知识讲解_《函数应用》全章复习与巩固_提高

 《函数应用》全章复习与巩固

编稿：丁会敏       审稿：王静伟        

【学习目标】

1．理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点．

2．进一步理解函数是刻画日常生活规律的重要模型，在用函数的过程中理解函数的概念、性质和函数思想方法．

3．在用数学解决问题的实践中，感受数学应用的层次，体验数学建模的过程和步骤，了解数学建模的意义，发展应用数学的意识．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：函数、方程的有关问题

1．一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0）的图像有如下关系：

要点诠释：

（1）方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

（2）方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数根的个数⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点的个数⇔函数y＝f(x)的零点的个数．

2．函数零点的判定

（1）利用函数零点存在性的判定定理

如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.

要点诠释：

①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．

②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．

③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．

（2）利用方程求解法

求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．

（3）利用数形结合法

函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．

3.用二分法求函数零点的一般步骤：

已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.

第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.

第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为

.

计算和，并判断：

①如果，则就是的零点，计算终止；

②如果，则零点位于区间中，令；

③如果，则零点位于区间中，令

第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为

.

计算和，并判断：

①如果，则就是的零点，计算终止；

②如果，则零点位于区间中，令；

③如果，则零点位于区间中，令；

……

继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.

要点诠释：

（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．

（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．

要点二：函数的实际应用

求解函数应用题时一般按以下几步进行：

第一步：审题

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.

第二步：建模

在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.

第三步：求模

运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.

第四步：还原

把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.

上述四步可概括为以下流程：

实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答).

【典型例题】

类型一：关于函数的零点与方程根的关系问题

例1．若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（    ）

A．若，不存在实数使得；

B．若，存在且只存在一个实数使得；

C．若，有可能存在实数使得；

D．若，有可能不存在实数使得．

【答案】 C  

【解析】对于A选项：可能存在；对于B选项：必存在但不一定唯一

举一反三：

【变式1】判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：

（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点．             

（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点． 

（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．

【答案】 × × ×  图象略

【变式2】函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是          (　　)

A．(－2，－1)　 B．(－1,0)

C．(0,1)    D．(1,2)

【答案】B

【解析】∵f(0)＝1>0，f(－1)＝<0，∴选B.

【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.

例2．求函数零点的个数．

【思路点拨】此题考查函数零点个数问题，方法一：数形结合法，注意到函数的图像不易作，舍之；方法二：转化为相应方程的解的个数问题．而方程不易解，舍之．若将方程变形为：．构造函数与，方程的根即为方程组的解，函数的零点个数即为函数与图像的交点的个数．

【答案】0

【解析】函数与图像如图所示：

由此易知，函数与的图像交点个数为0，即得：函数的零点个数为0．

【总结升华】函数零点个数的求法之一是：数形结合法，将方程变形为：，构造函数与，这两个函数的交点个数即为函数的零点的个数．这种方法数形结合，直观性强．

举一反三：

【变式1】求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)．

【答案】1  （2，3）

【解析】分别作出函数和的图象可知．如下图：

【变式2】已知函数，当时，函数的零点,则           ．.

【答案】2

【解析】用数形结合法，由已知得：

 作出 及的图象，

作出 及

由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．  

例3.(2015  怀化一模)已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是     .

【答案】

【思路点拨】首先根据函数类型和零点个数确定零点位置然后列出关系式求出实数a的取值范围.

【解析】函数有三个零点，

且在上有2个两点

解得

【总结升华】对于函数零点问题一般采用数形结合的方法解决.

举一反三：

【变式1】(2015  锦州二模)已知函数且函数 只有一个零点，则实数a的取值范围是     .

【答案】

【解析】函数只有一个零点，

只有一个x的值，使

即令

函数与只有一个交点，如图示：

当时，与有两个交点

当时，与有一个交点

实数a的范围是

【高清课程：函数与方程377543 例5】

【变式2】若方程在（0，1）恰好有一解，求a的取值范围．

【答案】

【解析】（1）当时，方程为，不满足题意舍去．

（2）当时，令，

分情况讨论：

①，

不满足题意舍去．

②，

若且即，满足题意．

若且即时，的另一解是．

综上所述，满足条件的的取值范围是．

例4．借助计算器或计算机用二分法求方程的一个近似解．（精确到0.01）

【思路点拨】利用二分法求方程近似解的实质为求相应函数的近似零点，本题转化为求函数的近似零点．注意到，则方程在[-l，0]内有实根，再用二分法求近似解．

    【解析】考查函数，因为，，所以方程在[-l，9]内有实数解．

    如此，得到方程的实数解所在区间的表：

至此，可以看出，区间[-0.687 5，-0.685546875]内的所有值，都精确到0.01都是0.69，所以0.69是方程精确到0.01的实数解．

【总结升华】二分法就是一种程序，一种算法．用二分法求函数零点的近似值应注意：

（1）选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；

（2）要依据条件定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算；

（3）所要求的精确度不同则得到的结果不同；选取的起始区间不同，最后得到结果也不同，但它们都符合给定的精确度．

    举一反三：

【变式1】举出一个方程，但不能用“二分法”求出它的近似解          ．

【答案】

【解析】如果函数不能很明显的找到两个使函数值异号的x，这样就不好用二分法了．

类型二：函数模型极其应用

例5.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式;

（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？

【思路点拨】由上表中的数据不能直接发现数量关系，需要利用散点图探寻问题的函数模型.由画出的散点图，观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况（快速增长），可以考虑用增长的函数模型作为这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重与身高的函数关系.

【答案】（1）（2）偏胖

【解析】(1)身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图

根据点的分布特征可以考虑以作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高的函数模型.

选取表其中两组数据，代入得：

用计算机算得

，

这样，得到函数模型：

.

将已知数据代入上述解析式，或作出上述函数模型的图像，可以发现这个函数模型与已知数据的拟合度较好，这说明它能较好的反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.

(2)如何应用模型判断某男生的体重是否正常？

将代入，得

由计算器算得

由于

所以，这个男生偏胖.

【总结升华】用数据拟合函数模型时，如何从散点图观察函数，需要平时积累一些常见的函数模型，并了解具体模型适用的大致的实际问题．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．

举一反三：

【变式1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？

【解析】记为投资总回报，为投资天数，则方案一：；方案二：；方案三：，可做图象，结合函数表格分析得：投资8天以下（不含8天），应选择第一种方案；投资8-9天，应选择第二种方案；投资11天以上（含11天），则应选择第三种投资方案．