广东省2021年中考数学高分突破模拟试题

2021届广东省中考数学高分突破模拟试卷

一、单选题

1．实数2021的相反数是（    ）

A．2021 B． C． D．

2．下列把2034000记成科学记数法正确的是（    ）

A．2.034×106 B．20.34×105 C．0.2034×106 D．2.034×103

3．下列图形是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（     ）

A．2 B．3 C．6 D．7

5．把抛物线y=12x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（　　）

A．y=12（x+1）2﹣3 B．y=12（x﹣1）2﹣3

C．y=12（x+1）2+1 D．y=12（x﹣1）2+1

6．某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（　　）

A． B． C． D．

7．如图，在中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若，则的大小为 　　

A． B． C． D．

8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，DC、AE交于点F，则S△DEF：S△ACF＝（　　）

A． B． C． D．

9．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．15°

10．如图，已知二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，对称轴为直线．直线与二次函数的图象交于两点，点在轴的下方，而且的横坐标小于4，下列结论：

①；②；③；④不等式的取值范围是．其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

11．分解因式：2x2-8x+8=__________.

12．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则实数的值为______．

13．如图，已知是的直径，，C、D是圆周上的点，且，则的长为__．

14．如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为_______米(结果保留一位小数．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)．

15．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为___．

16．如图，的顶点在轴的负半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过两点．已知的面积是，则点的坐标为_______

17．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若将四边形沿折叠，点的对应点恰好落在边上，点C的对应点，与交于点，则下列结论：①若，则；②；③的大小为定值；④的周长与线段的长度之和为定值．正确的是_____．(填写正确结论的序号)

三、解答题

18．计算： .

19．先化简：，并从-2，2，-3，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．

20．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，如图所示：

（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；

（2）该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．

21．粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今年投资9000万元改装260辆型、型两款无人驾驶出租车投放市场．已知每辆型无人驾驶出租车的改装费用是50万元，每辆型无人驾驶出租车的改装费用是30万元．

（1）今年改装的型、型无人驾驶出租车各是多少辆？

（2）预计明年两种型号的无人驾驶出租车的改装费用都可下降20%，集团拟在明年再改装500辆两种型号的无人驾驶出租车，且要使型无人驾驶出租车的数量不多于型无人驾驶出租车数量的2倍，但要使投入的改装费用最少，那么要改装两种型号的无人驾驶出租车各多少辆？最少费用是多少万元？

22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的两点，直线与轴交于点，点的坐标为．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求的面积；

（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

23．已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）．

（1）如图1．当时，的面积为　　；

（2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点．

①如图2，当时，若直线，求的长度；

②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值．

24．如图,⊙O 的半径为１,直线CD 经过圆心O,交⊙O 于C、D 两点,直径AB⊥CD,点 M 是直线CD 上异于点C、O、D 的一个动点,AM 所在的直线交⊙O 于点N,点 P 是直线CD 上另一点,且PM＝PN．

 (1)当点 M 在⊙O 内部,如图①,试判断 PN 与⊙O 的关系,并写出证明过程;

(2)当点 M 在⊙O 外部,如图②,其他条件不变时,(1)的结论是否还成立? 请说明理由;

 (3)当点 M 在⊙O 外部,如图③,∠AMO＝15°,求图中阴影部分的面积．

25．已知抛物线y＝ax2﹣x+c经过A(﹣2，0)，B(0，2)两点，动点P，Q同时从原点出发均以1个单位/秒的速度运动，动点P沿x轴正方向运动，动点Q沿y轴正方向运动，连接PQ，设运动时间为t秒

(1)求抛物线的解析式；

(2)当BQ＝AP时，求t的值；

(3)随着点P，Q的运动，抛物线上是否存在点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请求出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．B

解：2021的相反数是：．

故选：B．

2．A

解：数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．

故选：A．

3．B

A、是轴对称图形，故此选项错误；

B、是中心对称图形，故此选项正确；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误．

4．D

解不等式，得：；

解不等式，得：．

所以原不等式的解集为．

所以原不等式的整数解有0、1、2、3、4、5、6共7个，

5．B

试题分析：∵把抛物线y=12x2﹣1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，

∴得到的抛物线的解析式为y=12（x﹣1）2﹣3，

6．B

详解：设练习本每本为x元，水笔每支为y元，

根据单价的等量关系可得方程为x+y=3，

根据总价36得到的方程为20x+10y=36，

所以可列方程为：，

7．B

解：∵OA=OC，∠A=25°，

∴∠A=∠OCA=25°，

∴∠DOC=∠A+∠OCA=50°，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∴∠D=90°-∠DOC=40°，

