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知识讲解_《集合》全章复习与巩固
展开《集合》全章复习巩固
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
2.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
4.能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一:集合的基本概念
1.集合的概念
一般地,我们把研究对象统称为元素,如1~10内的所有质数,包括2,3,5,7,则3是我们所要研究的对象,它是其中的一个元素,把一些元素组成的总体叫做集合,如上述2,3,5,7就组成了一个集合。
2.元素与集合的关系
(1)属于: 如果是集合A的元素,就说属于A,记作∈A。要注意“∈”的方向,不能把∈A颠倒过来写.
(2)不属于:如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作。
3.集合中元素的特征
(1)确定性:集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素;
(2)互异性:集合中的任意两个元素都是不同的,也就是同一个元素在集合中不能重复出现。
(3)无序性:集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{1,2,3}与{3,1,2}是同一个集合。
4.集合的分类
集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类:
有限集:含有有限个元素的集合。
无限集:含有无限个元素的集合。
要点诠释:
把不含有任何元素的集合叫做空集,记作,空集归入有限集。
要点二:集合间的关系
1.(1)子集:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作AB,对于任何集合A规定。
(2) 如果A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记做.
两个集合A与B之间的关系如下:
其中记号(或)表示集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)。
2.子集具有以下性质:
(1)AA,即任何一个集合都是它本身的子集。
(2)如果,,那么A=B。
(3)如果,,那么。
(4)如果,,那么。
3.包含的定义也可以表述成:如果由任一x∈A,可以推出x∈B,那么(或)。
不包含的定义也可以表述成:两个集合A与B,如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素,那么(或)。
4.有限集合的子集个数:
(1)n个元素的集合有2n个子集。
(2)n个元素的集合有2n-1个真子集。
(3)n个元素的集合有2n-1个非空子集。
(4)n个元素的集合有2n-2个非空真子集。
要点诠释:
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.换言之,任何集合至少有一个子集.
要点三:集合的基本运算
1.用定义求两个集合的交集与并集时,要注意“或”“且”的意义,“或”是两个皆可的意思,“且”是两者都有的意思,在使用时不要混淆。
2.用维恩图表示交集与并集。
已知集合A与B,用阴影部分表示A∩B,A∪B,如下图所示。
3.关于交集、并集的有关性质及结论归结如下:
(1)A∩A=A,A∩=,A∩B=(B∩A)A(或B);
A∪A=A,A∪=A,A∪B=(B∪A)A(或B)。
(2);。
(3)德摩根定律:;。;
(4);。
4.全集与补集
(1)它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合,则称之为全集。而补集则是在时,由所有不属于A但属于U的元素组成的集合,记作。数学表达式:若,则U中子集A的补集为。
(2)补集与全集的性质
①
②,。
③,。
5.空集的性质
空集的特殊属性,即空集虽空,但空有所用。对任意集合A,有,;;;。
【典型例题】
类型一:集合的含义与表示
例1.选择恰当的方法表示下列集合。
(1)“mathematics”中字母构成的集合;
(2)不等式的解集;
(3)函数的自变量的取值范围。
【思路点拨】集合的表示有两种形式,我们必须了解每种方法的特点,选择最佳的表达形式。
【解析】(1);
(2)或
(3)或
【总结升华】正确选择、运用列举法或描述法表示集合,关键是确定集合中的元素。然后根据元素的数量和特性来选用恰当的表示形式。
举一反三:
【变式1】将集合表示成列举法,正确的是( )
A.{2,3} B.{(2,3)} C.{x=2,y=3} D.(2,3)
【答案】B
【变式2】已知集合 ∣为实数,且,为实数,且,则的元素个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
例2.若含有三个元素的集合可表示为,也可以表示为,求的值。
【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。
【答案】
【解析】
由,可得且,
则有或解得或(舍去)
故
【总结升华】利用集合中元素特性来解题,既要用元素的确定性,又要利用互异性检验解的正确与否,初学者在解题时容易忽视元素的互异性。必须在学习中高度重视。另外,本类问题往往涉及分类讨论的数学思想。
举一反三:
【变式1】(2015秋 安徽省无为县期末)已知集合A={a―2,12,2a2+5a},且―3∈A,求a的值.
