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2020-2021学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷
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2020-2021学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）3的算术平方根是 A． B． C． D．92．（2分）下列医院设计的图案中，是轴对称图形的是 A． B． C． D．3．（2分）下列事件中，为必然事件的是 A．明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起 B．成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀 C．从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除 D．从10本图书中随机抽取一本是小说4．（2分）代数式在实数范围内有意义的条件是 A． B． C． D．5．（2分）如图所示在中，边上的高线画法正确的是 A． B． C． D．6．（2分）下列式子的变形正确的是 A． B． C． D．7．（2分）下列说法正确的是 A．无理数是开方开不尽的数 B．一个实数的绝对值总是正数 C．不存在绝对值最小的实数 D．实数与数轴上的点一一对应8．（2分）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是 A． B． C． D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是 ．10．（2分）如果三角形的三边长分别为5，8，，那么的取值范围为 ．11．（2分）如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的 ．12．（2分）将分式约分可得 ，依据为 ．13．（2分）若表示实数的整数部分，例如：，则 ．14．（2分）如图，，分别是，上的点，，请添加一个条件，使得．这个条件可以为 （只填一个条件即可）．15．（2分）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索的长为尺，木柱的长用含的代数式表示为 尺，根据题意，可列方程为 ．16．（2分）有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为，，，四个等次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．下面有四个推断：①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；②扇形统计图中，表示等次的扇形的圆心角的度数为；③测试成绩为等次的居民人数占参测总人数的；④测试成绩为或等次的居民人数共30人．所有合理推断的序号是 ．三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分；第23-27题，每小题5分；28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线及直线上一点．求作：直线，使得．作法：如图①以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点，；②分别以点，为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧在直线上方交于点；③作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接，． ， ， （填推理的依据）．18．（5分）计算：．19．（5分）计算：．20．（5分）解方程：．21．（5分）如图，是等边三角形，，分别是，延长线上的点，且．求证：．22．（5分）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 个．23．（6分）已知，求代数式的值．24．（6分）关于的分式方程的解是负数，求满足条件的整数的最大值．25．（6分）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．26．（6分）某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：请根据以上表格信息，解答如下问题：（1）分析数据，补全表格信息：（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．27．（6分）如图，中，，．的垂直平分线分别交，于点，．（1）求的长；（2）延长交的延长线于点，连接．若是上一动点，是上一动点，请直接写出的最小值为 ．28．（8分）如图1，射线，分别作，的角平分线，这两条射线交于点，过点作一条直线分别与射线，直线交于点，（不与点，重合）．（1）当时，①补全图1；②若，，则的长为 （用含，的式子表示）．（2）当与不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段，，之间的数量关系，并证明． 2020-2021学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）3的算术平方根是 A． B． C． D．9【解答】解：3的算术平方根是，故选：．2．（2分）下列医院设计的图案中，是轴对称图形的是 A． B． C． D．【解答】解：根据轴对称图形的定义，可知选项是轴对称图形，故选：．3．（2分）下列事件中，为必然事件的是 A．明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起 B．成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀 C．从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除 D．从10本图书中随机抽取一本是小说【解答】解：、明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起，是随机事件；、成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀，是随机事件；、从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除，是必然事件；、从10本图书中随机抽取一本是小说，是随机事件；故选：．4．（2分）代数式在实数范围内有意义的条件是 A． B． C． D．【解答】解：由题意得，，解得，故选：．5．（2分）如图所示在中，边上的高线画法正确的是 A． B． C． D．【解答】解：在中，边上的高线画法正确的是，故选：．6．（2分）下列式子的变形正确的是 A． B． C． D．【解答】解：、，原变形错误，故此选项不符合题意；、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；、，原变形正确，故此选项符合题意；、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：．7．（2分）下列说法正确的是 A．无理数是开方开不尽的数 B．一个实数的绝对值总是正数 C．不存在绝对值最小的实数 D．实数与数轴上的点一一对应【解答】解：．无理数不一定是开方开不尽的数，故本选项说法错误；．一个实数的绝对值总是非负数，故本选项说法错误；．