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2020-2021学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷
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2020-2021学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）若分式的值为0，则的值为 A．2 B． C． D．2．（2分）下面的四个图案分别是“型路口”、“步行”、“注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是 A． B． C． D．3．（2分）如图所示，的边上的高是 A．线段 B．线段 C．线段 D．线段4．（2分）下列计算正确的是 A． B． C． D．5．（2分）如图，平分，于点，于点，延长，交，于点，．下列结论错误的是 A． B． C． D．6．（2分）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为 A．15 B．20 C．25 D．20或257．（2分）2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：如果厨余垃圾分出率（生活垃圾总量厨余垃圾分出量其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是 A． B． C． D．8．（2分）设，是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中所有正确推断的序号是 A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）若在实数范围内有意义，则的取值范围为 ．10．（3分）分解因式： ．11．（3分）写出一个比大且比小的整数 ．12．（3分）如图，将沿所在的直线平移得到．如果，，那么 ．13．（3分）如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式 ．14．（3分）如图，在中，，，于点，若，则 ．15．（3分）如果关于的多项式是一个完全平方式，那么 ．16．（3分）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点，均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点也在此的正方形网格的格点上，且是等腰三角形，请写出一个满足条件的点的坐标 ；满足条件的点一共有 个．三、解答题（本题共60分，第17-23题，每小题5分，第24--26题，每小题5分，第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）计算：．19．（5分）计算：．20．（5分）解分式方程：．21．（5分）如图，，，．求证：．22．（5分）先化简，再求值：，其中．23．（5分）下面是小明设计的“作一个含角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，直线及直线上一点．求作：，使得，．作法：如图2，①在直线上取点；②分别以点，为圆心，长为半径画弧，交于点，；③作直线，交直线于点；④连接．就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，，．，是等边三角形．．， ，点，在线段的垂直平分线上 （填推理的依据）．．． （填推理的依据）．．24．（6分）如图，中，，点，分别在边，上，，．求证：平分．25．（6分）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：．反过来，有．运用这个运算规律可以计算：．（1）请你运用这个运算规律计算： ；（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的第次倒出的水量是的按照这种倒水的方法，这水能倒完吗？请你补充解决过程：①列出倒次水倒出的总水量的式子并计算；②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这水能倒完吗”，并说明理由．26．（6分）已知：如图，，点在射线上，点，在射线上（点在点的右侧），且．点关于直线的对称点为，连接．（1）依题意补全图形；（2）猜想线段，的数量关系，并证明．27．（7分）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得，那么点是图形的“阶关联点”（1）若点是原点的“阶关联点”，则点的坐标为 ；（2）如图，在中，，，．①若点是的“0阶关联点”，把所有符合题意的点都画在图中；②若点是的“阶关联点”，且点在上，求的取值范围． 2020-2021学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）若分式的值为0，则的值为 A．2 B． C． D．【解答】解：分式的值为0，，，解得：．故选：．2．（2分）下面的四个图案分别是“型路口”、“步行”、“注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是 A． B． C． D．【解答】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：．3．（2分）如图所示，的边上的高是 A．线段 B．线段 C．线段 D．线段【解答】解：由题意可知，的边上的高是线段．故选：．4．（2分）下列计算正确的是 A． B． C． D．【解答】解：、，故本选项不合题意；、，故本选项符合题意；、，故本选项不合题意；、，故本选项不合题意．故选：．5．（2分）如图，平分，于点，于点，延长，交，于点，．下列结论错误的是 A． B． C． D．【解答】解：平分，，，，，在和中，，，，，，故，，正确；故选：．6．（2分）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为 A．