【答案】
【解析】∵-3∈A,
∴a―2=―3,或2a2+5a=―3,
得:a=―1,或,
检验知:a=―1不满足集合元素的互异性,
∴.
例3.已知集合
(1)若A是空集,求的取值范围。
(2)若A中只有一个元素,求的值。
(3)若A中至多只有一个元素,求的取值范围。
【答案】(1) (2)0, (3)或者m=0
【解析】
(1)当时,,A不为空集,则不满足题意。
当m≠0时,若A为空集,则一元二次方程实数范围内无解,
即,。
综上若A为空集,则。
(2)由集合中只含有一个元素可得,方程有一解,由于本方程并没有注明是一个二次方程,故也可以是一次方程,应分类讨论:
当时,可得是一次方程,故满足题意.
当m≠0时,则为一元二次方程,所以有一根的含义是该方程有两个相等的实根,即判别式为0时的值,可求得为.故的取值为0,.
(3)∵A中元素至多只有一个 ,∴有以下两种情况存在:
集合A是空集;集合A是只有一个元素.
综合(1)(2)知,若A中元素至多只有一个, 或者m=0.
【总结升华】 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集,所以本题实际上是讨论方程mx2-2x+3=0解的个数问题。
类型二:集合的基本关系
例4.设集合A={x|1≤x≤3},B={x|x-a≥0},若AB,则a的取值范围是________。
【思路点拨】 此题考查判断两个集合的包含关系。由于题中所给集合为含不等式的描述法形式,可以借助数轴进行直观的分析。
【解析】AB={x|x≥a},利用数轴作图如下:
由此可知:a≤1。
【总结升华】 要确定一个集合的方法之一是:明确集合中元素的范围及其满足的性质,借助Venn图来分析,直观性强。集合是由元素构成的,要确定一个集合的方法之二是:把集合中的元素一一找出来,用列举法表示。要确定一个集合的方法之三是:明确集合中元素的范围及其满足的性质。用特征性质描述法表示的集合,可借助数轴来分析,直观性强。
举一反三:
【变式1】 已知集合A={x|x≥1或x<-1},B={x|2a<x<a+1},若BA,求a的取值范围。
【解析】
(1)当B是空集,需要2a≥a+1,得到a≥1
(2)当B不是空集且B的上限小于等于-1,即a<1且a+1≤-1,得到a≤-2
(3)当B不是空集且B的下限大于等于1,即a<1且2a≥1,得到1/2≤a<1
综上,a≤-2或a≥1/2
【变式2】若集合B={1,2,3,4,5},C={小于10的正奇数},且集合A满足AB,AC,则集合A的个数是________。
【思路点拨】 由题设,C={1,3,5,7,9}。因为AB,AC,可用Venn图发现集合B与C的公共元素为1,3,5,则集合A可能含有1,3,5三个数中的0个,1个,2个,或3个。故集合A的个数即为{1,3,5}的子集的个数。
【解析】由已知作Venn图
{1,3,5}的子集中含0个元素的有1个:;
{1,3,5}的子集中含1个元素的有3个:{1},{3},{5};
{1,3,5}的子集中含2个元素的有3个:{1,3},{1,5},{3,5};
{1,3,5}的子集中含3个元素的有1个:{1,3,5}。
由上述分析知集合A的个数为{1,3,5}的子集的个数:1+3+3+1=8个。
例5.设集合,若,求实数的范围。
【答案】或
【解析】
,或
当时,即,则是方程的两根,代入解得
当时,分两种情况:
(1)若,则,解得。
(2)若,则方程有两个相等的实数根。
,解得,此时,满足条件。
综上可知,所求实数的范围为或。
【总结升华】要解决此题,应明确的具体含义:一是,二是。而时还应考虑能否是的情况,因此解题过程中必须分类讨论,另外还要熟练掌握一元二次方程根的讨论问题。
举一反三:
【变式】已知集合.