存在绝对值最小的实数，故本选项说法错误；．实数与数轴上的点一一对应，故本选项正确；故选：．8．（2分）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是 A． B． C． D．【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个直角梯形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个六边形，可得：．故选：．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是 ．【解答】解：个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的，任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是，故答案为：．10．（2分）如果三角形的三边长分别为5，8，，那么的取值范围为 ．【解答】解：由三角形的三边关系可得：，则，故答案为：．11．（2分）如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的 105 ．【解答】解：由题意得，，，则，故答案为：105．12．（2分）将分式约分可得 ，依据为 ．【解答】解：（根据分式的基本性质，分式的分子和分母都除以，故答案为：，分式的基本性质．13．（2分）若表示实数的整数部分，例如：，则 4 ．【解答】解：，，，故答案为：4．14．（2分）如图，，分别是，上的点，，请添加一个条件，使得．这个条件可以为 ，， （只填一个条件即可）．【解答】解：，，根据，可以添加，使得，根据，可以添加，使得，根据，可以添加，使得，故答案为：，，．15．（2分）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索的长为尺，木柱的长用含的代数式表示为 尺，根据题意，可列方程为 ．【解答】解：设绳索长为尺，根据题意得：，故答案为：；．16．（2分）有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为，，，四个等次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．下面有四个推断：①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；②扇形统计图中，表示等次的扇形的圆心角的度数为；③测试成绩为等次的居民人数占参测总人数的；④测试成绩为或等次的居民人数共30人．所有合理推断的序号是 ①②④ ．【解答】解：①（人，因此调查的人数为40人，即样本容量为40，故①正确；②，因此②正确；③“等”频数（人，“等”频数为（人，因此“等”所占的百分比为，故③不正确；④“等”与“等”的频数和为（人，因此④正确；综上所述，正确的结论有①②④，故答案为：①②④．三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分；第23-27题，每小题5分；28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线及直线上一点．求作：直线，使得．作法：如图①以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点，；②分别以点，为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧在直线上方交于点；③作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接，． ， ， （填推理的依据）．【解答】解：（1）补全的图形如图2所示：（2）证明：连接，．，， （等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．故答案为：；；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．18．（5分）计算：．【解答】解：．19．（5分）计算：．【解答】解：原式．20．（5分）解方程：．【解答】解：去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解．21．（5分）如图，是等边三角形，，分别是，延长线上的点，且．求证：．【解答】证明：是等边三角形，，，，在与中，，，．22．（5分）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 5 个．【解答】解：如图，满足条件的三角形有5个．故答案为5．23．（6分）已知，求代数式的值．【解答】解：原式，当时，原式．24．（6分）关于的分式方程的解是负数，求满足条件的整数的最大值．【解答】解：解分式方程得，关于的分式方程的解是负数，且，解得且满足条件的整数的最大值是．25．（6分）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．【解答】解：设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵，依题意，得：，解得：，经检验．是原方程的解，答：原计划每天植树200棵．26．（6分）某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：请根据以上表格信息，解答如下问题：（1）分析数据，补全表格信息：（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．【解答】解：（1）个出现了11次，出现的次数最多，众数为5个，把这些数从小到大排列，中位数是第20、21个数的平均数，则中位数为（个．故答案为：5，5；（2）用中位数或众数5个作为合格标准次数较为合适，因为5个大部分同学都能达到．（3）根据题意得：（人．答：该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数有4800人．27．（6分）如图，中，，．的垂直平分线分别交，于点，．（1）求的长；（2）延长交的延长线于点，连接．若是上一动点，是上一动点，请直接写出的最小值为 ．【解答】解：（1），，，，，，，垂直平分线段，，，．（2）连接，延长交于，，是的高，也是高，垂直平分线段，，，，，，的最小值为，故答案为：．28．（8分）如图1，射线，分别作，的角平分线，这两条射线交于点，过点作一条直线分别与射线，直线交于点，（不与点，重合）．（1）当时，①补全图1；②若，，则的长为 （用含，的式子表示）．（2）当与不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段，，之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）①如图1所示，②过作于，平分，平分，，，，，，，，，故答案为：；（2）当点在点的右侧时，，理由如下：过作于，于，，如图2，由（1）知，，，，，，在与中，，，，，．当点在点的左侧时，，综上所述，或． 个数123456789101521人数1168114122112平均数众数中位数6 个数123456789101521人数1168114122112平均数众数中位数6 5
