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    知识讲解_《集合》全章复习与巩固

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    这是一份知识讲解_《集合》全章复习与巩固,共10页。

    《集合》全章复习巩固

    【学习目标】

    1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;

    2.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集

    3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集

    4.能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.

    【知识网络】

    【要点梳理】

    要点一:集合的基本概念

    1.集合的概念

    一般地,我们把研究对象统称为元素,如110内的所有质数,包括2357,则3是我们所要研究的对象,它是其中的一个元素,把一些元素组成的总体叫做集合,如上述2357就组成了一个集合。

    2元素与集合的关系

    1属于: 如果是集合A的元素,就说属于A,记作∈A要注意“∈”的方向,不能把∈A颠倒过来写.

    2不属于:如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作

    3.集合中元素的特征

    1)确定性:集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素;

    2)互异性:集合中的任意两个元素都是不同的,也就是同一个元素在集合中不能重复出现。

    3)无序性:集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{123}{312}是同一个集合。

    4.集合的分类

    集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类:

    有限集:含有有限个元素的集合。

    无限集:含有无限个元素的集合。

    要点诠释:

    把不含有任何元素的集合叫做空集,记作,空集归入有限集。

    要点二:集合间的关系

    1(1)子集:对于两个集合AB,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作AB,对于任何集合A规定

    (2) 如果A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记做.

    两个集合AB之间的关系如下:

    其中记号(或)表示集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)。

    2.子集具有以下性质:

    1AA,即任何一个集合都是它本身的子集。

    2)如果,那么A=B

    3)如果,那么

    4)如果,那么

    3.包含的定义也可以表述成:如果由任一xA,可以推出xB,那么(或)。

    不包含的定义也可以表述成:两个集合AB,如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素,那么(或)。

    4.有限集合的子集个数:

    1n个元素的集合有2n个子集。

    2n个元素的集合有2n1个真子集。

    3n个元素的集合有2n1个非空子集。

    4n个元素的集合有2n2个非空真子集。

    要点诠释:

    空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.换言之,任何集合至少有一个子集.

    要点三:集合的基本运算

    1.用定义求两个集合的交集与并集时,要注意”“的意义,是两个皆可的意思,是两者都有的意思,在使用时不要混淆。

    2.用维恩图表示交集与并集。

    已知集合AB,用阴影部分表示ABAB,如下图所示。

           

    3.关于交集、并集的有关性质及结论归结如下:

    1AA=AA=AB=(BA)A(或B);

    AA=AA=AAB=(BA)A(或B)。

    2

    3)德摩根定律:。;

    4

    4.全集与补集

    1)它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合,则称之为全集。而补集则是在时,由所有不属于A但属于U的元素组成的集合,记作。数学表达式:若,则U中子集A的补集为

    2)补集与全集的性质

    5.空集的性质

    空集的特殊属性,即空集虽空,但空有所用。对任意集合A,有

    【典型例题】

    类型一:集合的含义与表示

    例1.选择恰当的方法表示下列集合。

    (1)mathematics中字母构成的集合;

    (2)不等式的解集;

    (3)函数的自变量的取值范围。

    【思路点拨】集合的表示有两种形式,我们必须了解每种方法的特点,选择最佳的表达形式。

    【解析】(1)

    (2)

    (3)

    【总结升华】正确选择、运用列举法或描述法表示集合,关键是确定集合中的元素。然后根据元素的数量和特性来选用恰当的表示形式。

    举一反三:

    【变式1】将集合表示成列举法,正确的是(  

    A.{23}     B.{23}     C.{x=2y=3}     D.(23

    【答案】B

    【变式2】已知集合 为实数,且为实数,且,则的元素个数为                 

    A.0    B.1    C.2     D.3

    【答案】

    例2.若含有三个元素的集合可表示为,也可以表示为,求的值。

    【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。

    【答案】

    【解析】

    ,可得

    则有解得(舍去)

    【总结升华】利用集合中元素特性来解题,既要用元素的确定性,又要利用互异性检验解的正确与否,初学者在解题时容易忽视元素的互异性。必须在学习中高度重视。另外,本类问题往往涉及分类讨论的数学思想。

    举一反三:

    【变式12015秋 安徽省无为县期末)已知集合A={a2122a2+5a},且3A,求a的值.

    【答案】

    【解析】3A

    a2=32a2+5a=3

    a=1

    检验知:a=1不满足集合元素的互异性,

    3.已知集合

    1)若A是空集,求的取值范围。

    2)若A中只有一个元素,求的值。

    3)若A中至多只有一个元素,求的取值范围。

    【答案】(1) (2)0   (3)或者m=0

    【解析】

    1时,,A不为空,则不满足题意

    当m≠0时,若A为空,则一元二次方程实数范围内无解

    ,

    综上若A为空集,则

    2由集合中只含有一个元素可得,方程有一解,由于本方程并没有注明是一个二次方程,故也可以是一次方程,应分类讨论:

    时,可得是一次方程,故满足题意.

    m≠0时,则为一二次方程,所以有一根的含义是该方程有两个相等的根,即判别式为0的值,可求得为.的取值为0.

    (3)A中元素至多只有一个 有以下两种情况存在

    集合A是空集集合A是只有一个元素.

    综合(1)(2),若A中元素至多只有一个, 或者m=0.

