知识讲解_函数模型的应用举例_提高练习题

函数模型的应用实例

【学习目标】

1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.

2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.

3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.

【要点梳理】

【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】

要点一：解答应用问题的基本思想和步骤

1.解应用题的基本思想

2.解答函数应用题的基本步骤

求解函数应用题时一般按以下几步进行：

第一步：审题

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.

第二步：建模

在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.

第三步：求模

运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.

第四步：还原

把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.

上述四步可概括为以下流程：

实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答).

要点二：解答函数应用题应注意的问题

首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.

其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.

其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.

【典型例题】

类型一、已建立函数模型的应用题

例1. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

，其中x是仪器的月产量。

（1）将利润表示为月产量的函数f (x)。

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）

【思路点拨】这里已有函数模型，只需对分段讨论，写出利润的表达式即可

【答案】（1）；

(2) 每月生产300台仪器时，利润最大。最大利润为25000元。

【解析】（1）设每月产量为x台，则总成本为20000+100x，

从而。

（2）当0≤x≤400时，

，

∴当x=300时，有最大值25000；

当x＞400时，f (x)=60000－100x是减函数，

f (x)＜60000－100×400＜25000。

∴当x=300时，f (x)的最大值为25000。

∴每月生产300台仪器时，利润最大。

最大利润为25000元。

【总结升华】 由题目可获取以下主要信息：①总成本=固定成本+100x；②收益函数为一分段函数。解答本题可由已知总收益=总成本+利润，利润=总收益－总成本。由于R (x)为分段函数，所以f (x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题。分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者。分段函数应用题是高考命题的热点。

举一反三：

【变式1】 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa，1000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。

【答案】0.943×105.

【解析】 这里已有函数模型，要求待定系数c、k，由x=0时y=1.01×105 Pa和x=1000 m时y=0.90×105 Pa可求。

将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=cekx中，得

，∴。

将c=1.01×105代入0.90×105=ce1000k中得0.90×105=1.01×105e1000k，

∴。

由计算器算得k=－1.15×10－4，

∴。

将x=600代入上述函数关系式得，

由计算器算得y=0.943×105 Pa。

答：600 m高空的大气压强约为0.943×105 Pa。

【总结升华】 函数y=c·akx（a、c、k为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数即可。

类型二、自建函数模型的应用问题

例2.某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8 m，最大装水量为72 ，池底和池壁的造价分别为2a元、a元，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？

【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值。

【答案】另一边和长方体高都设计为3m时，总造价最低，最低造价为114a元

【解析】设池底一边长为x，水池的高为y，总造价为z，

由最大装水量知8xy=72，

当且仅当即时，总造价最低，

答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为3m时，总造价最低，最低造价为114a元．

【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数在（0，+∞）上的单调性求最值，请同学们自己试解．

举一反三：

【变式1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。

（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f (x)的表达式；

（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个时，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）

【答案】（1）当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元。

（2）

（3）当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000。

【解析】（1）设零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则

。

因此，当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元。

（2）当0＜x≤100时，P=60。

当100＜x＜550时，。

当x≥550时，P=51。

∴

（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则

当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000。

因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个时，利润是11000元。

【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例3】

例3．在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为，每个工作台上有若干名工人．现要在与之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．

（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；

（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．

【答案】（1）；（2）

【解析】设供应站位置坐标为，则各工人到零件供应站距离之和为。

（1）

故当且仅当时，，此时。

答：当供应站修建在时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为．

（2）

      =

由于函数单调递减

所以时，

又当时，

故当时，均有

答：当供应站修建在时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为。

【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例4】

例4．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．

（Ⅰ）当时，求函数的表达式；

（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）

【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度与车流速度v之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）100  3333

【解析】

（Ⅰ）由题意：当；当

 再由已知得

 故函数的表达式为

   （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得

 当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；

 当，

 所以，当时，在区间[20，200]上取得最大值

 综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值．

 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

举一反三：

【变式1】（2016 黄浦区模拟）有一块铁皮零件，其形状是由边长为40 cm的正方形截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE，其中AF=12 cm，BF=10 cm，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN，使得矩形相邻两边分别落在CD，DE上，另一顶点P落在边CB或BA边上．设DM=x cm，矩形DMPN的面积为y ．

（1）试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于x的函数解析式，并写出定义域．

（2）试问如何截取（即x取何值时），可使得到的矩形DMPN的面积最大？

【答案】（1），定义域D=（0，40]；（2）当时，y的最大值为

【解析】（1）依据题意并结合图形，可知：10当点P在线段CB上，即0＜x≤30时，y=40x；20当点P在线段BA上，即30＜x≤40时，由，得．

于是，．

所以，，定义域D=（0，40]．

（2）由（1）知，当0＜x≤30时，0＜y≤1200；

当30＜x≤40时，，

当且仅当时，等号成立．

因此，y的最大值为．

答：先在DE上截取线段，然后过点M作DE垂线交BA于点P，再过点P作DE的平行线交DC于点N，最后沿MP与PN截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为．

类型三、拟合函数模型的应用问题

这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）。为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法。

例5.某县2006～2011年财政收入情况：

(1)请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；

(2)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别预测2012年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性．

【解析】(1)利用描点法，过A(1，2.59)，B(2，3.05)，C(3，3.80)，D(4，4.89)，E(5，6.68)，F(6，8.50)画一条光滑的曲线，如图所示，其中年份第一年为2006年，第二年为2007年，其它依次类推．

通过直观判断函数图象，它可以和前面已学过的两种函数模型进行比较：

模型一：设(a＞0，a≠1)，

将A、B、C三点的坐标代入，得

∴.

计算得≈4.57，≈5.73，≈7.30，它们与实际的误差分别为0.32，0.95，1.20．

模型二：设(a≠0，x≥1)，

将A、B、C三点的坐标代入，得

∴．

计算得≈4.84，≈6.17，≈7.79，它们与实际的误差分别为0.05，0.51，0.71．

对两个函数模型进行对比，发现与实际的误差较小，所以用函数模型(x≥1)较好．

（2）设年财政收入平均增长率为a，由2006年和2011年财政收入，则有

2.59(1+a)5=8.5，解得a≈26.83%．

从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型：．

用和分别预测2012年的财政收入是：

=9.7(亿)，=10.78(亿)．

从该县经济发展趋势看，两种预测都有可能，但是选择模型比较稳妥．

【总结升华】在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．

举一反三：

【变式1】某汽车公司曾在2009年初公告：2009年销量目标定为39.3万辆；且该公司重事长极力表示有信心完成这个销量目标。

2006年，某汽车年销量8万辆；

2007年，某汽车年销量18万辆；

2008年，某汽车年销量30万辆。

如果我们分别将2006，2007，2008，2009年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），指数函数型g (x)=a·bx+c（a≠0，b≠1，b＞0），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？

 【答案】f (x)=x2+7x

【解析】建立年销量y（万辆）与第x年的函数，可知函数图象必过点（1，8），（2，18），（3，30）。

（1）构造二次函数型f (x)=ax2+bx+c（a≠0），

将点的坐标代入，可得，解得。

则f (x)=x2+7x，故f (4)=44，与计划误差为4.7。

（2）构造指函数型g (x)=a·bx+c，将点的坐标代入，

可得，解得，则，

故，与计划误差为5.1。

由上可得f (x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年销量y（万辆）与第x年的关系。

【总结升华】某个函数模型能否更好地反映变量间的关系，必须与实际数据的误差相对较小。