2020-2021学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷

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2020-2021学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3分）的计算结果为　　A．6 B． C． D．92．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是　　A． B． C． D．3．（3分）下列运算中正确的是　　A． B． C． D．4．（3分）如图，在和中，，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是　　A．， B．， C．， D．，5．（3分）化简分式的结果是　　A． B． C． D．6．（3分）如果，那么代数式的值为　　A．14 B．9 C． D．7．（3分）已知一次函数，且随的增大而减小，下列四个点中，可能是该一次函数图象与轴交点的是　　A． B． C． D．8．（3分）如图，在中，点，分别在边，上，点与点关于直线对称．若，，，则的周长为　　A．9 B．10 C．11 D．129．（3分）在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座高的山，乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少．如果设甲组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是　　A． B． C． D．10．（3分）如图1，四边形是轴对称图形，对角线，所在直线都是其对称轴，且，相交于点．动点从四边形的某个顶点出发，沿图1中的线段匀速运动．设点运动的时间为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，则点的运动路径可能是　　A． B． C． D．二、填空题（本题共18分，第15，17题每小题2分，其余每小题2分）11．（2分）使分式有意义的的取值范围是　　．12．（2分）点关于轴的对称点的坐标是　　．13．（2分）计算：　　．14．（2分）如图，，点在边上，，则　　．15．（3分）已知小腾家、食堂、图书馆在同一条直线上．小腾从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查阅资料，然后回家，下面的图象反映了这个过程中小腾离家的距离（单位：与时间（单位：之间的对应关系．根据图象可知，小腾从食堂到图书馆所用时间为　　；请你根据图象再写出一个结论：　　．16．（2分）如图1，先将边长为的大正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，然后沿直线将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形．根据图1和图2的面积关系写出一个等式：　　．（用含，的式子表示）17．（3分）如图，是等边三角形，于点，于点．若，则　　；与的面积关系是：　　．18．（2分）如图，一次函数与的图象交于点．下列结论中，所有正确结论的序号是　　．①；②；③当时，；④；⑤．三.解答题（本题共52分，第19题8分，第20～24题每小题8分，第25，26题每小题8分）19．（8分）分解因式：（1）；（2）．20．（6分）计算：．21．（6分）小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在中，．求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．作法：如图，①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；②作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上，．　　（填推理的依据）　　　　．，，　　．．．　　（填推理的依据）和都是等腰三角形．22．（6分）解方程：．23．（6分）如图，，点在的延长线上，，．（1）求证：；（2）连接，求证：．24．（6分）如图在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且与直线交于点．（1）求和的值；（2）求的面积；（3）若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，直接写出的取值范围．25．（7分）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，，的“最佳间距”是1．（1）点，，的“最佳间距”是　　；（2）已知点，，．①若点，，的“最佳间距”是1，则的值为　　；②点，，的“最佳间距”的最大值为　　；（3）已知直线与坐标轴分别交于点和，点是线段上的一个动点．当点，，的“最佳间距”取到最大值时，求此时点的坐标．26．（7分）课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点，且．求证：．小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明结论．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至，使　　，连接．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点在的内部，，，分别平分，，，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题；（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点在边上，，那么平分．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．四、填空题（本题6分）27．（6分）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题：（1）将变形为满足以上结果要求的形式：　　；（2）①将变形为满足以上结果要求的形式：　　；②若为正整数，且也为正整数，则的值为　　．五、解答题（本题共14分，第2题6分,第3题8分）28．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的负半轴交于点，与轴交于点．点在第四象限，，且．（1）点的坐标为　　，点的横坐标为　　；（2）设与轴交于点，连接，过点作轴于点．