8．D

∵，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

9．B

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，

∴OB＝OC，OB＝OA，

∴∠OCB＝∠OBC，

∵AB＝BE，∠ABE＝90°，

∴∠BAE＝∠AEB＝45°，

∵∠1＝15°，

∴∠OCB＝∠AEB﹣∠EAC＝45°﹣15°＝30°，

∴∠OBC＝∠OCB＝30°，

∴∠AOB＝30°+30°＝60°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB＝OB，

∵∠BAE＝∠AEB＝45°，

∴AB＝BE，

∴OB＝BE，

∴∠OEB＝∠EOB，

∵∠OBE＝30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO＝180°，

∴∠OEB＝75°，

∵∠AEB＝45°，

∴∠2＝∠OEB﹣∠AEB＝30°，

10．C

解：∵二次函数的图象交轴于两点，

∴，即：，故①正确；

∵对称轴为直线，

∴，即：，

∴，故②正确；

∵，b＝−2a，

∴，

又∵a＜0，

∴c-a＞0，

∴＞0，

故③正确；

∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于4，

∴不等式的取值范围是：0＜x＜D点的横坐标，故④错误；

故正确的结论有3个．

故选C．

11．2(x-2)2

：2x2-8x+8=.

故答案为2(x-2)2.

12．

由题意可知此方程的根的判别式，即．

解得．

故答案为：．

13．

解：∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠A=∠D，，

∴sin∠A=sin∠D=，

BC，

14．15.3．

解：如图，在Rt△ACD中，AD=CD•tan54°≈10×1.3764=13.764米，AC≈1.5+13.764≈15.3米．

15．6.

圆锥的底面周长cm，

设圆锥的母线长为，则： ，

解得，

故答案为．

16．

∵点在反比例函数的图象上，

∴，反比例函数解析式为：，

∵直线OD经过原点，

∴设直线OD的解析式为，

将代入得：，

∴直线OD的解析式为：，

由题意得：BC∥x轴，

∴B，C的纵坐标相等，

设，则C的纵坐标为，

代入反比例函数解析式得，C的横坐标为，

∴，

∴，

∵的面积是，

∴，即：，

解得：，

∵B点在第二象限，

∴，

经检验，是上述分式方程的解，

∴将代入B点坐标得，

故答案为：．

17．①②③④

解: ①在正方形中，

折叠，

故①正确；

②过点作，交于点，连接，

由折叠得，

故②正确；

③连接过点作垂足为，

由折叠可知

故③正确；

④由折叠得，

设

周长与的和为定值，

故④正确，故正确的有①②③④，

故答案为：①②③④.

18．3

原式=2－++2－1=3.

考点：实数的计算.