15 B．20 C．25 D．20或25【解答】解：分两种情况：当腰为5时，，所以不能构成三角形；当腰为10时，，所以能构成三角形，周长是：．故选：．7．（2分）2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：如果厨余垃圾分出率（生活垃圾总量厨余垃圾分出量其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是 A． B． C． D．【解答】解：根据题意知，．故选：．8．（2分）设，是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中所有正确推断的序号是 A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③【解答】解：①，，故①正确；②，，故②错误；③，，故③正确；④，．，故④错误；即正确的为①③，故选：．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）若在实数范围内有意义，则的取值范围为 ．【解答】解：由题意得：，解得：，故答案为：．10．（3分）分解因式： ．【解答】解：原式．故答案为：．11．（3分）写出一个比大且比小的整数 3或4 ．【解答】解：，而，，故答案为：3或4．12．（3分）如图，将沿所在的直线平移得到．如果，，那么 2.5 ．【解答】解：沿所在的直线平移得到．，．故答案为2.5．13．（3分）如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式 ．【解答】解：大长方形的长为，宽为，则面积为，图中6个小长方形的面积和为，可得等式．故答案为：．14．（3分）如图，在中，，，于点，若，则 3 ．【解答】解：，，，，，，，，．故答案为：3．15．（3分）如果关于的多项式是一个完全平方式，那么 ．【解答】解：，，故答案为：．16．（3分）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点，均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点也在此的正方形网格的格点上，且是等腰三角形，请写出一个满足条件的点的坐标 ，，，，，，，， ；满足条件的点一共有 个．【解答】解：满足条件的点的坐标为，，，，，，，，满足条件的点一共有8个，故答案为：，，，，，，，，8．三、解答题（本题共60分，第17-23题，每小题5分，第24--26题，每小题5分，第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．【解答】解：．18．（5分）计算：．【解答】解：．19．（5分）计算：．【解答】解：原式．20．（5分）解分式方程：．【解答】解：去分母得：，整理得：，解得：，经检验是分式方程的解．21．（5分）如图，，，．求证：．【解答】证明：，，，在和中，，，．22．（5分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式，，，则原式．23．（5分）下面是小明设计的“作一个含角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，直线及直线上一点．求作：，使得，．作法：如图2，①在直线上取点；②分别以点，为圆心，长为半径画弧，交于点，；③作直线，交直线于点；④连接．就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，，．，是等边三角形．．， ，点，在线段的垂直平分线上 （填推理的依据）．．． （填推理的依据）．．【解答】（1）解：如图，即为补全的图形；（2）证明：如图，连接，，．，是等边三角形．．，，点，在线段的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．．．（直角三角形的两个锐角互余）．．故答案为：；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直角三角形两个锐角互余．24．（6分）如图，中，，点，分别在边，上，，．求证：平分．【解答】证明：过点作于点，，，，，在与中，，，，点在的平分线上，平分．25．（6分）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：．反过来，有．运用这个运算规律可以计算：．（1）请你运用这个运算规律计算： ；（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的第次倒出的水量是的按照这种倒水的方法，这水能倒完吗？请你补充解决过程：①列出倒次水倒出的总水量的式子并计算；②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这水能倒完吗”，并说明理由．【解答】解：（1）．故答案为：；（2）①；②这水不能倒完，理由如下：，无论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于，因此，按照这种倒水的方法，这水不能倒完．26．（6分）已知：如图，，点在射线上，点，在射线上（点在点的右侧），且．点关于直线的对称点为，连接．（1）依题意补全图形；（2）猜想线段，的数量关系，并证明．【解答】解：（1）如图所示：（2）猜想：．证明：连接，，点关于直线的对称点为，点在射线上，，，，，即，在中，，又，，，，又，是等边三角形，，．27．（7分）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得，那么点是图形的“阶关联点”（1）若点是原点的“阶关联点”，则点的坐标为 ；（2）如图，在中，，，．①若点是的“0阶关联点”，把所有符合题意的点都画在图中；②若点是的“阶关联点”，且点在上，求的取值范围．【解答】解：（1）根据题意可知：点，点，需满足，解得，即，故答案为；（2）①根据题意，满足，即，其中为上的点，即所有符合题意的点为关于轴对称的点，如图，△即为所求；②根据题意，需满足，其中，均在上，，，，，，且，． 月份类别5月12月厨余垃圾分出量（千克）6608400其他三种垃圾的总量（千克）月份类别5月12月厨余垃圾分出量（千克）6608400其他三种垃圾的总量（千克）