2020-2021学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）3的算术平方根是 A． B． C． D．92．（2分）下列医院设计的图案中，是轴对称图形的是 A． B． C． D．3．（2分）下列事件中，为必然事件的是 A．明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起 B．成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀 C．从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除 D．从10本图书中随机抽取一本是小说4．（2分）代数式在实数范围内有意义的条件是 A． B． C． D．5．（2分）如图所示在中，边上的高线画法正确的是 A． B． C． D．6．（2分）下列式子的变形正确的是 A． B． C． D．7．（2分）下列说法正确的是 A．无理数是开方开不尽的数 B．一个实数的绝对值总是正数 C．不存在绝对值最小的实数 D．实数与数轴上的点一一对应8．（2分）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是 A． B． C． D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是 ．10．（2分）如果三角形的三边长分别为5，8，，那么的取值范围为 ．11．（2分）如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的 ．12．（2分）将分式约分可得 ，依据为 ．13．（2分）若表示实数的整数部分，例如：，则 ．14．（2分）如图，，分别是，上的点，，请添加一个条件，使得．这个条件可以为 （只填一个条件即可）．15．（2分）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索的长为尺，木柱的长用含的代数式表示为 尺，根据题意，可列方程为 ．16．（2分）有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为，，，四个等次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．下面有四个推断：①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；②扇形统计图中，表示等次的扇形的圆心角的度数为；③测试成绩为等次的居民人数占参测总人数的；④测试成绩为或等次的居民人数共30人．所有合理推断的序号是 ．三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分；第23-27题，每小题5分；28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线及直线上一点．求作：直线，使得．作法：如图①以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点，；②分别以点，为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧在直线上方交于点；③作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接，． ， ， （填推理的依据）．18．（5分）计算：．19．（5分）计算：．20．（5分）解方程：．21．（5分）如图，是等边三角形，，分别是，延长线上的点，且．求证：．22．（5分）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 个．23．（6分）已知，求代数式的值．24．（6分）关于的分式方程的解是负数，求满足条件的整数的最大值．25．（6分）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．26．（6分）某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：请根据以上表格信息，解答如下问题：（1）分析数据，补全表格信息：（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．27．（6分）如图，中，，．的垂直平分线分别交，于点，．（1）求的长；（2）延长交的延长线于点，连接．若是上一动点，是上一动点，请直接写出的最小值为 ．28．（8分）如图1，射线，分别作，的角平分线，这两条射线交于点，过点作一条直线分别与射线，直线交于点，（不与点，重合）．（1）当时，①补全图1；②若，，则的长为 （用含，的式子表示）．（2）当与不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段，，之间的数量关系，并证明． 2020-2021学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（2分）3的算术平方根是 A． B． C． D．9【解答】解：3的算术平方根是，故选：．2．（2分）下列医院设计的图案中，是轴对称图形的是 A． B． C． D．【解答】解：根据轴对称图形的定义，可知选项是轴对称图形，故选：．3．（2分）下列事件中，为必然事件的是 A．明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起 B．成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀 C．从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除 D．从10本图书中随机抽取一本是小说【解答】解：、明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起，是随机事件；、成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀，是随机事件；、从能被8整除的数中，随机抽取一个数能被2整除，是必然事件；、从10本图书中随机抽取一本是小说，是随机事件；故选：．4．（2分）代数式在实数范围内有意义的条件是 A． B． C． D．【解答】解：由题意得，，解得，故选：．5．（2分）如图所示在中，边上的高线画法正确的是 A． B． C． D．【解答】解：在中，边上的高线画法正确的是，故选：．6．（2分）下列式子的变形正确的是 A． B． C． D．【解答】解：、，原变形错误，故此选项不符合题意；、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；、，原变形正确，故此选项符合题意；、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：．7．（2分）下列说法正确的是 A．无理数是开方开不尽的数 B．一个实数的绝对值总是正数 C．不存在绝对值最小的实数 D．实数与数轴上的点一一对应【解答】解：．无理数不一定是开方开不尽的数，故本选项说法错误；．一个实数的绝对值总是非负数，故本选项说法错误；．存在绝对值最小的实数，故本选项说法错误；．实数与数轴上的点一一对应，故本选项正确；故选：．8．（2分）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是 A． B． C． D．【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个直角梯形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个六边形，可得：．故选：．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是 ．【解答】解：个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的，任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是，故答案为：．