若射线平分，用等式表示线段与的数量关系，并证明．29．（8分）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，，，定义如下：点与点的“直角距离”为，记作．例如：点与的“直角距离” ．（1）已知点，，，，，，，则在这四个点中，与原点的“直角距离”等于1的点是　　；（2）如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点的“直角距离”都等于1．若点与原点的“直角距离” ．请在图中将所有满足条件的点组成的图形补全；（3）已知直线，点是轴上的一个动点．①当时，若直线上存在点，满足，求的取值范围；②当时，直线与轴，轴分别交于点，．若线段上任意一点都满足，直接写出的取值范围．2020-2021学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（3分）的计算结果为　　A．6 B． C． D．9【解答】解：．故选：．2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是　　A． B． C． D．【解答】解：、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；、是轴对称图形，故此选项符合题意；、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：．3．（3分）下列运算中正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：．与不是同类项，不能合并，因此不符合题意；．，因此不符合题意；．，因此不符合题意；．，因此符合题意；故选：．4．（3分）如图，在和中，，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：．添加条件，时，没有边的条件，故不能判定，．添加条件，，根据可证明，．添加条件，，根据可证明，．添加条件，，根据可证明，故选：．5．（3分）化简分式的结果是　　A． B． C． D．【解答】解：，故选：．6．（3分）如果，那么代数式的值为　　A．14 B．9 C． D．【解答】解：．当时，原式．故选：．7．（3分）已知一次函数，且随的增大而减小，下列四个点中，可能是该一次函数图象与轴交点的是　　A． B． C． D．【解答】解：随的增大而减小，．时，，解得：，，故选：．8．（3分）如图，在中，点，分别在边，上，点与点关于直线对称．若，，，则的周长为　　A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：点与点关于直线对称，，，，，，的周长．故选：．9．（3分）在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座高的山，乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少．如果设甲组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：设甲组的攀登速度为，则乙组的攀登速度为，依题意得：．故选：．10．（3分）如图1，四边形是轴对称图形，对角线，所在直线都是其对称轴，且，相交于点．动点从四边形的某个顶点出发，沿图1中的线段匀速运动．设点运动的时间为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，则点的运动路径可能是　　A． B． C． D．【解答】解：由图象可知，初始段是关于的一次函数，由于时，点与点重合，第二个点应该是点，故排除、；图2显示，第一段随的增大而减小，第二段先随的增大而增大，且第二段的最高点大于第一段的最高点，，，故选项不对．只有选项符合题意．故选：．二、填空题（本题共18分，第15，17题每小题2分，其余每小题2分）11．（2分）使分式有意义的的取值范围是　　．【解答】解：根据题意得：，解得：故答案为：12．（2分）点关于轴的对称点的坐标是　　．【解答】解：点关于轴的对称点的坐标为．故答案为：．13．（2分）计算：　　．【解答】解：原式，故答案为：．14．（2分）如图，，点在边上，，则　72　．【解答】解：，，，，，．故答案为：72．15．（3分）已知小腾家、食堂、图书馆在同一条直线上．小腾从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查阅资料，然后回家，下面的图象反映了这个过程中小腾离家的距离（单位：与时间（单位：之间的对应关系．根据图象可知，小腾从食堂到图书馆所用时间为　12　；请你根据图象再写出一个结论：　　．【解答】解；由图象可得，小腾从食堂到图书馆所用时间为；，根据图象再写出一个结论：小腾从图书馆回家所用时间为，故答案为：12，小腾从图书馆回家所用时间为（答案不唯一）．16．（2分）如图1，先将边长为的大正方形纸片剪去一个边长为的小正方形，然后沿直线将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形．根据图1和图2的面积关系写出一个等式：　　．（用含，的式子表示）【解答】解：图1中阴影部分的面积为：，图2中阴影部分的面积为：，因此有：，故答案为：．17．（3分）如图，是等边三角形，于点，于点．若，则　6　；与的面积关系是：　　．【解答】解：是等边三角形，，，，，，；，，，，，，．故答案为：6，．18．（2分）如图，一次函数与的图象交于点．下列结论中，所有正确结论的序号是　②④⑤　．①；②；③当时，；④；⑤．【解答】解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限，，，故①错误；由图象可知一次函数的图象经过一、二、三象限，，，，故②正确；由图象可知，当时，，故③错误；一次函数与的图象交于点，且的横坐标为1，，故④正确；函数与轴的交点为，，且，，，故⑤正确，故答案为②④⑤．三.解答题（本题共52分，第19题8分，第20～24题每小题8分，第25，26题每小题8分）19．（8分）分解因式：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式；（2）原式．20．（6分）计算：．【解答】解：原式．21．（6分）小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在中，．求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．作法：如图，①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；②作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上，．　