2020-2021学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）若分式的值为0，则的值为 A．2 B． C． D．2．（2分）下面的四个图案分别是“型路口”、“步行”、“注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是 A． B． C． D．3．（2分）如图所示，的边上的高是 A．线段 B．线段 C．线段 D．线段4．（2分）下列计算正确的是 A． B． C． D．5．（2分）如图，平分，于点，于点，延长，交，于点，．下列结论错误的是 A． B． C． D．6．（2分）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为 A．15 B．20 C．25 D．20或257．（2分）2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：如果厨余垃圾分出率（生活垃圾总量厨余垃圾分出量其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是 A． B． C． D．8．（2分）设，是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中所有正确推断的序号是 A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）若在实数范围内有意义，则的取值范围为 ．10．（3分）分解因式： ．11．（3分）写出一个比大且比小的整数 ．12．（3分）如图，将沿所在的直线平移得到．如果，，那么 ．13．（3分）如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式 ．14．（3分）如图，在中，，，于点，若，则 ．15．（3分）如果关于的多项式是一个完全平方式，那么 ．16．（3分）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点，均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点也在此的正方形网格的格点上，且是等腰三角形，请写出一个满足条件的点的坐标 ；满足条件的点一共有 个．三、解答题（本题共60分，第17-23题，每小题5分，第24--26题，每小题5分，第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）计算：．19．（5分）计算：．20．（5分）解分式方程：．21．（5分）如图，，，．求证：．22．（5分）先化简，再求值：，其中．23．（5分）下面是小明设计的“作一个含角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，直线及直线上一点．求作：，使得，．作法：如图2，①在直线上取点；②分别以点，为圆心，长为半径画弧，交于点，；③作直线，交直线于点；④连接．就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，，．，是等边三角形．．， ，点，在线段的垂直平分线上 （填推理的依据）．．． （填推理的依据）．．24．（6分）如图，中，，点，分别在边，上，，．求证：平分．25．（6分）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：．反过来，有．运用这个运算规律可以计算：．（1）请你运用这个运算规律计算： ；（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的第次倒出的水量是的按照这种倒水的方法，这水能倒完吗？请你补充解决过程：①列出倒次水倒出的总水量的式子并计算；②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这水能倒完吗”，并说明理由．26．（6分）已知：如图，，点在射线上，点，在射线上（点在点的右侧），且．点关于直线的对称点为，连接．（1）依题意补全图形；（2）猜想线段，的数量关系，并证明．27．（7分）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得，那么点是图形的“阶关联点”（1）若点是原点的“阶关联点”，则点的坐标为 ；（2）如图，在中，，，．①若点是的“0阶关联点”，把所有符合题意的点都画在图中；②若点是的“阶关联点”，且点在上，求的取值范围． 2020-2021学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（2分）若分式的值为0，则的值为 A．2 B． C． D．【解答】解：分式的值为0，，，解得：．故选：．2．（2分）下面的四个图案分别是“型路口”、“步行”、“注意落石”和“向左转弯”的交通标识，其中可以看作是轴对称图形的是 A． B． C． D．【解答】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：．3．（2分）如图所示，的边上的高是 A．线段 B．线段 C．线段 D．线段【解答】解：由题意可知，的边上的高是线段．故选：．4．（2分）下列计算正确的是 A． B． C． D．【解答】解：、，故本选项不合题意；、，故本选项符合题意；、，故本选项不合题意；、，故本选项不合题意．故选：．5．（2分）如图，平分，于点，于点，延长，交，于点，．下列结论错误的是 A． B． C． D．【解答】解：平分，，，，，在和中，，，，，，故，，正确；故选：．6．（2分）设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为 A．15 B．20 C．25 D．20或25【解答】解：分两种情况：当腰为5时，，所以不能构成三角形；当腰为10时，，所以能构成三角形，周长是：．故选：．7．