解：（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率＝＝．
20．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不等的实根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取最大整数值时，△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0，求△ABC的周长．
【分析】（1）关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，可知二次项系数不为0且判别式大于0．
（2）在此范围内找出最大的整数，然后分四种情况讨论，求得三角形周长即可．
解：（1）∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得a＜且a≠3．
（2）由（1）得a的最大整数值为4；
∴x2﹣4x+3＝0
解得：x1＝1，x2＝3．
∵△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0，
∴①三边都为1，则△ABC的周长为3；
②三边都为3，则△ABC的周长为9；
③三边为1，1，3，因为1+1＜3，此情况不存在；
④三边为1，3，3，则△ABC的周长为7．
21．如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接BF，证明BF∥CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；
（2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．
解：（1）连接BF，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，
∵CE⊥AD，
∴BF∥CE，
连接OC，
∵点C为劣弧的中点，
∴OC⊥BF，
∵BF∥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连接OF，CF，
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵点C为劣弧的中点，
∴，
∴∠FOC＝∠BOC＝60°，
∵OF＝OC，
∴∠OCF＝∠COB，
∴CF∥AB，
∴S△ACF＝S△COF，
∴阴影部分的面积＝S扇形COF，
∵AB＝4，
∴FO＝OC＝OB＝2，
∴S扇形FOC＝，
即阴影部分的面积为：．
22．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．
（1）这场沙尘暴的最高风速是 32 千米/小时，最高风速维持了 10 小时；
（2）当x≥20时，求出风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数关系式；
（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 59.5 小时．
【分析】（1）由速度＝增加幅度×时间可得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为20﹣10＝10小时；
（2）设y＝，将（20，32）代入，利用待定系数法即可求解；
（3）由于4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，所以4.5时风速为10千米/时，再将y＝10代入（2）中所求函数解析式，求出x的值，再减去4.5，即可求解．
解：（1）0～4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；
4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4＝32千米/时，
10～20时，风速不变，最高风速维持时间为20﹣10＝10小时；
故答案为：32，10；
（2）设y＝，
将（20，32）代入，得32＝，
解得k＝640．
所以当x≥20时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为y＝；
（3）∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，
∴4.5时风速为10千米/时，
将y＝10代入y＝，
得10＝，解得x＝64，
64﹣4.5＝59.5（小时）．
故在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 59.5小时．
故答案为：59.5．
23．综合与实践
问题：如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．
证明与推断
（1）①四边形CEGF的形状是 正方形 ；②的值为 ；
【探究与证明】
（2）在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
【拓展与运用】
（3）如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，AG和GE的位置关系是 AG⊥GE ．
【分析】（1）根据正方形的判定和性质解决问题即可；
（2）结论：AG＝BE．证明△ACG∽△BCE，可得＝；
（3）结论：AG⊥GE，证明∠AGE＝∠AGF﹣∠EGF＝180°﹣90°＝90°，可得结论．
解：（1）①正方形；②．
理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形，
∵AC＝BC，CG＝EC，
∴AG＝AC﹣CG＝（BC﹣EC）＝BE，
∴＝．
故答案为：正方形，；
（2）结论：AG＝BE，
理由：如图2中，连接CC．由旋转可得∠BCE＝∠AGG＝α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴，
由①得四边形GECF是正方形，
∴∠GEC＝∠ECF＝90°，GE＝EC，
∴△EGC为等腰直角三角形．
∴＝，
∴＝，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；
（3）如图3中，连接CG，
∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC＝135°．
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°．
∴∠AGF＝∠AGC+∠CGF＝135°+45°＝180°，
∴点A，G，F三点共线，
∴∠AGE＝∠AGF﹣∠EGF＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥GE，
故答案为：AG⊥GE．
24．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 2 ；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据两点的距离公式即可求出CD的长度；
（3）先设出E的坐标，然后将△BCE的面积表示出来，求出最大值即可；
（4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标．
解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
又∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A，B代入解析式得：
，
解得，
∴，自变量x为全体实数；
（2）由（1）得：C（0，），D（2，），
∴CD＝，
故答案为2；
（3）∵B（5，0），C（0，），
∴直线BC的解析式为：，
设E（x，），且0＜x＜5，
作EF∥y轴交BC于点F，
则F（x，），
∴EF＝﹣（）＝，
∴，
当x＝时，S△BCE有最大值为；
（4）设P（2，y），Q（m，n），
由（1）知B（5，0），C（0，），
若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：，
解得：，
又∵∠BPC＝90°，
∴PC2+PB2＝BC2，
即：，
解得y＝4或y＝﹣，
∴n＝或n＝4，
∴Q（3，）或Q（3，4），
若BP为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得，
又∵∠BCP＝90°，
BC2+CP2＝BP2，
即：，
解得y＝，
∴Q（7，4），
若BQ为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得：，
又∵∠BCQ＝90°，
∴BC2+CQ2＝BQ2，
即：，
解得n＝，
∴Q（﹣3，﹣），
综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．
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