2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）期末数学试卷

2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

2．（3分）下列代数式中，分式有　　个．

，，，，，，，

A．5 B．4 C．3 D．2

3．（3分）与是同类二次根式的是　　

A． B． C． D．

4．（3分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是　　

A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13

5．（3分）下列运算正确的是　　

A． B． C． D．

6．（3分）如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点，若的周长是11，则　　

A．28 B．18 C．10 D．7

7．（3分）矩形的面积为18，一边长为，则另一边长为　　

A． B． C． D．24

8．（3分）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为　　

A． B． C．2 D．

9．（3分）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为　　

A． B． 

C． D．

10．（3分）已知、、是三边的长，则的值为　　

A． B． C． D．一

11．（3分）若关于的分式方程无解，则的值是　　

A．或 B． C． D．或

12．（3分）设，是实数，定义关于“”的一种运算如下．则下列结论：

①，则或；

②不存在实数，，满足；

③；

④，则

其中正确的是　　

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）在实数范围内，使得有意义的的取值范围为　　．

14．（3分）今年我国发生的猪瘟疫情是由一种病毒引起的，这种病的直径为0.000000085米．数据0.000000085用科学记数法表示为　　米．

15．（3分）如图，在中，已知于点，，，则的度数为　　．

16．（3分）若分式的值为0，则的值为　　．

17．（3分）计算：　　．

18．（3分）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为，，第个正方形和第个直角三角形的面积之和为．设第一个正方形的边长为1．

请解答下列问题：

（1）　　；

（2）通过探究，用含的代数式表示，则　　．

三、解答题（本大题共8个小题，共66分）

19．（8分）因式分解

（1）

（2）

20．（8分）计算

（1）

（2）

21．（12分）化简求值

（1）求的值，其中，

（2）求的值，其中．

22．（6分）如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，求弯折点与地面的距离．

23．（6分）如图，是等边三角形，，，，求证：是等边三角形．

24．（8分）如图，在中，，于点，平分交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

25．（8分）今年，长沙开始推广垃圾分类，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具．某学校开学初购进型和型两种分类垃圾桶，购买型垃圾桶花费了2500元，购买型垃圾桶花费了2000元，且购买型垃圾桶数量是购买型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个型垃圾桶比购买一个型垃圾桶多花30元．

（1）求购买一个型垃圾桶、型垃圾桶各需多少元？

（2）由于实际需要，学校决定再次购买分类垃圾桶，已知此次购进型和型两种分类垃圾桶的数量一共为50个，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整，型垃圾桶售价比第一次购买时提高了，型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，如果此次购买型和型这两种垃圾桶的总费用不超过3240元，那么此次最多可购买多少个型垃圾桶？

26．（10分）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．

例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是奇异三角形．

（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是　　命题（填“真”或“假” ；

（2）在中，，，，，且，若是奇异三角形，求；

（3）如图，以为斜边分别在的两侧做直角三角形，且，若四边形内存在点，使得，．

①求证：是奇异三角形；

②当是直角三角形时，求的度数．

2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）以下是几种垃圾分类的图标，其中是轴对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、不是轴对称图形；