（2分）2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：如果厨余垃圾分出率（生活垃圾总量厨余垃圾分出量其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是 A． B． C． D．【解答】解：根据题意知，．故选：．8．（2分）设，是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中所有正确推断的序号是 A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③【解答】解：①，，故①正确；②，，故②错误；③，，故③正确；④，．，故④错误；即正确的为①③，故选：．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）若在实数范围内有意义，则的取值范围为 ．【解答】解：由题意得：，解得：，故答案为：．10．（3分）分解因式： ．【解答】解：原式．故答案为：．11．（3分）写出一个比大且比小的整数 3或4 ．【解答】解：，而，，故答案为：3或4．12．（3分）如图，将沿所在的直线平移得到．如果，，那么 2.5 ．【解答】解：沿所在的直线平移得到．，．故答案为2.5．13．（3分）如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式 ．【解答】解：大长方形的长为，宽为，则面积为，图中6个小长方形的面积和为，可得等式．故答案为：．14．（3分）如图，在中，，，于点，若，则 3 ．【解答】解：，，，，，，，，．故答案为：3．15．（3分）如果关于的多项式是一个完全平方式，那么 ．【解答】解：，，故答案为：．16．（3分）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点，均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点也在此的正方形网格的格点上，且是等腰三角形，请写出一个满足条件的点的坐标 ，，，，，，，， ；满足条件的点一共有 个．【解答】解：满足条件的点的坐标为，，，，，，，，满足条件的点一共有8个，故答案为：，，，，，，，，8．三、解答题（本题共60分，第17-23题，每小题5分，第24--26题，每小题5分，第27题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．【解答】解：．18．（5分）计算：．【解答】解：．19．（5分）计算：．【解答】解：原式．20．（5分）解分式方程：．【解答】解：去分母得：，整理得：，解得：，经检验是分式方程的解．21．（5分）如图，，，．求证：．【解答】证明：，，，在和中，，，．22．（5分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式，，，则原式．23．（5分）下面是小明设计的“作一个含角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，直线及直线上一点．求作：，使得，．作法：如图2，①在直线上取点；②分别以点，为圆心，长为半径画弧，交于点，；③作直线，交直线于点；④连接．就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接，，．，是等边三角形．．， ，点，在线段的垂直平分线上 （填推理的依据）．．． （填推理的依据）．．【解答】（1）解：如图，即为补全的图形；（2）证明：如图，连接，，．，是等边三角形．．，，点，在线段的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．．．（直角三角形的两个锐角互余）．．故答案为：；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；直角三角形两个锐角互余．24．（6分）如图，中，，点，分别在边，上，，．求证：平分．【解答】证明：过点作于点，，，，，在与中，，，，点在的平分线上，平分．25．（6分）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：．反过来，有．运用这个运算规律可以计算：．（1）请你运用这个运算规律计算： ；（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的第次倒出的水量是的按照这种倒水的方法，这水能倒完吗？请你补充解决过程：①列出倒次水倒出的总水量的式子并计算；②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这水能倒完吗”，并说明理由．【解答】解：（1）．故答案为：；（2）①；②这水不能倒完，理由如下：，无论倒水次数有多大，倒出的总水量总小于，因此，按照这种倒水的方法，这水不能倒完．26．（6分）已知：如图，，点在射线上，点，在射线上（点在点的右侧），且．点关于直线的对称点为，连接．（1）依题意补全图形；（2）猜想线段，的数量关系，并证明．【解答】解：（1）如图所示：（2）猜想：．证明：连接，，点关于直线的对称点为，点在射线上，，，，，即，在中，，又，，，，又，是等边三角形，，．27．（7分）对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得，那么点是图形的“阶关联点”（1）若点是原点的“阶关联点”，则点的坐标为 ；（2）如图，在中，，，．①若点是的“0阶关联点”，把所有符合题意的点都画在图中；②若点是的“阶关联点”，且点在上，求的取值范围．【解答】解：（1）根据题意可知：点，点，需满足，解得，即，故答案为；（2）①根据题意，满足，即，其中为上的点，即所有符合题意的点为关于轴对称的点，如图，△即为所求；②根据题意，需满足，其中，均在上，，，，，，且，． 月份类别5月12月厨余垃圾分出量（千克）6608400其他三种垃圾的总量（千克）月份类别5月12月厨余垃圾分出量（千克）6608400其他三种垃圾的总量（千克）
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