10．（2分）如果三角形的三边长分别为5，8，，那么的取值范围为 ．【解答】解：由三角形的三边关系可得：，则，故答案为：．11．（2分）如图，将一副直角三角尺按图③放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的某直角边在同一条直线上，则图③中的 105 ．【解答】解：由题意得，，，则，故答案为：105．12．（2分）将分式约分可得 ，依据为 ．【解答】解：（根据分式的基本性质，分式的分子和分母都除以，故答案为：，分式的基本性质．13．（2分）若表示实数的整数部分，例如：，则 4 ．【解答】解：，，，故答案为：4．14．（2分）如图，，分别是，上的点，，请添加一个条件，使得．这个条件可以为 ，， （只填一个条件即可）．【解答】解：，，根据，可以添加，使得，根据，可以添加，使得，根据，可以添加，使得，故答案为：，，．15．（2分）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽．问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索的长为尺，木柱的长用含的代数式表示为 尺，根据题意，可列方程为 ．【解答】解：设绳索长为尺，根据题意得：，故答案为：；．16．（2分）有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源．为了更好地开展垃圾分类工作，某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．从中随机抽取部分居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为，，，四个等次，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．下面有四个推断：①本次的调查方式是抽样调查，样本容量是40；②扇形统计图中，表示等次的扇形的圆心角的度数为；③测试成绩为等次的居民人数占参测总人数的；④测试成绩为或等次的居民人数共30人．所有合理推断的序号是 ①②④ ．【解答】解：①（人，因此调查的人数为40人，即样本容量为40，故①正确；②，因此②正确；③“等”频数（人，“等”频数为（人，因此“等”所占的百分比为，故③不正确；④“等”与“等”的频数和为（人，因此④正确；综上所述，正确的结论有①②④，故答案为：①②④．三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分；第23-27题，每小题5分；28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线及直线上一点．求作：直线，使得．作法：如图①以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于点，；②分别以点，为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧在直线上方交于点；③作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接，． ， ， （填推理的依据）．【解答】解：（1）补全的图形如图2所示：（2）证明：连接，．，， （等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．故答案为：；；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．18．（5分）计算：．【解答】解：．19．（5分）计算：．【解答】解：原式．20．（5分）解方程：．【解答】解：去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解．21．（5分）如图，是等边三角形，，分别是，延长线上的点，且．求证：．【解答】证明：是等边三角形，，，，在与中，，，．22．（5分）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，请在图中画出2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形共 5 个．【解答】解：如图，满足条件的三角形有5个．故答案为5．23．（6分）已知，求代数式的值．【解答】解：原式，当时，原式．24．（6分）关于的分式方程的解是负数，求满足条件的整数的最大值．【解答】解：解分式方程得，关于的分式方程的解是负数，且，解得且满足条件的整数的最大值是．25．（6分）创建文明城市，携手共建幸福美好．某地为美化环境，计划种植树木4800棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务．求原计划每天植树的棵数．【解答】解：设原计划每天植树棵，则实际每天植树棵，依题意，得：，解得：，经检验．是原方程的解，答：原计划每天植树200棵．26．（6分）某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了40名八年级男生进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下：请根据以上表格信息，解答如下问题：（1）分析数据，补全表格信息：（2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生“引体向上”项目测试的“合格标准”，并说明选择的理由．（3）如果该区现有8000名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准”，估计该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数．【解答】解：（1）个出现了11次，出现的次数最多，众数为5个，把这些数从小到大排列，中位数是第20、21个数的平均数，则中位数为（个．故答案为：5，5；（2）用中位数或众数5个作为合格标准次数较为合适，因为5个大部分同学都能达到．（3）根据题意得：（人．答：该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数有4800人．27．（6分）如图，中，，．的垂直平分线分别交，于点，．（1）求的长；（2）延长交的延长线于点，连接．若是上一动点，是上一动点，请直接写出的最小值为 ．【解答】解：（1），，，，，，，垂直平分线段，，，．（2）连接，延长交于，，是的高，也是高，垂直平分线段，，，，，，的最小值为，故答案为：．28．（8分）如图1，射线，分别作，的角平分线，这两条射线交于点，过点作一条直线分别与射线，直线交于点，（不与点，重合）．（1）当时，①补全图1；②若，，则的长为 （用含，的式子表示）．（2）当与不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段，，之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）①如图1所示，②过作于，平分，平分，，，，，，，，，故答案为：；（2）当点在点的右侧时，，理由如下：过作于，于，，如图2，由（1）知，，，，，，在与中，，，，，．当点在点的左侧时，，综上所述，或． 个数123456789101521人数1168114122112平均数众数中位数6 个数123456789101521人数1168114122112平均数众数中位数6 5
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