、是轴对称图形；

、不是轴对称图形；

、不是轴对称图形；

故选：．

2．（3分）下列代数式中，分式有　　个．

，，，，，，，

A．5 B．4 C．3 D．2

【解答】解：分式有：，，，，共4个，

故选：．

3．（3分）与是同类二次根式的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：的被开方数是2．

、原式，其被开方数是3，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意．

、该二次根式的被开方数是6，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意．

、原式，其被开方数是3，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意．

、原式，其被开方数是2，与的被开方数相同，它们是同类二次根式，故本选项符合题意．

故选：．

4．（3分）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是　　

A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、8、10 D．5、12、13

【解答】解：、，不符合勾股定理的逆定理，故正确；

、，符合勾股定理的逆定理，故错误；

、，符合勾股定理的逆定理，故错误；

、，符合勾股定理的逆定理，故错误．

故选：．

5．（3分）下列运算正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：．，故本选项不合题意；

．，故本选项不合题意；

．，正确，故选项符合题意；

．，故本选项不合题意．

故选：．

6．（3分）如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点，若的周长是11，则　　

A．28 B．18 C．10 D．7

【解答】解：是的中垂线，

，

则，

又的周长为11，

故，

故选：．

7．（3分）矩形的面积为18，一边长为，则另一边长为　　

A． B． C． D．24

【解答】解：矩形的面积为18，一边长为，

另一边长为，

故选：．

8．（3分）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为　　

A． B． C．2 D．

【解答】解：由勾股定理，得

，

，

点的坐标是，

故选：．

9．（3分）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为，即平行四边形的高为，

两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积，乙的面积．

即：．

所以验证成立的公式为：．

故选：．

10．（3分）已知、、是三边的长，则的值为　　

A． B． C． D．一

【解答】解：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

，

．

故选：．

11．（3分）若关于的分式方程无解，则的值是　　

A．或 B． C． D．或

【解答】解：去分母得：，

由分式方程无解，得到或，

把代入整式方程得：；

把代入整式方程得：．

故选：．

12．（3分）设，是实数，定义关于“”的一种运算如下．则下列结论：

①，则或；

②不存在实数，，满足；

③；

④，则

其中正确的是　　

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④

【解答】解：①，

，

，

，

或，故①正确；

②，又，

，

，

时，满足条件，

存在实数，，满足；故②错误，

③，

又

；故③正确．

④，

，

，

；故④正确．

故选：．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

13．（3分）在实数范围内，使得有意义的的取值范围为　　．

【解答】解：在实数范围内，使得有意义

则，

解得：．

故答案为：．

14．（3分）今年我国发生的猪瘟疫情是由一种病毒引起的，这种病的直径为0.000000085米．数据0.000000085用科学记数法表示为　　米．

【解答】解：根据科学记数法的表示方法，．

故答案为：

15．（3分）如图，在中，已知于点，，，则的度数为　　．

【解答】解：于点，，

，

，

，

，

，

故答案为：．

16．（3分）若分式的值为0，则的值为　2　．

【解答】解：分式的值为0，

且，

解得：，

故答案为：2．

17．（3分）计算：　4　．

【解答】解：原式

．

故答案为：4

18．（3分）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为，，第个正方形和第个直角三角形的面积之和为．设第一个正方形的边长为1．

请解答下列问题：

（1）　　；

（2）通过探究，用含的代数式表示，则　　．

【解答】解：（1）第一个正方形的边长为1，

正方形的面积为1，

又直角三角形一个角为，

三角形的一条直角边为，另一条直角边就是，

三角形的面积为，

；

（2）第二个正方形的边长为，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的，

同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，

，依此类推，，即，

为整数）．

三、解答题（本大题共8个小题，共66分）

19．（8分）因式分解

（1）

（2）

【解答】解：（1）原式；

（2）原式．

20．（8分）计算

（1）

（2）

【解答】解：（1）原式

；

（2）原式

．

21．（12分）化简求值

（1）求的值，其中，

（2）求的值，其中．

【解答】解：（1）原式，

当，时，原式；

（2）原式，

当时，原式．

22．（6分）如图，车高，货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，求弯折点与地面的距离．

【解答】解：由题意得，，，

设，则，

在△中，，

即：，

解得：，

答：弯折点与地面的距离为米．

23．（6分）如图，是等边三角形，，，，求证：是等边三角形．

【解答】证明：是等边三角形，

，，

，，，

，

，

，

，

是等边三角形．

24．（8分）如图，在中，，于点，平分交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

【解答】解：（1），，

，

，

平分，

，

，

即；

（2），，

，

又，，

，

又，

，，

中，，

中，，

．

25．（8分）今年，长沙开始推广垃圾分类，分类垃圾桶成为我们生活中的必备工具．某学校开学初购进型和型两种分类垃圾桶，购买型垃圾桶花费了2500元，购买型垃圾桶花费了2000元，且购买型垃圾桶数量是购买型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个型垃圾桶比购买一个型垃圾桶多花30元．

（1）求购买一个型垃圾桶、型垃圾桶各需多少元？

（2）由于实际需要，学校决定再次购买分类垃圾桶，已知此次购进型和型两种分类垃圾桶的数量一共为50个，恰逢市场对这两种垃圾桶的售价进行调整，型垃圾桶售价比第一次购买时提高了，型垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，如果此次购买型和型这两种垃圾桶的总费用不超过3240元，那么此次最多可购买多少个型垃圾桶？

【解答】解：（1）设一个型垃圾桶需元，则一个型垃圾桶需元，由题意得：

解得：

经检验是原方程的解，

答：一个型垃圾桶需50元，则一个型垃圾桶需80元．

（2）设此次可购买个型垃圾桶，则购进型垃圾桶个，由题意得

解得

是整数，

最大等于30，

答：该学校此次最多可购买30个型垃圾桶．

26．（10分）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．

例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是奇异三角形．

（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是　真　命题（填“真”或“假” ；

（2）在中，，，，，且，若是奇异三角形，求；

（3）如图，以为斜边分别在的两侧做直角三角形，且，若四边形内存在点，使得，．

①求证：是奇异三角形；

②当是直角三角形时，求的度数．

【解答】（1）解：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题，理由如下：

设等边三角形的边长为，

则，符合“奇异三角形”的定义，

“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题；

故答案为：真；

（2）解：，

①，

是奇异三角形，且，

②，

由①②得：，，

；

（3）①证明：，

，，

，

，

，，

，

是奇异三角形；

②解：由①得：是奇异三角形，

，

当是直角三角形时，

由（2）得：，或，

当时，

，即，

，

，

，，

，

；

当时，

，即，

，

，

，，

；

综上所述，的度数为或．

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日期：2021/12/2 14:30:08；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124