垂直平分线上的点到线段两个端点距离线段　（填推理的依据）　　　　．，，　　．．．　　（填推理的依据）和都是等腰三角形．【解答】解：（1）补全的图形如下：（2）证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上，．（垂直平分线上的点到线段两个端点距离线段）．，，．．．（等角对等边）（填推理的依据）和都是等腰三角形．故答案为：垂直平分线上的点到线段两个端点距离线段；，；；等角对等边．22．（6分）解方程：．【解答】解：去分母得：，整理得：，移项合并得：，解得：，经检验是分式方程的解．23．（6分）如图，，点在的延长线上，，．（1）求证：；（2）连接，求证：．【解答】证明：（1），，在和中，，，；（2）如图，连接，，，，，又，．24．（6分）如图在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且与直线交于点．（1）求和的值；（2）求的面积；（3）若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，直接写出的取值范围．【解答】解：（1）把点代入得，，，把代入得，，解得；（2）直线与轴交于点，直线与轴交于点，，，，；（3）将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线的解析式为，直线与轴交点为，把代入得，，解得，把代入得，，解得，平移后所得到的直线与直线的交点在第一象限，的取值范围是．25．（7分）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，，的“最佳间距”是1．（1）点，，的“最佳间距”是　2　；（2）已知点，，．①若点，，的“最佳间距”是1，则的值为　　；②点，，的“最佳间距”的最大值为　　；（3）已知直线与坐标轴分别交于点和，点是线段上的一个动点．当点，，的“最佳间距”取到最大值时，求此时点的坐标．【解答】解：，，轴，，同理，，在△中，，，“最佳距离”为2，故答案为：2；（2）①，，，同理，，在直角中，，，又点，，的“最佳间距”是1，且，，，故答案为：；②由①可得，，，如图1， “最佳间距”的值为或者是的长，，，当时，“最佳间距”为3，当时，“最佳间距”为，点，，的“最佳间距”的最大值为3，故答案为：3；（3）设直线为，代入点得，如图2，，直线的解析式为：，，，且是线段上的一个动点，轴，，，①当时，即时，，“最佳间距”为，此时，②当时，即时，，“最佳间距“为，此时，点，，的“最佳间距”取到最大值时，，，，．26．（7分）课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点，且．求证：．小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明结论．（1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至，使　　，连接．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；（2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点在的内部，，，分别平分，，，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题；（3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点在边上，，那么平分．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．【解答】证明：（1）延长至，使，连接，则，，平分，，，，在和中，，，，；（2）如图3，在上截取，使，连接，，，分别平分，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，；（3）如图4，延长至，使，连接，则，，，，，，，，，，在和中，，，，即平分．四、填空题（本题6分）27．（6分）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题：（1）将变形为满足以上结果要求的形式：　　；（2）①将变形为满足以上结果要求的形式：　　；②若为正整数，且也为正整数，则的值为　　．【解答】解：（1），故答案为：；（2）①，故答案为：；②由①知：，为正整数，且也为正整数，或，解得：或，故答案为：2或6．五、解答题（本题共14分，第2题6分,第3题8分）28．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴的负半轴交于点，与轴交于点．点在第四象限，，且．（1）点的坐标为　　，点的横坐标为　　；（2）设与轴交于点，连接，过点作轴于点．若射线平分，用等式表示线段与的数量关系，并证明．【解答】解：（1）令，则，，过作轴于，如图1，，，，，，，在与中，，，，的横坐标为3，故答案为：，3；（2），理由如下：延长，交于点，设交轴于点，如图2，平分，，，，，，，，平分，，，，在与中，，，，，．29．（8分）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，，，定义如下：点与点的“直角距离”为，记作．例如：点与的“直角距离” ．（1）已知点，，，，，，，则在这四个点中，与原点的“直角距离”等于1的点是　，　；（2）如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点的“直角距离”都等于1．若点与原点的“直角距离” ．请在图中将所有满足条件的点组成的图形补全；（3）已知直线，点是轴上的一个动点．①当时，若直线上存在点，满足，求的取值范围；②当时，直线与轴，轴分别交于点，．若线段上任意一点都满足，直接写出的取值范围．【解答】解：（1）点，，，，，，，，，，，与原点的“直角距离”等于1的点是，；故答案为：，；（2）设，点与原点的“直角距离” ，，当，时，，即，当，时，，即，当，时，，即，当，时，，即，如图1所示，（3）①当时，点的坐标为，由（2）可得：，则点在正方形边上，如图2，，，，，又点在直线，又直线过点，由图2可知：当直线过点时，通过观察图2可得：的最大值是过点的直线，的最小值是过，的直线，把点的坐标代入中，，，把点的坐标代入中，，，故的取值范围是：；②当时，直线的解析式为：，当时，，当时，，，，设，，，，即，又，即，当时，有，，，当时，有，，，又，，当时，，不符合题意，当时，，不符合题意，当时，，不符合题意，综上，的取值范围为：或．