    【总结升华】 集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集,所以本题实际上是讨论方程mx2-2x+3=0解的个数问题。

    类型二:集合的基本关系

        4.设集合A={x1x3}B={xxa0},若AB,则a的取值范围是________

    【思路点拨】 此题考查判断两个集合的包含关系。由于题中所给集合为含不等式的描述法形式,可以借助数轴进行直观的分析。

    【解析】AB={xxa},利用数轴作图如下:

           

    由此可知:a1

    【总结升华】 要确定一个集合的方法之一是:明确集合中元素的范围及其满足的性质,借助Venn图来分析,直观性强。集合是由元素构成的,要确定一个集合的方法之二是:把集合中的元素一一找出来,用列举法表示。要确定一个集合的方法之三是:明确集合中元素的范围及其满足的性质。用特征性质描述法表示的集合,可借助数轴来分析,直观性强。

    举一反三:

    【变式1  已知集合A={xx1x<-1}B={x2axa+1},若BA,求a的取值范围。

    【解析】

    (1)当B是空集,需要2a≥a+1,得到a≥1

    (2)当B不是空集且B的上限小于等于-1,即a<1且a+1≤-1,得到a≤-2

    (3)当B不是空集且B的下限大于等于1,即a<1且2a≥1,得到1/2≤a<1
    ,a≤-2或a≥1/2

    【变式2】若集合B={12345}C={小于10的正奇数},且集合A满足ABAC,则集合A的个数是________

    【思路点拨】  由题设,C={13579}。因为ABAC,可用Venn图发现集合BC的公共元素为135,则集合A可能含有135三个数中的0个,1个,2个,或3个。故集合A的个数即为{135}的子集的个数。

    【解析】由已知作Venn

           

    {135}的子集中含0个元素的有1个:

    {135}的子集中含1个元素的有3个:{1}{3}{5}

    {135}的子集中含2个元素的有3个:{13}{15}{35}

    {135}的子集中含3个元素的有1个:{135}

    由上述分析知集合A的个数为{135}的子集的个数:1+3+3+1=8个。

    例5.设集合,若,求实数的范围。

      【答案】

    【解析】

    时,即,则是方程的两根,代入解得

    时,分两种情况:

    1)若,则,解得

    2)若,则方程有两个相等的实数根。

    ,解得,此时,满足条件。

    综上可知,所求实数的范围为

    【总结升华】要解决此题,应明确的具体含义:一是,二是。而时还应考虑能否是的情况,因此解题过程中必须分类讨论,另外还要熟练掌握一元二次方程根的讨论问题。

    举一反三:

    【变式】已知集合

    (1),求 ;(2)若,求实数的取值所组成的集合

    【答案】详见解析

    【解析】(1)由题意,

               时,

          

          (2)由题意,

      时,

                  时,

             

     

    类型三:集合的基本运算

    例6.已知全集U=R,集合M={x|2x12}N={x|x=2k1k=12}的关系的韦恩(Venn)图如下图所示,则阴影部分所示的集合的元素区有(   

    A3    B2    C1    D.无穷多个

    【答案】B

    【解析】 阴影部分为MN={x|2x12}{x|x=2k1k=12}={x|1x3}{x|x=2k1k=12}={13}阴影部分所示的集合的元素区有2个,故选B项.

    【总结升华】具体集合(给出或可以求得元素的集合)的交、并、补运算,以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象,因而也是高考命题的热点.

    举一反三:

    【变式1】已知全集U=R,则正确表示集合M={1,0,1}和N={x关系的韦恩图是(  

    A.               B.                  C.                    D.

    【答案】B

    【高清课堂:集合与函数性质综合377492例4】

    【变式2】设全集为

     【答案】==.

    7.若集合A={xx2ax+a219=0}B={23}C={24},满足AB,且AC=,则实数a的值是________

    【思路点拨】  由题设,ABAC=知,23与集合A的关系,再进行解答。

    【解析】  由已知:3A2A,则323a+a219=0,即a=5a=2

    a=5时,A={23},与题意矛盾;

    a=2时,A={53},符合题意。

    由上述分析知a=2

    【总结升华】  集合是由元素构成的,要确定一个集合首先明确集合中元素的范围及其满足的性质,再把集合中的元素一一找出来。

    82016春 江西省抚州期末)已知集合A={xx22x80}B={xx2(2m3)x+m(m3)0mR}

    1)若AB=[24],求实数m的值;

    2)设全集为R,若,求实数m的取值范围.

    【思路点拨】1)根据所给的两个集合的不等式,写出两个集合对应的最简形式,根据两个集合的交集,看出两个集合的端点之间的关系,求出结果.

        2)设全集为R,若,求实数m的取值范围.

    【答案】

    【解析】1)由已知得A={xx22x80xR}=[24]

    B={xx2(2m3)x+m23m0xRmR}=[m3m]

    AB=[24]m=5

    2B=[m3m]

    m34m<-2

    m7m<-2

    m(-,-27+

    【总结升华】本题考查集合之间的关系与参数的取值,本题解题的关键是利用集合之间的关系,得到不等式之间的关系.

    举一反三:

    【变式1  已知集合A={x|-2x5}B={xk+1x2k1},若AB=,求实数k的取值范围。

    【解析】

    AB=

    时,2k1<k+1,即k<2.

    时,k+1>52k1<2  ,即k>4

    综上知

        9已知集合

    )求

    )若a的取值范围

    【思路点拨】1)画数轴;(2)注意是否包含端点.

    【答案】

    【解析】

    如图,

     

     

    )画数轴同理可得:

     

     

     

    【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算,但其本质是一个定区间,和一个动区间的问题.思路是,使动区间沿定区间滑动,数形结合解决问题.

    举一反三:

    【变式1】 已知集合A={x|-2x7},若AB=R,求实数k的取值范围。

    【解析】在数轴上画出集合A

    要使AB=R,即

    解得

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