(1)若,求 ;(2)若,求实数的取值所组成的集合.
【答案】详见解析
【解析】(1)由题意,
当时,
(2)由题意,
∴ 当时,
当时,
类型三:集合的基本运算
例6.已知全集U=R,集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的韦恩(Venn)图如下图所示,则阴影部分所示的集合的元素区有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.无穷多个
【答案】B
【解析】 ∵阴影部分为M∩N={x|-2≤x-1≤2}∩{x|x=2k―1,k=1,2,…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k-1,k=1,2,…}={1,3},∴阴影部分所示的集合的元素区有2个,故选B项.
【总结升华】具体集合(给出或可以求得元素的集合)的交、并、补运算,以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象,因而也是高考命题的热点.
举一反三:
【变式1】已知全集U=R,则正确表示集合M={—1,0,1}和N={x关系的韦恩图是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【高清课堂:集合与函数性质综合377492例4】
【变式2】设全集为,,,
求及.
【答案】=;=.
例7.若集合A={x|x2―ax+a2―19=0},B={2,3},C={2,―4},满足A∩B,且A∩C=,则实数a的值是________。
【思路点拨】 由题设,A∩B且A∩C=知,2,3与集合A的关系,再进行解答。
【解析】 由已知:3∈A,2A,则32―3a+a2―19=0,即a=5或a=―2。
当a=5时,A={2,3},与题意矛盾;
当a=―2时,A={―5,3},符合题意。
由上述分析知a=―2。
【总结升华】 集合是由元素构成的,要确定一个集合首先明确集合中元素的范围及其满足的性质,再把集合中的元素一一找出来。
例8.(2016春 江西省抚州期末)已知集合A={x|x2―2x―8≤0},B={x|x2―(2m―3)x+m(m―3)≤0,m∈R}.
(1)若A∩B=[2,4],求实数m的值;
(2)设全集为R,若,求实数m的取值范围.
【思路点拨】(1)根据所给的两个集合的不等式,写出两个集合对应的最简形式,根据两个集合的交集,看出两个集合的端点之间的关系,求出结果.
(2)设全集为R,若,求实数m的取值范围.
【答案】
【解析】(1)由已知得A={x|x2―2x―8≤0,x∈R}=[―2,4],
B={x|x2―(2m―3)x+m2―3m≤0,x∈R,m∈R}=[m-3,m].
∵A∩B=[2,4],∴,∴m=5.
(2)∵B=[m-3,m],∴.
∵,
∴m-3>4或m<-2.
∴m>7或m<-2.
∴m∈(-∞,-2)∪(7,+∞)
【总结升华】本题考查集合之间的关系与参数的取值,本题解题的关键是利用集合之间的关系,得到不等式之间的关系.
举一反三:
【变式1】 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|k+1≤x≤2k-1},若A∩B=,求实数k的取值范围。
【解析】
A∩B=,
当时,2k-1<k+1,即k<2.
当时,k+1>5或2k-1<-2 ,即k>4。
综上知。
例9.已知集合.
(Ⅰ)求;;
(Ⅱ)若,求a的取值范围.
【思路点拨】(1)画数轴;(2)注意是否包含端点.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)∵
∴ 如图,;
或
∴ 或
(Ⅱ)画数轴同理可得:.
【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算,但其本质是一个定区间,和一个动区间的问题.思路是,使动区间沿定区间滑动,数形结合解决问题.
举一反三:
【变式1】 已知集合A={x|-2≤x<7},,若A∪B=R,求实数k的取值范围。
【解析】在数轴上画出集合A
要使A∪B=R,即且
解得。
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