19．，

，

∵，，
∴，
当时，原式．

20．

解：（1）本次调查的学生总人数为：36÷20%＝180（人），

在线听课的人数为：180−48−36−24＝72（人），

补图如下：

（2）根据题意得：3000×＝800（人），

答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人．

21．

（1）设A型有x辆，则B型有（260-x）辆，

则：，

解得：，

∴B型车数量：，

∴改装的A型车有60辆，B型车有200辆；

（2）设明年要改装的A型车有y辆，则要改装的B型车有（500-y）辆，

根据题意，A型车的改装费为：（万元），

B型车的改装费为：（万元），

设明年总的改装费用为w，则，

∵要使型无人驾驶出租车的数量不多于型无人驾驶出租车数量的2倍，

∴，即：，

∵y为正整数，

∴，

由一次函数性质可知，函数，w随y的增大而增大，

∴当时，w最小，此时，，

∴B型车数量：，

∴当A型167辆，B型333辆时，费用最少，最少费用为14672万元．

22．

解：（1）∵点在上，

∴，，

∵在上，

∴，

∴反比例函数的解析式为：；

（2）∵交轴于点，

∴令，解得：，即：，

∵与交于点，

∴令，解得：或，

∴，

∵，

，

，

∴；

（3）①当时，由A点坐标，可知,

∴或，

②当时，，

③当时，即：P为OA的中垂线与x轴的交点，

∵，OA的中点坐标为，

∴可设OA的中垂线解析式为：，

将代入，可得：，

∴中垂线的解析式为：，

令，解得：，

∴，

综上，的坐标为或或或．

23．

解：（1）如图1中，

∵等边△ABC的边长为8，

∴等边△ABC的面积=，

∵PB=3AP，

∴△BPC的面积为；

故答案为：12；

（2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O，

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，

∴△PEB是等边三角形，

∵PB=5，且B，B′关于PE对称，

∴BB′⊥PE，BB′=2OB，

∴∠PBO=30°，

∴OP=PB=，OB=，

∴BB′=5；

②如图3中，过点P作PH垂直于AC，

由题意可得：B'在以P为圆心半径长为6的圆上运动，

当HP的延长线交圆P于点B′时面积最大，

在Rt△APH中，∵AB=8，PB=6，

∵PA=2，

∵∠PAH=60°，

∴AH=1，PH=，

∴BH=6+，

∴S△ACB′的最大值=×8×（6+）=4+24．

24．

（1）PN 与⊙O 相切．要证明ONPN即可，连接ON，PM＝PN，所以∠PNM＝∠PMN，∠AMO＝∠PMN，AB⊥CD,所以∠PMN+∠MAO=90°，又因∠MAO=∠MNO,所以∠PNM+∠MNO=90°，所以PN 与⊙O 相切．（2）成立，进行等量代换，∠MAO+∠OMA=90°，因∠OMA=∠PNM，∠MAO=∠ONA,所以∠PNM+∠ONA=90°，所以∠ONP=90°；（3）阴影部分的面积可通过SAOC+S扇形AOC-SAON求得.

 (1)PN 与⊙O 相切．证明：连接ON，则∠ONA＝∠OAN．

∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN．又∵∠AMO＝∠PMN，

∴∠PNM＝∠AMO．

∴∠PNO＝∠PNM＋∠ONA＝∠AMO＋∠OAN＝90°，即PN 与⊙O 相切．

(2)成立．理由如下：连接ON，则∠ONA＝∠OAN．

∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN．

在Rt△AOM中,∠OMA＋∠OAM＝90°．∴∠PNM＋∠ONA＝90°,

∴∠PNO＝180°－90°＝90°．即PN 与⊙O 相切．

(3)连接ON，由(2)可知∠ONP＝90°．

∵∠AMO＝15°，PM＝PN，∴∠PNM＝15°，∠OPN＝30°，

∴∠PON＝60°,∠AON＝30°．

过点N 作NE⊥OD，垂足为点E．则OE＝．∴NE＝．

∴S阴影＝S△AOC＋S扇形AON－S△CON＝OC·OA＋－CO·NE

＝＋－

∴图中阴影部分的面积为＋－

25．

（1）∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2）两点，

∴，解得

∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2．

（2）由题意可知，OQ＝OP＝t，AP＝2＋t．

①当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ＝2－t．

∵BQ＝AP，∴2﹣t＝（2＋t），∴t＝1．

②当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ＝t﹣2．

∵BQ＝AP，∴t﹣2＝（2+t），∴t＝4．

∴当BQ＝AP时，t＝1或t＝4．

（3）存在．

作MC⊥x轴于点C，连接OM．

设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标为－m2－m＋2．

当△MPQ为等边三角形时，MQ＝MP，

又∵OP＝OQ，

∴点M点必在PQ的垂直平分线上，

∴∠POM＝∠POQ＝45°，

∴△MCO为等腰直角三角形，CM＝CO，

∴m＝－m2－m＋2，

解得m1＝1，m2＝﹣3．

∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．

①如图，

当M的坐标为（1，1）时，

则有PC＝1﹣t，MP2＝1＋（1﹣t）2＝t2﹣2t＋2，

PQ2＝2t2，

∵△MPQ为等边三角形，

∴MP＝PQ，

∴t2﹣2t＋2＝2t2，

解得t1＝，t2＝（负值舍去）．

②如图，

当M的坐标为（﹣3，﹣3）时，

则有PC＝3＋t，MC＝3，

∴MP2＝32＋（3＋t）2＝t2＋6t＋18，PQ2＝2t2，

∵△MPQ为等边三角形，

∴MP＝PQ，

∴t2＋6t＋18＝2t2，

解得t1＝，t2＝（负值舍去）．

∴当t＝时，抛物线上存在点M（1，1），或当t＝时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形．